高二數(shù)學期末考試樣卷命題說明：本樣卷依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》，覆蓋高二核心知識點（圓錐曲線、導數(shù)及其應用、空間向量與立體幾何、統(tǒng)計與概率、復數(shù)、邏輯命題等）。難度分布為基礎題（40%）、中等題（45%）、難題（15%），旨在考查學生的基礎知識掌握、邏輯推理能力及綜合應用水平，符合期末考試的測評要求。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復數(shù)的運算若復數(shù)\(z=1+2i\)（\(i\)為虛數(shù)單位），則\(z\cdot\overline{z}=\)（）A.\(-3\)B.\(3\)C.\(5\)D.\(-5\)考點：復數(shù)的共軛與乘法運算。解析：\(\overline{z}=1-2i\)，故\(z\cdot\overline{z}=(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i)^2=1+4=5\)。選C。2.橢圓的定義平面內到兩個定點\(F_1(-3,0)\)、\(F_2(3,0)\)的距離之和為8的點的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線考點：橢圓的定義（\(2a>2c\)）。解析：兩定點距離\(|F_1F_2|=6\)，動點距離之和\(2a=8\)，滿足\(2a>2c\)，故軌跡為橢圓。選B。3.導數(shù)的幾何意義函數(shù)\(f(x)=x^3-2x\)在\(x=1\)處的切線方程為（）A.\(y=x-2\)B.\(y=x-1\)C.\(y=2x-3\)D.\(y=2x-2\)考點：導數(shù)的幾何意義（切線斜率）。解析：\(f'(x)=3x^2-2\)，則\(f'(1)=1\)（斜率）。\(f(1)=1-2=-1\)，故切線方程為\(y+1=1\cdot(x-1)\)，即\(y=x-2\)。選A。4.統(tǒng)計中的樣本均值某班10名學生的數(shù)學成績（單位：分）為：85,90,92,88,95,87,90,91,89,93，則樣本均值為（）A.90B.91C.92D.89考點：樣本均值的計算。解析：均值\(=\frac{85+90+92+88+95+87+90+91+89+93}{10}=\frac{900}{10}=90\)。選A。5.空間向量的夾角已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow=(2,-1,1)\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角余弦值為（）A.\(\frac{1}{7}\)B.\(\frac{2}{7}\)C.\(\frac{3}{7}\)D.\(\frac{4}{7}\)考點：空間向量的點積公式。解析：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+2\times(-1)+3\times1=2-2+3=3\)；\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)。故\(\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)？等等，等一下，計算錯了，\(\sqrt{14}\times\sqrt{6}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\)，分子是3，所以化簡后是\(\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，但選項里沒有？不對，可能我算錯了點積。再算一遍：\(1×2=2\)，\(2×(-1)=-2\)，\(3×1=3\)，加起來是2-2+3=3，沒錯。那選項是不是有問題？或者我哪里錯了？等一下，選項里有沒有\(zhòng)(\frac{\sqrt{21}}{14}\)？沒有，那可能題目中的向量坐標寫錯了？比如\(\overrightarrow=(2,1,1)\)，那點積是2+2+3=7，\(|\overrightarrow|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)，不對，或者\(\overrightarrow=(1,-1,1)\)，點積是1-2+3=2，\(|\overrightarrow|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{14}×\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{21}\)，也不對?；蛘哳}目中的選項是不是應該有\(zhòng)(\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，但選項里沒有，可能我哪里錯了？或者題目中的向量是\(\overrightarrow{a}=(1,2,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1,1)\)，點積是2-2+2=2，\(|\overrightarrow{a}|=3\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}\)，也不對?；蛘哳}目中的選項是不是打錯了？比如選項A是\(\frac{\sqrt{21}}{14}\)，但寫成了\(\frac{1}{7}\)？\(\frac{\sqrt{21}}{14}≈0.327\)，\(\frac{1}{7}≈0.142\)，不對?？赡芪覄偛诺挠嬎阌姓`，再檢查一遍：\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow=(2,-1,1)\)，點積是1×2+2×(-1)+3×1=2-2+3=3，沒錯。\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}\)，所以\(\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}×\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，約等于0.327，而選項中沒有這個答案，可能題目中的向量坐標有誤，比如把\(\overrightarrow\)改成(1,1,1)，點積是1+2+3=6，\(|\overrightarrow|=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{6}{\sqrt{14}×\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{7}≈0.925\)，也不對?；蛘甙裓(\overrightarrow{a}\)改成(1,1,1)，\(\overrightarrow=(2,-1,1)\)，點積是2-1+1=2，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}≈0.471\)，也不對?？赡芪覄偛旁诿}的時候犯了錯誤，需要調整一下。比如把\(\overrightarrow{a}=(1,2,2)\)，\(\overrightarrow=(2,1,1)\)，點積是2+2+2=6，\(|\overrightarrow{a}|=3\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}≈0.816\)，選項里沒有。或者把\(\overrightarrow{a}=(2,1,1)\)，\(\overrightarrow=(1,2,1)\)，點積是2+2+1=5，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{6}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{5}{6}≈0.833\)，選項里沒有。或者換一個簡單的，比如\(\overrightarrow{a}=(1,0,0)\)，\(\overrightarrow=(0,1,0)\)，夾角余弦是0，選項里沒有?；蛘呋氐皆}，可能我算錯了，比如\(\sqrt{14}×\sqrt{6}=\sqrt{84}=\sqrt{4×21}=2\sqrt{21}\)，沒錯，分子是3，所以\(\cos\theta=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，約等于0.327，而選項中沒有，這說明我剛才的命題有誤，需要修改題目。比如把\(\overrightarrow=(1,-1,1)\)，那么\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1×1+2×(-1)+3×1=1-2+3=2\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{14}×\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{21}≈0.436\)，選項里還是沒有?；蛘甙裓(\overrightarrow{a}=(1,2,0)\)，\(\overrightarrow=(2,-1,0)\)，點積是2-2+0=0，夾角90度，余弦0，選項里沒有。或者把\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow=(1,0,1)\)，點積是1+0+0=1，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{2}\)，\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，選項里有嗎？如果選項中有\(zhòng)(\frac{1}{2}\)，就選這個。比如修改題目：向量\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow=(1,0,1)\)，則夾角余弦值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)，這樣選A?？赡芪覄偛旁诿}的時候犯了錯誤，現(xiàn)在糾正一下，把第5題改成：5.空間向量的夾角已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow=(1,0,1)\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角余弦值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)解析：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1×1+1×0+0×1=1\)；\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}\)。故\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)。選A。6.邏輯命題命題“\(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1\geq1\)”的否定是（）A.\(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1<1\)B.\(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1\geq1\)C.\(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1<1\)D.\(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1\leq1\)考點：全稱命題的否定（換量詞，否結論）。解析：全稱命題“\(\forallx,P(x)\)”的否定是特稱命題“\(\existsx,\negP(x)\)”，故原命題否定為“\(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1<1\)”。選A。7.雙曲線的漸近線方程雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{9}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{9}x\)考點：雙曲線的漸近線公式（\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線為\(y=\pm\frac{a}x\)）。解析：\(a^2=4\Rightarrowa=2\)，\(b^2=9\Rightarrowb=3\)，故漸近線為\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。選A。8.導數(shù)的單調性函數(shù)\(f(x)=x^2-2\lnx\)的單調遞減區(qū)間是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-1,1)\)考點：利用導數(shù)求單調區(qū)間（定義域內\(f'(x)<0\)的區(qū)間）。解析：定義域為\((0,+\infty)\)，\(f'(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}\)。令\(f'(x)<0\)，則\(x^2-1<0\Rightarrow0<x<1\)。選A。9.橢圓的離心率橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)，則\(m=\)（）A.3B.5C.3或\(\frac{16}{3}\)D.5或\(\frac{16}{5}\)考點：橢圓的離心率（分焦點在x軸或y軸）。解析：當焦點在x軸時，\(a^2=m\)，\(b^2=4\)，\(c^2=m-4\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{m-4}{m}}=\frac{1}{2}\)，解得\(m=\frac{16}{3}\)；當焦點在y軸時，\(a^2=4\)，\(b^2=m\)，\(c^2=4-m\)，離心率\(e=\sqrt{\frac{4-m}{4}}=\frac{1}{2}\)，解得\(m=3\)。選C。10.排列組合從3名男生和2名女生中選出2人參加演講比賽，至少有1名女生的選法有（）A.3種B.6種C.7種D.10種考點：組合數(shù)的應用（間接法或直接法）。解析：直接法：1女1男+2女=\(C_2^1C_3^1+C_2^2=2×3+1=7\)種；間接法：總選法\(C_5^2=10\)種，減去全男生的\(C_3^2=3\)種，得7種。選C。11.導數(shù)的極值函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的極大值為（）A.1B.0C.-3D.-4考點：利用導數(shù)求極值（先求導找臨界點，再判斷單調性）。解析：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)；\(0<x<2\)時，\(f'(x)<0\)；\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)。故\(x=0\)為極大值點，\(f(0)=1\)。選A。12.圓錐曲線的綜合（壓軸題）已知拋物線\(y^2=4x\)的焦點為\(F\)，過\(F\)的直線交拋物線于\(A,B\)兩點，若\(|AF|=3\)，則\(|BF|=\)（）A.\(\frac{3}{2}\)B.2C.3D.\(\frac{1}{2}\)考點：拋物線的定義、焦點弦性質。解析：拋物線\(y^2=4x\)的焦點\(F(1,0)\)，準線\(x=-1\)。設\(A(x_1,y_1)\)，由拋物線定義得\(|AF|=x_1+1=3\Rightarrowx_1=2\)，代入拋物線方程得\(y_1^2=8\Rightarrowy_1=±2\sqrt{2}\)。直線\(AF\)的斜率為\(\frac{y_1-0}{x_1-1}=±2\sqrt{2}\)，方程為\(y=±2\sqrt{2}(x-1)\)。聯(lián)立拋物線方程\(y^2=4x\)，得\([±2\sqrt{2}(x-1)]^2=4x\Rightarrow8(x^2-2x+1)=4x\Rightarrow2x^2-5x+2=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)。故\(B\)點的橫坐標為\(\frac{1}{2}\)，由拋物線定義得\(|BF|=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)。選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.拋物線的焦點坐標拋物線\(y=x^2\)的焦點坐標為________?？键c：拋物線的標準形式（\(x^2=2py\)的焦點為\((0,\frac{p}{2})\)）。解析：\(y=x^2\Rightarrowx^2=y\)，故\(2p=1\Rightarrowp=\frac{1}{2}\)，焦點坐標為\((0,\frac{1}{4})\)。答案：\((0,\frac{1}{4})\)14.統(tǒng)計中的方差一組數(shù)據(jù)：2,3,4,5,6的方差為________。考點：方差的計算（\(s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\)）。解析：均值\(\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4\)，方差\(s^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2\)。答案：215.空間向量的坐標運算已知點\(A(1,2,3)\)，\(B(2,-1,4)\)，則向量\(\overrightarrow{AB}\)的坐標為________?？键c：空間向量的坐標表示（\(\overrightarrow{AB}=B-A\)）。解析：\(\overrightarrow{AB}=(2-1,-1-2,4-3)=(1,-3,1)\)。答案：\((1,-3,1)\)16.二項式定理\((x+\frac{1}{x})^6\)的展開式中常數(shù)項為________?？键c：二項式展開式的通項公式（\(T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r\)）。解析：通項為\(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(\frac{1}{x})^r=C_6^rx^{6-2r}\)。令\(6-2r=0\Rightarrowr=3\)，故常數(shù)項為\(C_6^3=20\)。答案：20三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.三角函數(shù)化簡求值（10分）已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})\)的值?？键c：三角函數(shù)的基本關系、余弦差公式。解析：第一步：求\(\cos\alpha\)（利用\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)）\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，故\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。（3分）第二步：用余弦差公式展開\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}\)（5分）代入值：\(=-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}\)（7分）\(=(-\frac{4\sqrt{2}}{10}+\frac{3\sqrt{2}}{10})=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)（10分）答案：\(-\frac{\sqrt{2}}{10}\)18.統(tǒng)計概率（12分）某學校為了解學生的數(shù)學成績，從高二隨機抽取了100名學生的數(shù)學成績，整理成頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績分組為：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。（1）求頻率分布直方圖中\(zhòng)(a\)的值；（2）估計該校高二學生數(shù)學成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）若從成績在[80,100]的學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率?？键c：頻率分布直方圖、中位數(shù)、古典概型。解析：（1）頻率分布直方圖的面積和為1，即：\((0.005+0.015+0.020+0.030+a)×10=1\)（2分）計算得：\(0.070+a=0.1\Rightarrowa=0.030\)（4分）（2）中位數(shù)是累積頻率為0.5的位置。前兩組頻率和為\((0.005+0.015)×10=0.2\)，前三組頻率和為\(0.2+0.020×10=0.4\)，前四組頻率和為\(0.4+0.030×10=0.7\)，故中位數(shù)在第四組[80,90)內。設中位數(shù)為\(x\)，則：\(0.4+(x-80)×0.030=0.5\)（6分）解得：\((x-80)×0.030=0.1\Rightarrowx=80+\frac{0.1}{0.030}≈83.3\)（8分）（3）成績在[80,90)的學生數(shù)為\(0.030×10×100=30\)人，[90,100]的學生數(shù)為\(0.030×10×100=30\)人（注意：這里\(a=0.030\)，所以[90,100]的頻率是0.030×10=0.3，人數(shù)30人）。從[80,100]的60人中抽取2人，總選法\(C_{60}^2\)種；“至少1人在[90,100]”的對立事件是“2人都在[80,90)”，選法\(C_{30}^2\)種。故概率為：\(P=1-\frac{C_{30}^2}{C_{60}^2}=1-\frac{30×29}{60×59}=1-\frac{870}{3540}=1-\frac{29}{118}=\frac{89}{118}≈0.754\)（12分）答案：（1）0.030；（2）83.3；（3）\(\frac{89}{118}\)19.空間幾何（12分）如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=1\)，\(BC=\sqrt{2}\)，\(AA_1=2\)，\(D\)為\(BC\)的中點。（1）證明：\(AD\perp\)平面\(BCC_1B_1\)；（2）求直線\(A_1B\)與平面\(ADC_1\)所成角的正弦值?？键c：線面垂直的判定、空間向量求線面角。解析：（1）證明：直三棱柱中，\(BB_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AD\subset\)平面\(ABC\)，故\(BB_1\perpAD\)（2分）。\(AB=AC=1\)，\(D\)為\(BC\)中點，故\(AD\perpBC\)（等腰三角形三線合一）（4分）。\(BC\capBB_1=B\)，\(BC,BB_1\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，故\(AD\perp\)平面\(BCC_1B_1\)（6分）。（2）解：建立空間直角坐標系，以\(D\)為原點，\(DB\)為\(x\)軸，\(DA\)為\(y\)軸，\(DD_1\)為\(z\)軸（\(D_1\)為\(B_1C_1\)中點）。則\(D(0,0,0)\)，\(A(0,1,0)\)（\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)？等一下，\(AB=1\)，\(BD=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(A(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0)\)，\(B(\frac{\sqrt{2}}{2},0,0)\)，\(C(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,0)\)，\(A_1(0,\frac{\sqrt{2}}{2},2)\)，\(C_1(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,2)\)（8分）。向量\(\overrightarrow{A_1B}=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-2)\)，平面\(ADC_1\)的法向量：\(\overrightarrow{DA}=(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0)\)，\(\overrightarrow{DC_1}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,2)\)。設法向量\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，則\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{DA}=0\Rightarrowy=0\)；\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{DC_1}=0\Rightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2z=0\Rightarrowx=2\sqrt{2}z\)。取\(z=1\)，則\(\overrightarrow{n}=(2\sqrt{2},0,1)\)（10分）。直線\(A_1B\)與平面\(ADC_1\)所成角\(\theta\)的正弦值為\(|\cos\langle\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\)。計算分子：\(\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})×0+(-2)×1=2-2=0\)？不對，等一下，\(\overrightarrow{A_1B}=B-A_1=(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,0-\frac{\sqrt{2}}{2},0-2)=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-2)\)，\(\overrightarrow{n}=(2\sqrt{2},0,1)\)，點積是\(\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})×0+(-2)×1=(2)+0-2=0\)，這說明\(\overrightarrow{A_1B}\perp\overrightarrow{n}\)，即直線\(A_1B\)在平面\(ADC_1\)內？不對，可能坐標系建立有誤?；蛘邠Q一種坐標系，以\(A\)為原點，\(AB\)為\(x\)軸，\(AC\)為\(y\)軸，\(AA_1\)為\(z\)軸，但\(AB=AC=1\)，\(BC=\sqrt{2}\)，所以\(AB\perpAC\)，這樣坐標系更簡單。重新建立坐標系：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)（因為\(AB=AC=1\)，\(BC=\sqrt{2}\)，所以\(AB\perpAC\)），\(A_1(0,0,2)\)，\(B_1(1,0,2)\)，\(C_1(0,1,2)\)，\(D\)為\(BC\)中點，故\(D(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\)（8分）。向量\(\overrightarrow{A_1B}=B-A_1=(1,0,-2)\)，平面\(ADC_1\)的向量：\(\overrightarrow{AD}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\)，\(\overrightarrow{AC_1}=(0,1,2)\)。設平面\(ADC_1\)的法向量\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，則：\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\Rightarrowx+y=0\)（9分）；\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC_1}=0\Rightarrowy+2z=0\Rightarrowy=-2z\)（10分）。取\(z=1\)，則\(y=-2\)，\(x=2\)，故\(\overrightarrow{n}=(2,-2,1)\