小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)習(xí)資料及練習(xí)一、賽前復(fù)習(xí)策略：科學(xué)規(guī)劃提分（一）制定個(gè)性化計(jì)劃根據(jù)自身薄弱模塊（如幾何計(jì)數(shù)、余數(shù)問(wèn)題）分配時(shí)間，建議每天固定1-2小時(shí)復(fù)習(xí)，避免“眉毛胡子一把抓”。例如：基礎(chǔ)扎實(shí)者：重點(diǎn)突破組合數(shù)學(xué)、復(fù)雜行程問(wèn)題；基礎(chǔ)薄弱者：優(yōu)先鞏固數(shù)論（整除、質(zhì)數(shù)）、平面幾何（面積公式）等核心考點(diǎn)。（二）重視基礎(chǔ)概念競(jìng)賽題本質(zhì)是基礎(chǔ)概念的延伸，若概念模糊，易陷入“會(huì)而不對(duì)”的誤區(qū)。例如：混淆“質(zhì)數(shù)”與“合數(shù)”（1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）；誤將“體積”當(dāng)“表面積”（立體幾何高頻易錯(cuò)點(diǎn)）。建議：每天用10分鐘回顧核心概念（如整除判定法則、行程問(wèn)題公式），確保爛熟于心。（三）錯(cuò)題整理與反思建立錯(cuò)題本，按模塊分類（如“數(shù)論-余數(shù)問(wèn)題”“幾何-割補(bǔ)法”），記錄：題目原文；錯(cuò)誤解法；正確思路（標(biāo)注“關(guān)鍵技巧”，如“用十字交叉法解濃度問(wèn)題”）；易錯(cuò)點(diǎn)（如“忽略余數(shù)小于除數(shù)”）。頻率：每周復(fù)盤1次錯(cuò)題，避免重復(fù)犯錯(cuò)。（四）模擬訓(xùn)練真題優(yōu)先：做近3年的華杯賽、希望杯真題，熟悉題型和難度；限時(shí)訓(xùn)練：按競(jìng)賽時(shí)間（如1小時(shí)做10題）完成，提高解題速度；分析試卷：統(tǒng)計(jì)錯(cuò)題模塊，調(diào)整后續(xù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)（如錯(cuò)題多為“工程問(wèn)題”，則加強(qiáng)該模塊練習(xí)）。二、數(shù)論模塊：競(jìng)賽高頻考點(diǎn)（占比約30%）數(shù)論是小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的“基石”，重點(diǎn)考查整除、質(zhì)數(shù)、余數(shù)三大類問(wèn)題。（一）整除問(wèn)題1.核心概念整除定義：若整數(shù)\(a\)除以整數(shù)\(b\)（\(b\neq0\)），商為整數(shù)且無(wú)余數(shù)，則\(b|a\)（\(b\)整除\(a\)）。關(guān)鍵性質(zhì)：（1）傳遞性：若\(a|b\)且\(b|c\)，則\(a|c\)（如2|4，4|8，則2|8）；（2）可加性：若\(a|b\)且\(a|c\)，則\(a|(b+c)\)（如3|6，3|9，則3|15）；（3）互質(zhì)整除：若\(a|bc\)且\(a\)與\(b\)互質(zhì)，則\(a|c\)（如3|4×6，3與4互質(zhì)，則3|6）。常見判定法則（必背）：除數(shù)判定方法2末位是0、2、4、6、83各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)5末位是0或59各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位數(shù)字和-偶數(shù)位數(shù)字和（大減?。┦?1的倍數(shù)2.解題技巧分解質(zhì)因數(shù)法：將數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)乘積，判斷是否包含除數(shù)的所有質(zhì)因數(shù)（如判斷12|36，12=22×3，36=22×32，故12|36）；試除法：對(duì)于較小的數(shù)，用可能的除數(shù)逐一試除（如判斷17是否為質(zhì)數(shù)，試除2、3、5、7，均不整除，則17是質(zhì)數(shù)）；組合判定：判斷被合數(shù)整除時(shí)，分解為互質(zhì)的因數(shù)（如判斷24|a，需判斷3|a且8|a，因24=3×8，3和8互質(zhì)）。3.典型例題例1：判斷____是否能被3、9整除。解答：各位數(shù)字之和：1+3+5+7+9=25，25不是3的倍數(shù)（3×8=24，3×9=27），故不能被3整除；更不能被9整除（9的倍數(shù)需數(shù)字和為9的倍數(shù)）。例2：四位數(shù)\(\overline{2a3b}\)能被2、3、5整除，求\(a+b\)的最小值。解答：能被2和5整除→末位\(b=0\)；能被3整除→數(shù)字和2+a+3+0=5+a是3的倍數(shù)→\(a\)最小為1（5+1=6）；故\(a=1\)，\(b=0\)，\(a+b=1\)。4.鞏固練習(xí)（1）判斷678是否能被2、3、5整除；（2）三位數(shù)\(\overline{1x2}\)能被9整除，求\(x\)；（3）求能同時(shí)被4、5、6整除的最小三位數(shù)。答案：（1）能被2（末位8）、3（6+7+8=21）整除，不能被5整除；（2）6（1+6+2=9）；（3）120（lcm(4,5,6)=60，60×2=120）。（二）質(zhì)數(shù)與合數(shù)1.核心概念質(zhì)數(shù)：只有1和本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)（如2、3、5、7）；合數(shù)：除1和本身外還有其他正因數(shù)的自然數(shù)（如4、6、8、9）；1：既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；質(zhì)因數(shù)分解（唯一分解定理）：任何合數(shù)都能唯一分解為質(zhì)數(shù)的乘積（如12=22×3）。2.解題技巧質(zhì)數(shù)判斷法：對(duì)于自然數(shù)\(n\)，試除2到\(\sqrt{n}\)的所有質(zhì)數(shù)，若均不整除，則\(n\)是質(zhì)數(shù)（如判斷19，\(\sqrt{19}\approx4.38\)，試除2、3，均不整除，故19是質(zhì)數(shù)）；質(zhì)因數(shù)分解應(yīng)用：求最大公約數(shù)（gcd）、最小公倍數(shù)（lcm）：gcd(a,b)：取各質(zhì)因數(shù)的最小指數(shù)乘積（如12=22×3，18=2×32，gcd=2×3=6）；lcm(a,b)：取各質(zhì)因數(shù)的最大指數(shù)乘積（如12和18的lcm=22×32=36）。3.典型例題例1：分解24的質(zhì)因數(shù)，并求它與36的gcd和lcm。解答：24=23×3；36=22×32；gcd=22×3=12；lcm=23×32=72。例2：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和為15，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積。解答：15是奇數(shù)，故兩質(zhì)數(shù)必為一奇一偶（奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)）；唯一的偶質(zhì)數(shù)是2，故另一個(gè)質(zhì)數(shù)為15-2=13；積為2×13=26。4.鞏固練習(xí)（1）判斷11、15、21是否為質(zhì)數(shù)；（2）分解30的質(zhì)因數(shù)；（3）求18和24的gcd和lcm。答案：（1）11是質(zhì)數(shù)，15（3×5）、21（3×7）是合數(shù)；（2）30=2×3×5；（3）gcd=6，lcm=72。（三）余數(shù)問(wèn)題1.核心概念帶余除法：\(a=bq+r\)（\(a\)為被除數(shù)，\(b\)為除數(shù)，\(q\)為商，\(r\)為余數(shù)，\(0\leqr<b\)）；同余定理：若\(a\equivb\(\text{mod}\m)\)，則\(a-b\)是\(m\)的倍數(shù)（如17≡5mod6，17-5=12是6的倍數(shù)）；中國(guó)剩余定理（簡(jiǎn)單版）：解決“一個(gè)數(shù)除以多個(gè)數(shù)余不同值”的問(wèn)題（如除以3余2，除以5余3）。2.解題技巧枚舉法：列出滿足第一個(gè)條件的數(shù)，再篩選滿足第二個(gè)條件的數(shù)（適用于除數(shù)較小的情況）；同余變形：將余數(shù)轉(zhuǎn)化為相同形式（如\(a\equiv2\mod\3\)可寫成\(a=3k+2\)，代入第二個(gè)條件求解）；余數(shù)性質(zhì)：\((a+b)\mod\m=[(a\mod\m)+(b\mod\m)]\mod\m\)（如12+17=29，29mod5=4；12mod5=2，17mod5=2，2+2=4=29mod5）。3.典型例題例1：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，求最小的正整數(shù)。解答：除以3余2的數(shù)：2,5,8,11,14,17,20,23…；除以5余3的數(shù)：3,8,13,18,23…；共同最小數(shù)為8。例2：計(jì)算\(____\mod\7\)（即____除以7的余數(shù)）。解答：用余數(shù)性質(zhì)分步計(jì)算：____=123×1000+456；123mod7=123-7×17=____=4；1000mod7=____×142=____=6；456mod7=456-7×65=____=1；故____mod7=(4×6+1)mod7=25mod7=4。4.鞏固練習(xí)（1）一個(gè)數(shù)除以4余1，除以6余3，求最小的正整數(shù)；（2）計(jì)算\(789\mod\5\)；（3）某數(shù)除以5余2，除以7余3，求該數(shù)的最小值。答案：（1）9（4×2+1=9，6×1+3=9）；（2）4（789末位9，9mod5=4）；（3）17（5×3+2=17，7×2+3=17）。三、幾何模塊：圖形與計(jì)數(shù)（占比約25%）幾何題考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化技巧，重點(diǎn)是平面幾何（面積）、立體幾何（表面積/體積）、幾何計(jì)數(shù)。（一）平面幾何：面積與轉(zhuǎn)化1.核心概念基本圖形面積公式（必背）：圖形面積公式備注三角形\(S=\frac{1}{2}ah\)\(a\)為底，\(h\)為高長(zhǎng)方形\(S=ab\)\(a\)為長(zhǎng)，\(b\)為寬正方形\(S=a2\)\(a\)為邊長(zhǎng)平行四邊形\(S=ah\)\(a\)為底，\(h\)為高梯形\(S=\frac{1}{2}(a+b)h\)\(a,b\)為上下底，\(h\)為高關(guān)鍵性質(zhì)：（1）等底等高的三角形面積相等；（2）相似三角形（邊長(zhǎng)比為\(k\)）的面積比為\(k2\)（如邊長(zhǎng)比2:1，面積比4:1）；（3）勾股定理：直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方（如32+42=52）。2.解題技巧割補(bǔ)法：將不規(guī)則圖形分割或補(bǔ)成規(guī)則圖形（如求四邊形面積，補(bǔ)成三角形或長(zhǎng)方形）；轉(zhuǎn)化法：利用等底等高轉(zhuǎn)化面積（如三角形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積的一半）；比例法：通過(guò)邊長(zhǎng)比求面積比（如相似三角形、等高三角形）。3.典型例題例1：求下圖不規(guī)則四邊形ABCD的面積（單位：厘米），其中AC=5，BD=4，AC⊥BD。解答：將四邊形分割為△ABC和△ADC，因AC⊥BD，故兩三角形的高分別為BD的兩段（設(shè)為\(h_1\)和\(h_2\)，\(h_1+h_2=4\)）；面積=\(S_{△ABC}+S_{△ADC}=\frac{1}{2}×AC×h_1+\frac{1}{2}×AC×h_2=\frac{1}{2}×AC×(h_1+h_2)=\frac{1}{2}×5×4=10\)（平方厘米）。例2：長(zhǎng)方形ABCD中，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求陰影部分面積占長(zhǎng)方形面積的比例（如圖）。解答：設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為2a，寬為2b，則面積=4ab；\(S_{△ABE}=\frac{1}{2}×a×2b=ab\)；\(S_{△BCF}=\frac{1}{2}×2a×b=ab\)；\(S_{△DEF}=\frac{1}{2}×a×b=0.5ab\)；陰影面積=4ab-ab-ab-0.5ab=1.5ab；比例=1.5ab/4ab=3/8。4.鞏固練習(xí)（1）三角形底為6厘米，高為4厘米，求面積；（2）梯形上下底分別為3厘米、5厘米，高為2厘米，求面積；（3）長(zhǎng)方形中，對(duì)角線將其分成兩個(gè)三角形，求每個(gè)三角形面積占比。答案：（1）12平方厘米；（2）8平方厘米；（3）1/2。（二）立體幾何：表面積與體積1.核心概念基本立體圖形公式（必背）：圖形表面積公式體積公式長(zhǎng)方體\(S=2(ab+bc+ac)\)\(V=abc\)正方體\(S=6a2\)\(V=a3\)圓柱\(S=2πr2+2πrh\)\(V=πr2h\)圓錐\(S=πr2+πrl\)（\(l\)為母線）\(V=\frac{1}{3}πr2h\)關(guān)鍵概念：表面積：所有面的面積之和（如正方體有6個(gè)面，每個(gè)面面積相等）；體積：物體所占空間的大?。ㄈ玳L(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高）。2.解題技巧展開圖法：求立體圖形的表面積或最短路徑（如正方體展開圖有11種，最短路徑為展開后的直線距離）；分層計(jì)數(shù)法：求堆立方體的表面積（如每層的表面積之和，減去重疊部分）；等體積法：求不規(guī)則立體圖形的體積（如將圓錐體積轉(zhuǎn)化為等底等高圓柱體積的1/3）。3.典型例題例1：正方體邊長(zhǎng)為2厘米，求表面積和體積。解答：表面積=6×22=24（平方厘米）；體積=23=8（立方厘米）。例2：圓柱底面半徑為1厘米，高為3厘米，求側(cè)面積和體積（π取3.14）。解答：側(cè)面積=2πrh=2×3.14×1×3=18.84（平方厘米）；體積=πr2h=3.14×12×3=9.42（立方厘米）。4.鞏固練習(xí)（1）長(zhǎng)方體長(zhǎng)3厘米，寬2厘米，高1厘米，求表面積；（2）正方體體積為27立方厘米，求邊長(zhǎng)；（3）圓錐底面半徑2厘米，高3厘米，求體積（π取3）。答案：（1）22平方厘米（2×(3×2+2×1+3×1)=22）；（2）3厘米（33=27）；（3）12立方厘米（1/3×3×22×3=12）。（三）幾何計(jì)數(shù)：有序與分類1.核心概念分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事有\(zhòng)(n\)類方法，每類有\(zhòng)(m_i\)種方法，則總方法數(shù)為\(m_1+m_2+…+m_n\)（如從A到B有2條路，從B到C有3條路，則A到C有2+3=5條路？不，這是分步，加法是“要么走A→B→C，要么走A→D→C”）；分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事有\(zhòng)(n\)步，每步有\(zhòng)(m_i\)種方法，則總方法數(shù)為\(m_1×m_2×…×m_n\)（如從A到B有2條路，從B到C有3條路，則A到C有2×3=6條路）；幾何計(jì)數(shù)：數(shù)圖形數(shù)量（如三角形、長(zhǎng)方形），需避免重復(fù)或遺漏。2.解題技巧按大小分類：如數(shù)三角形時(shí)，按邊長(zhǎng)分為小三角形、中三角形、大三角形；按位置分類：如數(shù)長(zhǎng)方形時(shí)，按行或列分類；公式法：長(zhǎng)方形數(shù)量=長(zhǎng)邊上的線段數(shù)×寬邊上的線段數(shù)（如長(zhǎng)有\(zhòng)(n\)個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)為\(n(n-1)/2\)）；三角形數(shù)量=底邊上線段數(shù)×高的數(shù)量（如底邊有\(zhòng)(m\)條線段，高有\(zhòng)(k\)種，則三角形數(shù)量為\(m×k\)）。3.典型例題例1：數(shù)下圖中長(zhǎng)方形的數(shù)量（網(wǎng)格為2行3列）。解答：長(zhǎng)邊上的線段數(shù)（橫向）：3列有4個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)=4×3/2=6；寬邊上的線段數(shù)（縱向）：2行有3個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)=3×2/2=3；長(zhǎng)方形數(shù)量=6×3=18。例2：數(shù)下圖中三角形的數(shù)量（底邊有4個(gè)點(diǎn)，頂點(diǎn)在上方）。解答：底邊上線段數(shù)=4×3/2=6；每個(gè)線段對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形，故三角形數(shù)量=6。4.鞏固練習(xí)（1）數(shù)3行4列網(wǎng)格中的長(zhǎng)方形數(shù)量；（2）數(shù)底邊有5個(gè)點(diǎn)的三角形數(shù)量（頂點(diǎn)在上方）；（3）數(shù)下圖中正方形的數(shù)量（2×2網(wǎng)格）。答案：（1）60（長(zhǎng)線段數(shù)=5×4/2=10，寬線段數(shù)=4×3/2=6，10×6=60）；（2）10（5×4/2=10）；（3）5（1×1的4個(gè)，2×2的1個(gè)）。四、應(yīng)用題模塊：實(shí)際問(wèn)題解決（占比約25%）應(yīng)用題是競(jìng)賽的“壓軸題”，重點(diǎn)考查邏輯分析能力，常見類型有行程、工程、濃度。（一）行程問(wèn)題：速度與時(shí)間1.核心概念基本公式：路程=速度×?xí)r間（\(s=vt\)）；常見類型：（1）相遇問(wèn)題：路程和=速度和×?xí)r間（\(s_和=(v_甲+v_乙)×t\)）；（2）追及問(wèn)題：路程差=速度差×?xí)r間（\(s_差=(v_乙-v_甲)×t\)，\(v_乙>v_甲\)）；（3）流水行船：順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速。2.解題技巧畫線段圖：直觀表示路程、速度、時(shí)間的關(guān)系（如相遇問(wèn)題畫兩段線段，追及問(wèn)題畫重疊線段）；設(shè)未知數(shù)：用方程解決復(fù)雜問(wèn)題（如設(shè)船速為\(x\)，水速為\(y\)，列方程求解）；比例法：速度比=路程比（時(shí)間相同），時(shí)間比=路程反比（速度相同）。3.典型例題例1：甲乙兩人從相距100米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲速度為2米/秒，乙速度為3米/秒，求相遇時(shí)間。解答：相遇時(shí)間=路程和÷速度和=100÷(2+3)=20（秒）。例2：甲在乙前面50米，甲速度為2米/秒，乙速度為3米/秒，求乙追上甲的時(shí)間。解答：追及時(shí)間=路程差÷速度差=50÷(3-2)=50（秒）。4.鞏固練習(xí)（1）甲乙相遇問(wèn)題：路程和200米，速度和5米/秒，求時(shí)間；（2）追及問(wèn)題：路程差30米，速度差1米/秒，求時(shí)間；（3）流水行船：船速5米/秒，水速1米/秒，求順?biāo)俣群湍嫠俣?。答案：?）40秒；（2）30秒；（3）6米/秒，4米/秒。（二）工程問(wèn)題：效率與總量1.核心概念基本公式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間（\(W=pt\)）；關(guān)鍵概念：工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量（如甲每天做1/5的工程，效率為1/5）；合作效率：多人合作時(shí)，效率為各人工效之和（如甲效率1/5，乙效率1/6，合作效率1/5+1/6=11/30）。2.解題技巧設(shè)總量為1：將工作總量設(shè)為單位“1”，簡(jiǎn)化計(jì)算（如甲單獨(dú)做需5天，效率為1/5）；列方程：設(shè)未知效率或時(shí)間，根據(jù)總量列方程（如甲效率\(x\)，乙效率\(y\)，列方程\(5x+3y=1\)）；比例法：效率比=時(shí)間反比（如甲時(shí)間:乙時(shí)間=2:3，效率比=3:2）。3.典型例題例1：甲單獨(dú)做一項(xiàng)工程需10天，乙單獨(dú)做需15天，求甲乙合作需多少天完成。解答：甲效率=1/10，乙效率=1/15；合作效率=1/10+1/15=1/6；合作時(shí)間=1÷1/6=6（天）。例2：甲先做3天，完成工程的1/4，剩下的由乙做，乙效率為1/8，求乙需做多少天。解答：剩下的工作量=1-1/4=3/4；乙時(shí)間=剩下的工作量÷乙效率=3/4÷1/8=6（天）。4.鞏固練習(xí)（1）甲效率1/8，乙效率1/12，合作需多少天；（2）甲單獨(dú)做需6天，乙單獨(dú)做需9天，合作3天完成多少工作量；（3）甲做2天完成1/5，求甲的效率。答案：（1）24/5=4.8天；（2）5/6（3×(1/6+1/9)=3×5/18=5/6）；（3）1/10（1/5÷2=1/10）。（三）濃度問(wèn)題：溶質(zhì)與溶液1.核心概念基本公式：濃度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶液質(zhì)量×100%（溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量）；常見類型：（1）稀釋：加溶劑，溶質(zhì)質(zhì)量不變（濃度降低）；（2）濃縮：減溶劑，溶質(zhì)質(zhì)量不變（濃度升高）；（3）混合：兩種不同濃度的溶液混合，溶質(zhì)質(zhì)量之和=混合后溶質(zhì)質(zhì)量。2.解題技巧設(shè)未知數(shù)：設(shè)溶質(zhì)或溶劑質(zhì)量，根據(jù)濃度公式列方程（如設(shè)溶質(zhì)質(zhì)量為\(x\)，溶液質(zhì)量為\(y\)，列方程\(x/y=20\%\)）；十字交叉法：解決混合溶液?jiǎn)栴}（如濃度為\(a\%\)的溶液\(m\)克，與濃度為\(b\%\)的溶液\(n\)克混合，得到濃度為\(c\%\)的溶液，則\((c-a)/(b-c)=n/m\)）。3.典型例題例1：將10克鹽放入90克水中，求鹽水的濃度。解答：溶液質(zhì)量=10+90=100（克）；濃度=10/100×100%=10%。例2：用濃度為20%的鹽水和濃度為5%的鹽水混合，得到濃度為10%的鹽水100克，求兩種鹽水各需多少克。解答：用十字交叉法：20%與10%的差為10%，5%與10%的差為5%；故20%鹽水與5%鹽水的質(zhì)量比=5%:10%=1:2；總質(zhì)量100克，故20%鹽水=100×1/(1+2)=100/3≈33.33克，5%鹽水=100×2/3≈66.67克。4.鞏固練習(xí)（1）20克鹽放入80克水中，求濃度；（2）濃度為15%的鹽水200克，加多少水后濃度變?yōu)?0%；（3）用濃度為30%和10%的鹽水混合成20%的鹽水50克，求30%鹽水的質(zhì)量。答案：（1）20%；（2）100克（溶質(zhì)=200×15%=30克，新溶液=30÷10%=300克，加水=____=100克）；（3）25克（十字交叉法：30%與20%差10%，10%與20%差10%，質(zhì)量比1:1，故30%鹽水=50×1/2=25克）。五、組合數(shù)學(xué)模塊：邏輯與計(jì)數(shù)（占比約20%）組合數(shù)學(xué)考查邏輯推理和計(jì)數(shù)能力，重點(diǎn)是排列組合、容斥原理、抽屜原理。（一）排列與組合1.核心概念排列（有序）：從\(n\)個(gè)元素中選\(m\)個(gè)排成一列，記為\(A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)\)（如從3個(gè)元素中選2個(gè)排列，有3×2=6種）；組合（無(wú)序）：從\(n\)個(gè)元素中選\(m\)個(gè)組成一組，記為\(C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!)\)（如從3個(gè)元素中選2個(gè)組合，有3種）；區(qū)別：排列強(qiáng)調(diào)順序（如選甲、乙和選乙、甲是不同排列），組合不強(qiáng)調(diào)順序（如選甲、乙和選乙、甲是同一組合）。2.解題技巧區(qū)分排列與組合：看問(wèn)題是否與順序有關(guān)（如“排座位”是排列，“選代表”是組合）；分類加法：將問(wèn)題分為不同情況，每種情況用組合或排列計(jì)算，再相加（如“選1個(gè)男生或1個(gè)女生”，男生有3人，女生有2人，共3+2=5種）；分步乘法：將問(wèn)題分為不同步驟，每步用組合或排列計(jì)算，再相乘（如“選1個(gè)男生和1個(gè)女生”，男生3人，女生2人，共3×2=6種）。3.典型例題例1：從5個(gè)同學(xué)中選2個(gè)參加演講比賽，有多少種選法？解答：選2個(gè)不考慮順序，用組合：\(C(5,2)=5×4/2=10\)（種）。例2：從5個(gè)同學(xué)中選2個(gè)分別擔(dān)任班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)，有多少種選法？解答：選2個(gè)考慮順序（班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)不同），用排列：\(A(5,2)=5×4=20\)（種）。4.鞏固練習(xí)（1）從4個(gè)元素中選3個(gè)組合，有多少種；（2）從6個(gè)元素中選2個(gè)排列，有多少種；（3）選1個(gè)男生（3人）和1個(gè)女生（2人）參加活動(dòng)，有多少種選法。答案：（1）4（C(4,3)=4）；（2）30（A(6,2)=6×5=30）；（3）6（3×2=6）。（二）容斥原理：重疊問(wèn)題1.核心概念容斥原理：計(jì)算兩個(gè)或多個(gè)集合的并集大小，減去重疊部分，避免重復(fù)計(jì)數(shù)；公式：兩個(gè)集合：\(|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|\)（如語(yǔ)文及格人數(shù)+數(shù)學(xué)及格人數(shù)-兩門都及格人數(shù)=至少一門及格人數(shù)）；三個(gè)集合：\(|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|\)。2.解題技巧畫韋恩圖：用圓圈表示集合，直觀顯示重疊部分；確定變量：設(shè)重疊部分為\(x\)，根據(jù)公式列方程求解。3.典型例題例1：某班有30人，語(yǔ)文及格25人，數(shù)學(xué)及格20人，兩門都及格15人，求兩門都不及格的人數(shù)。解答：至少一門及格人數(shù)=25+20-15=30（人）；兩門都不及格人數(shù)=總?cè)藬?shù)-至少一門及格人數(shù)=30-30=0（人）。例2：有100人，喜歡語(yǔ)文的有70人，喜歡數(shù)學(xué)的有60人，喜歡英語(yǔ)的有50人，喜歡語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的有40人，喜歡語(yǔ)文和英語(yǔ)的有30人，喜歡數(shù)學(xué)和英語(yǔ)的有20人，三門都喜歡的有10人，求至少喜歡一門的人數(shù)。解答：用三個(gè)集合容斥公式：\(|A∪B∪C|=70+60+____+10=100\)（人）。4.鞏固練習(xí)（1）語(yǔ)文及格20人，數(shù)學(xué)及格18人，兩門都及格15人，求至少一門及格人數(shù)；（2）總?cè)藬?shù)50人，至少一門及格45人，求兩門都不及格人數(shù)；（3）三個(gè)集合：|A|=10，|B|=15，|C|=20，|A∩B|=5，|A∩C|=6，|B∩C|=7，|A∩B∩C|=3，求|A∪B∪C|。答案：（1）23（20+18-15=23）；（2）5（50-45=5）；（3）25（10+15+____+3=25）。（三）抽屜原理：最不利原則1.核心概念抽屜原理（鴿巢原理）：（1）基本版：\(n+1\)個(gè)蘋果放進(jìn)\(n\)個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有2個(gè)蘋果；（2）加強(qiáng)版：\(kn+1\)個(gè)蘋果放進(jìn)\(n\)個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有\(zhòng)(k+1\)個(gè)蘋果（如2×3+1=7個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有3個(gè)蘋果）。最不利原則：考慮最壞情況（如“至少摸多少個(gè)球才能保證有2個(gè)顏色相同”，最壞情況是摸了所有顏色各1個(gè)，再摸1個(gè)就有2個(gè)相同）。2.解題技巧確定“