八年級幾何證明專題練習(xí)：夯實基礎(chǔ)，提升邏輯幾何證明是八年級數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，既是對圖形性質(zhì)的深度應(yīng)用，也是邏輯思維能力的重要訓(xùn)練。本文圍繞三角形全等、等腰三角形、角平分線與垂直平分線、平行四邊形四大高頻專題，梳理核心知識點，精選典型例題與變式練習(xí)，并總結(jié)解題技巧，助力學(xué)生突破幾何證明難關(guān)。一、專題一：三角形全等證明（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）1.核心知識點回顧全等三角形定義：能完全重合的兩個三角形，對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。判定定理：SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)相等→全等；SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對應(yīng)相等→全等；ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對應(yīng)相等→全等；AAS（角角邊）：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等→全等；HL（直角三角形專用）：斜邊+一條直角邊對應(yīng)相等→全等。隱含條件：公共邊、公共角、對頂角、平行線的同位角/內(nèi)錯角（常用來轉(zhuǎn)化相等角）。2.典型例題例1：如圖，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。求證：AC=DF。解題思路：目標(biāo)：證明AC=DF→需證△ABC≌△DEF；已知條件：AB=DE（邊），AB∥DE→∠B=∠DEF（同位角相等）；隱含條件：BE=CF→BE+EC=CF+EC→BC=EF（邊）；結(jié)論：用SAS判定全等。證明過程：∵AB∥DE（已知），∴∠B=∠DEF（兩直線平行，同位角相等）?！連E=CF（已知），∴BE+EC=CF+EC（等式性質(zhì)），即BC=EF。在△ABC和△DEF中，\[\begin{cases}AB=DE\quad(\text{已知})\\∠B=∠DEF\quad(\text{已證})\\BC=EF\quad(\text{已證})\end{cases}\]∴△ABC≌△DEF（SAS）?！郃C=DF（全等三角形對應(yīng)邊相等）。3.變式練習(xí)變式1：如圖，AC=BD，∠A=∠B，∠1=∠2。求證：△ADC≌△BCD。提示：∠1=∠2→∠ADC=∠BCD（等角的補(bǔ)角相等），結(jié)合AC=BD、公共邊CD=DC，用AAS判定。變式2：（直角三角形）如圖，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD。求證：BC=BD。提示：連接AB，用HL證明Rt△ABC≌Rt△ABD。二、專題二：等腰三角形（性質(zhì)與判定）1.核心知識點回顧性質(zhì)定理：①等邊對等角：等腰三角形的兩底角相等（∠A=∠B→AB=AC）；②三線合一：等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線重合（若AB=AC，AD⊥BC，則BD=DC，∠BAD=∠CAD）。判定定理：等角對等邊（∠B=∠C→AB=AC）。2.典型例題例2：如圖，△ABC中，AB=AC，BD=CD，求證：AD⊥BC。解題思路：目標(biāo)：證明AD⊥BC→需證∠ADB=∠ADC=90°；已知條件：AB=AC（等腰三角形），BD=CD（中線），公共邊AD=AD；用SSS證明△ABD≌△ACD→∠ADB=∠ADC=90°（平角定義）。證明過程：∵AB=AC（已知），BD=CD（已知），AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS）?！唷螦DB=∠ADC（全等三角形對應(yīng)角相等）。又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定義），∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。3.變式練習(xí)變式1：如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于點F。求證：AF=2DF。提示：先證△BDF≌△ADC（AAS），得DF=DC，再用三線合一得DC=BC/2，結(jié)合AF=AD-DF=BC-DF，推導(dǎo)AF=2DF。變式2：如圖，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，求證：△BEC≌△CDB。提示：∠ABC=∠ACB→AB=AC，BD、CE是角平分線→∠DBC=∠ECB，結(jié)合BC=CB，用ASA判定。三、專題三：角平分線與垂直平分線1.核心知識點回顧角平分線：①性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等（OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE）；②判定：到角兩邊距離相等的點在角平分線上（PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，則OP平分∠AOB）。垂直平分線：①性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等（MN是AB的垂直平分線，P在MN上，則PA=PB）；②判定：到線段兩端點距離相等的點在垂直平分線上（PA=PB→P在AB的垂直平分線上）。2.典型例題例3：如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，連接CD。求證：OP是CD的垂直平分線。解題思路：目標(biāo)：證明OP⊥CD且OP平分CD→需證OC=OD（等腰三角形三線合一）；已知條件：OP平分∠AOB→∠POC=∠POD，PC=PD（角平分線性質(zhì)），公共邊OP=OP；用HL證明Rt△POC≌Rt△POD→OC=OD，結(jié)合OP平分∠AOB，得OP⊥CD（三線合一）。3.變式練習(xí)變式1：如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，求證：AD是BC的垂直平分線。提示：∠B=∠C→AB=AC（等角對等邊），AD平分∠BAC→AD⊥BC且BD=DC（三線合一）。變式2：如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AB上，點E在AC上，BD=CE，求證：DE的垂直平分線經(jīng)過點A。提示：連接AE、AD，證△ABD≌△ACE→AD=AE→A在DE的垂直平分線上。四、專題四：平行四邊形（性質(zhì)與判定）1.核心知識點回顧性質(zhì)定理：①對邊平行且相等（AB∥CD，AB=CD）；②對角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；③對角線互相平分（AO=OC，BO=OD）。判定定理：①兩組對邊分別平行（AB∥CD，AD∥BC）；②一組對邊平行且相等（AB∥CD且AB=CD）；③對角線互相平分（AO=OC，BO=OD）。2.典型例題例4：如圖，□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求證：四邊形AECF是平行四邊形。解題思路：目標(biāo)：證明AECF是平行四邊形→用“一組對邊平行且相等”；已知條件：□ABCD→AB∥CD且AB=CD；E、F是中點→AE=AB/2，CF=CD/2→AE=CF；結(jié)論：AE∥CF且AE=CF→四邊形AECF是平行四邊形。3.變式練習(xí)變式1：如圖，□ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E、F是AO、CO的中點，求證：BE=DF。提示：用“對角線互相平分”證明四邊形BEDF是平行四邊形→BE=DF。變式2：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，延長DE到F，使EF=DE，求證：四邊形BCFD是平行四邊形。提示：證△ADE≌△CFE→AD=CF，結(jié)合AD=BD→BD=CF，且BD∥CF→一組對邊平行且相等。五、綜合練習(xí)（跨專題）練習(xí)1：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥BC于E。求證：AE=AD。提示：先證△ABD≌△EBD（AAS）→AD=DE；再證△DEC是等腰直角三角形→DE=EC→AD=EC；最后用BC=AB+EC=AC+AD→AE=AD。練習(xí)2：如圖，□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，CF平分∠BCD，交AD于F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。提示：□ABCD→∠BAD=∠BCD→∠BAE=∠DCF；AB∥CD→∠BAE=∠AED→∠DCF=∠AED→AE∥CF；結(jié)合AF∥EC→四邊形AECF是平行四邊形。六、解題技巧總結(jié)1.找全等三角形的技巧：標(biāo)記已知條件，尋找公共邊、公共角、對頂角；用平行線轉(zhuǎn)化角（同位角、內(nèi)錯角相等）；若有中線，可延長中線至兩倍（倍長中線法）。2.等腰三角形的技巧：遇底邊的高、中線、頂角平分線，優(yōu)先考慮三線合一；遇等角，優(yōu)先考慮等角對等邊。3.