三.實二次型的分類、正定矩陣*四.二次型的應用一.二次型的基本概念二.二次型化為標準形的三種方法第六章二次型一.二次型的基本概念1.二次型、二次型的矩陣、二次型的秩稱為二次型。含有n個變量的二次齊次多項式定義1：(1)（我們僅討論實二次型）實二次型：為實數復二次型：為復數例如：二次型不是二次型只含平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）。例如：都是二次型；為二次型的標準形。取則則（1）式可以表示為令則其中A為對稱矩陣。二次型的矩陣表示例如：二次型在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，唯一確定一個對稱矩陣；反之，任給一對稱矩陣，也可唯一確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系．把對稱矩陣A稱為二次型的矩陣也把二次型稱為對稱矩陣A的二次型對稱矩陣A的秩稱為二次型的秩二次型定義2：例1：求二次型f

的矩陣解：解：例2：求對稱矩陣A所對應的二次型.例3：已知二次型的秩為2，求參數c.解：2.非退化線性變換（可逆線性變換）系數矩陣線性變換則線性變換（2）可記作：(2)若C是可逆矩陣，稱線性變換（2）是非退化線性變換若C是正交矩陣，稱線性變換（2）是正交線性變換對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，使二次型只含平方項.即二次型經過可逆線性變換這種只含平方項的二次型，稱為二次型的標準型使得3.矩陣的合同經過非退化線性變換可化為定理1：二次型則二次型的矩陣由A變?yōu)闉閷ΨQ矩陣，且定義3：（合同）所以，通過非退化線性變換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。矩陣合同的性質：(1)反身性(2)對稱性(3)傳遞性兩個n階方陣A、B，若存在可逆矩陣C，使得則稱A合同于B。注：“合同”定義中，矩陣A、B為一般方陣，但實際多針對對稱矩陣考慮合同關系。二.化二次型為標準形正交變換法配方法目標：問題等價于：二次型非退化線性變換求可逆矩陣C，使得為對角矩陣回憶：此結論用于二次型所以，對于任意實對稱矩陣A，總存在正交矩陣T，使得T為正交矩陣，對于任意實對稱矩陣A，總存在正交矩陣T，使得1.正交變換法主軸定理：任給二次型總有正交變換使之化為標準形定理2：其中是二次型的對稱矩陣A的全部特征值。正交變換的特點之一是保持向量的長度不變。這是因為Q為正交矩陣，當X=QY時，必有(X,X)=(QY,QY)=(QY)T(QY)=YTQTQY=YTEY=YTY=(Y,Y)即在幾何中將二次曲線或曲面方程化為標準型方程時，若要求保持圖形的幾何性質（如保持圖形形狀不變）,就要使用正交變換等方法。在統(tǒng)計等方面的應用中，也常常使用正交變換的方法處理二次型，使變換保持尺度不變。二、用配平方法求二次型的標準型用正交變換能夠化實二次型為標準型，這種方法是根據實對稱矩陣的性質，求出二次型的特征值和規(guī)范正交的特征向量，條件要求較強。研究一般數域P上的二次型（含實二次型）的標準型時，可用拉格朗日配方法，這種方法不用解矩陣特征值問題，只需反復利用以下兩個初等公式就能將二次型化為平方和。例3：用配方法化二次型為標準型，并求出所用的可逆線性變換。解：令(1)則(2)(2)是可逆線性變換，使得例4：化二次型為標準型。解：二次型中無平方項，利用平方差公式作可逆線性變換，使新變量的二次型含平方項，再利用前面的方法化簡。令寫成矩陣式子X=CY，則令即于是，將f化為標準型所用的可逆線性變換為Y=PZ，其中則其中為可逆矩陣.定理3：對于任一n元二次型都存在非退化的線性變換X=CY，使之成為證明：對變量個數進行歸納。情形1：平方項的系數不全為零，不妨設n=1時，結論成立。設n-1時結論成立，則n時，令則是n-1元二次型或零多項式。由歸納假設，存在非退化線性變換Q為n-1階可逆矩陣，使得則非退化線性變換為令是非退化的線性變換，使得情形2：不含平方項，必有其中為不含平方項的二次型或零。含有平方項，這歸結為情形1。故令右端標準型的矩陣為新舊變量二次型的矩陣A與B滿足CTAC=B，即A與對角矩陣B合同。推論：任意n階對稱矩陣A都與對角形矩陣合同。證明：由定理4，存在非退化線性變換X=CY，使得三.實二次型的分類、正定矩陣1.慣性定理定義4：設有n元二次型如果對任意一組不全為零的實數推論：任意n元實二次型總可經滿秩線性變換化為以下形式的標準型：稱為的規(guī)范形，且規(guī)范形唯一。慣性定理：n元實二次型=XTAX經過任意滿秩線性變換化為標準型，正平方項的項數p及負平方項的項數q都是唯一確定的。定義5：在秩為r的實二次型所化成的標準形或規(guī)范形中，正平方項的項數p稱為f的正慣性指數，負平方項的項數q=r-p稱為f的負慣性指數，正、負慣性指數之差d=p-q=2p=r稱為f的符號差.2.正定矩陣的等價條件定義6：設A為n階實對稱矩陣，如果二次型正定，則稱A為正定矩陣。定理4：設A是n階實對稱矩陣，則下列命題相互等價：(1)A為正定矩陣；(2)A的特征值全是正實數；(3)的正慣性指數p=n(4)存在可逆實陣C，使得CTAC=E；(5)