高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題練習(xí)試題集引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿代數(shù)、幾何、概率等多個板塊，也是高考的核心考點(diǎn)（占比約20%~25%）。從基礎(chǔ)的定義域、值域，到抽象的奇偶性、周期性，再到綜合的零點(diǎn)問題、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，函數(shù)考查的深度和廣度逐年提升。本試題集聚焦函數(shù)的核心考點(diǎn)，通過“考點(diǎn)分析+典型例題+變式練習(xí)+綜合訓(xùn)練”的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生系統(tǒng)突破難點(diǎn)，提升解題能力。專題一函數(shù)的基本概念：定義域、值域與解析式一、考點(diǎn)分析考查內(nèi)容：定義域（分式、根式、對數(shù)、復(fù)合函數(shù)）、值域（配方法、換元法、單調(diào)性法、分離常數(shù)法）、解析式（待定系數(shù)法、換元法、消元法）。高考形式：多以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度中等偏低，但易因細(xì)節(jié)失誤丟分（如定義域的端點(diǎn)開閉、值域的方法選擇）。二、典型例題例1函數(shù)定義域的求解（分式+根式）求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\)的定義域。解題思路：定義域需滿足“根式內(nèi)非負(fù)+分式分母不為零”。解答：\[\begin{cases}x+2\geq0\\x-1\neq0\end{cases}\Rightarrowx\geq-2\text{且}x\neq1.\]結(jié)論：定義域?yàn)閈([-2,1)\cup(1,+\infty)\)（區(qū)間形式）或\(\{x|x\geq-2且x\neq1\}\)（集合形式）。注意：定義域需規(guī)范書寫，遺漏分母不為零或根式非負(fù)會導(dǎo)致錯誤。例2函數(shù)值域的求解（換元法）求函數(shù)\(f(x)=x+\sqrt{x-1}\)的值域。解題思路：根號內(nèi)的表達(dá)式為\(x-1\)，可設(shè)\(t=\sqrt{x-1}\)（\(t\geq0\)），將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于\(t\)的二次函數(shù)，再求值域。解答：設(shè)\(t=\sqrt{x-1}\)，則\(t\geq0\)，\(x=t^2+1\)。代入原函數(shù)得：\[f(t)=t^2+1+t=t^2+t+1.\]這是一個開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為\(t=-\frac{1}{2}\)。由于\(t\geq0\)，函數(shù)在\(t\geq0\)上單調(diào)遞增，最小值為\(f(0)=1\)。結(jié)論：值域?yàn)閈([1,+\infty)\)。注意：換元后需明確新變量的取值范圍（如\(t\geq0\)），否則會導(dǎo)致值域錯誤。三、變式練習(xí)1.求函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}+\log_2(x-1)\)的定義域。（答案：\((\frac{3}{2},+\infty)\)）2.求函數(shù)\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)的值域。（提示：分離常數(shù)法，答案：\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)）3.已知\(f(2x+1)=4x^2+2x\)，求\(f(x)\)的解析式。（提示：待定系數(shù)法或換元法，答案：\(f(x)=x^2-x\)）專題二函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性與周期性一、考點(diǎn)分析考查內(nèi)容：單調(diào)性（定義法、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性）、奇偶性（定義判斷、圖像特征）、周期性（定義、周期計(jì)算）。高考形式：多以選擇題、填空題出現(xiàn)，常與函數(shù)圖像、零點(diǎn)問題結(jié)合考查，難度中等。二、典型例題例1單調(diào)性的定義法證明（二次函數(shù)）證明函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+1\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。解題思路：定義法證明單調(diào)性的步驟：取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論。解答：1.取值：任取\(x_1,x_2\in[1,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)；2.作差：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2-2x_2+1)-(x_1^2-2x_1+1)=x_2^2-x_1^2-2(x_2-x_1)\)；3.變形：因式分解得\((x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1-2)\)；4.判斷符號：\(x_1<x_2\Rightarrowx_2-x_1>0\)；\(x_1,x_2\geq1\Rightarrowx_2+x_1\geq2\Rightarrowx_2+x_1-2\geq0\)；5.結(jié)論：\(f(x_2)-f(x_1)>0\Rightarrowf(x_2)>f(x_1)\)，因此\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。注意：定義法證明單調(diào)性需嚴(yán)格遵循步驟，變形時需分解出\(x_2-x_1\)的因子，以便判斷符號。例2奇偶性的判斷（含絕對值函數(shù)）判斷函數(shù)\(f(x)=x|x|+1\)的奇偶性。解題思路：判斷奇偶性的步驟：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱→計(jì)算\(f(-x)\)→比較\(f(-x)\)與\(f(x)\)或\(-f(x)\)。解答：1.定義域：\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點(diǎn)對稱；2.計(jì)算\(f(-x)\)：\(f(-x)=(-x)|-x|+1=-x|x|+1\)；3.比較：\(f(-x)\neqf(x)\)（非偶函數(shù)），\(f(-x)\neq-f(x)\)（非奇函數(shù)）。結(jié)論：\(f(x)\)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。注意：定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，直接判定為非奇非偶函數(shù)。例3周期性的計(jì)算（抽象函數(shù)）已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，求\(f(x)\)的周期。解題思路：周期性的定義：若\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\neq0\)），則\(T\)為周期。通過遞推法求周期。解答：由\(f(x+2)=-f(x)\)，可得：\[f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x).\]因此，\(f(x)\)的周期為\(4\)。注意：常見周期函數(shù)的周期：\(\sinx\)（周期\(2\pi\)）、\(\cosx\)（周期\(2\pi\)）、\(\tanx\)（周期\(\pi\)）。三、變式練習(xí)1.判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2}{|x|}\)的奇偶性。（答案：偶函數(shù)）2.證明函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。（提示：定義法）3.已知\(f(x+1)=-f(x)\)，求\(f(x)\)的周期。（答案：\(2\)）專題三函數(shù)的圖像與變換一、考點(diǎn)分析考查內(nèi)容：圖像的平移（左加右減、上加下減）、伸縮（橫坐標(biāo)伸縮、縱坐標(biāo)伸縮）、對稱（關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱）。高考形式：多以選擇題、填空題出現(xiàn)，常與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合考查，難度中等。二、典型例題例1圖像的平移變換（左加右減）已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((1,2)\)，求函數(shù)\(y=f(x+3)-1\)的圖像經(jīng)過的定點(diǎn)。解題思路：平移變換的規(guī)律：向左平移\(a\)個單位，自變量加\(a\)；向下平移\(b\)個單位，函數(shù)值減\(b\)。解答：函數(shù)\(y=f(x+3)-1\)是由\(y=f(x)\)向左平移3個單位、向下平移1個單位得到的。原定點(diǎn)\((1,2)\)向左平移3個單位后，橫坐標(biāo)變?yōu)閈(1-3=-2\)；向下平移1個單位后，縱坐標(biāo)變?yōu)閈(2-1=1\)。因此，新定點(diǎn)為\((-2,1)\)。驗(yàn)證：將\(x=-2\)代入\(y=f(x+3)-1\)，得\(y=f(1)-1=2-1=1\)，正確。例2圖像的對稱變換（關(guān)于y軸對稱）已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像關(guān)于y軸對稱，求\(f(x)\)與\(f(-x)\)的關(guān)系。解題思路：關(guān)于y軸對稱的函數(shù)，其圖像上的點(diǎn)\((x,y)\)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)\((-x,y)\)也在圖像上。解答：若\(y=f(x)\)的圖像關(guān)于y軸對稱，則對任意\(x\)，有\(zhòng)(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)的定義）。結(jié)論：\(f(-x)=f(x)\)。三、變式練習(xí)1.將函數(shù)\(y=\log_2x\)的圖像向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的函數(shù)解析式為______。（答案：\(y=\log_2(x-2)+1\)）2.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且\(f(1)=2\)，求\(f(-1)\)的值。（答案：\(-2\)）專題四函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的問題一、考點(diǎn)分析考查內(nèi)容：零點(diǎn)存在定理（判斷零點(diǎn)是否存在）、零點(diǎn)個數(shù)判斷（結(jié)合單調(diào)性、圖像）、根的分布（二次方程根的分布）、零點(diǎn)個數(shù)與參數(shù)范圍（含參函數(shù)）。高考形式：多以選擇題、填空題、解答題出現(xiàn)，常與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用結(jié)合考查，難度中等偏上。二、典型例題例1零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用（判斷零點(diǎn)個數(shù)）判斷函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)在區(qū)間\((0,2)\)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)。解題思路：零點(diǎn)存在定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。結(jié)合單調(diào)性判斷零點(diǎn)個數(shù)。解答：1.連續(xù)性：\(f(x)\)是多項(xiàng)式函數(shù)，在\((0,2)\)內(nèi)連續(xù)；2.端點(diǎn)值：\(f(0)=1>0\)，\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=3>0\)；3.零點(diǎn)存在：\(f(0)\cdotf(1)<0\Rightarrow(0,1)\)內(nèi)有一個零點(diǎn)；\(f(1)\cdotf(2)<0\Rightarrow(1,2)\)內(nèi)有一個零點(diǎn)；4.單調(diào)性：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，在\((0,1)\)內(nèi)\(f'(x)<0\)（單調(diào)遞減），在\((1,2)\)內(nèi)\(f'(x)>0\)（單調(diào)遞增）；5.零點(diǎn)個數(shù)：\((0,1)\)內(nèi)單調(diào)遞減，有一個零點(diǎn)；\((1,2)\)內(nèi)單調(diào)遞增，有一個零點(diǎn)。結(jié)論：\(f(x)\)在\((0,2)\)內(nèi)有2個零點(diǎn)。例2根的分布問題（二次方程根的分布）已知二次方程\(x^2-2ax+a+2=0\)的兩個根都在區(qū)間\((1,3)\)內(nèi)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解題思路：二次方程根的分布需考慮：①判別式\(\Delta\geq0\)；②對稱軸在區(qū)間內(nèi)；③端點(diǎn)值的符號。解答：設(shè)\(f(x)=x^2-2ax+a+2\)，則根在\((1,3)\)內(nèi)的條件為：\[\begin{cases}\Delta=(2a)^2-4(a+2)\geq0,\\1<a<3,\\f(1)>0,\\f(3)>0.\end{cases}\]計(jì)算得：1.\(\Delta=4a^2-4a-8\geq0\Rightarrowa^2-a-2\geq0\Rightarrow(a-2)(a+1)\geq0\Rightarrowa\leq-1\)或\(a\geq2\)；2.對稱軸\(x=a\in(1,3)\Rightarrow1<a<3\)；3.\(f(1)=1-2a+a+2=3-a>0\Rightarrowa<3\)；4.\(f(3)=9-6a+a+2=11-5a>0\Rightarrowa<\frac{11}{5}=2.2\)。綜上，\(a\)的取值范圍為\([2,\frac{11}{5})\)。三、變式練習(xí)1.判斷函數(shù)\(f(x)=e^x-x-2\)在區(qū)間\((0,2)\)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)。（答案：1個）2.已知二次方程\(x^2+mx+1=0\)有兩個正根，求\(m\)的取值范圍。（答案：\(m\leq-2\)）專題四導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用（高三拓展）一、考點(diǎn)分析考查內(nèi)容：切線方程（過點(diǎn)切線、切點(diǎn)切線）、單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)符號）、極值（導(dǎo)數(shù)為零且符號變化）、最值（區(qū)間端點(diǎn)與極值）、恒成立問題（分離參數(shù)法）。高考形式：多以解答題出現(xiàn)，常與函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)問題結(jié)合考查，難度較大。二、典型例題例1切線方程的求解（過點(diǎn)切線）求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)過點(diǎn)\((2,2)\)的切線方程。解題思路：過點(diǎn)切線需先驗(yàn)證點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上（本題點(diǎn)\((2,2)\)在圖像上），再求導(dǎo)數(shù)得斜率，用點(diǎn)斜式寫切線方程。解答：1.驗(yàn)證點(diǎn)：\(f(2)=8-6=2\)，點(diǎn)\((2,2)\)在函數(shù)圖像上；2.求導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=3x^2-3\)；3.求斜率：\(f'(2)=3\times4-3=9\)；4.寫切線方程：\(y-2=9(x-2)\Rightarrowy=9x-16\)。例2單調(diào)性的判斷（含參函數(shù)）求函數(shù)\(f(x)=x^3-ax^2+1\)的單調(diào)區(qū)間（\(a>0\)）。解題思路：導(dǎo)數(shù)的符號決定函數(shù)的單調(diào)性：\(f'(x)>0\)時，函數(shù)單調(diào)遞增；\(f'(x)<0\)時，函數(shù)單調(diào)遞減。解答：1.求導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)\)；2.求臨界點(diǎn)：令\(f'(x)=0\Rightarrowx=0\)或\(x=\frac{2a}{3}\)；3.判斷符號：當(dāng)\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<\frac{2a}{3}\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>\frac{2a}{3}\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。結(jié)論：單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((\frac{2a}{3},+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,\frac{2a}{3})\)。例3恒成立問題與參數(shù)范圍（分離參數(shù)法）已知\(f(x)=x^2-2ax+1\geq0\)對任意\(x\in[1,+\infty)\)恒成立，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解題思路：恒成立問題可分離參數(shù)\(a\)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。解答：由\(x^2-2ax+1\geq0\)，得\(2ax\leqx^2+1\)。由于\(x\in[1,+\infty)\)，兩邊除以\(x\)得：\[2a\leqx+\frac{1}{x}.\]因此，\(a\leq\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\)對任意\(x\in[1,+\infty)\)恒成立。令\(g(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\)，求\(g(x)\)在\([1,+\infty)\)上的最小值。求導(dǎo)數(shù)：\(g'(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{x^2})\)。當(dāng)\(x\geq1\)時，\(g'(x)\geq0\)，\(g(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，最小值為\(g(1)=\frac{1}{2}(1+1)=1\)。因此，\(a\leq1\)。三、變式練習(xí)1.求函數(shù)\(f(x)=\lnx\)過點(diǎn)\((1,0)\)的切線方程。（答案：\(y=x-1\)）2.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值。（答案：極大值\(f(0)=2\)，極小值\(f(2)=-2\)）3.已知\(f(x)=x^2-ax+1\geq0\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)恒成立，求\(a\)的取值范圍。（答案：\(-2\leqa\leq2\)）綜合訓(xùn)練（涵蓋所有專題）一、選擇題1.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{1-2^x}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}\)的定義域是（）A.\((-3,0]\)B.\((-3,1]\)C.\((-\infty,-3)\cup(-3,0]\)D.\((-\infty,-3)\cup(-3,1]\)（答案：A）2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(f(x)=x^3\)B.\(f(x)=|x|+1\)C.\(f(x)=-x^2+1\)D.\(f(x)=2^{-x}\)（答案：B）3.函數(shù)\(f(x)=\ln(x+1)-\frac{2}{x}\)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((2,3)\)D.\((3,4)\)（答案：B）二、填空題4.已知函數(shù)\(f(x)=x^2+ax+b\)是偶函數(shù)，且\(f(1)=3\)，則\(f(-1)=\)______。（答案：3）5.函數(shù)\(f(x)=2^x+x-4\)的零點(diǎn)個數(shù)是______。（答案：1）三、解答題6.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。（1）求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）求\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最值。（答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間\((-\infty,0)\)、\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間\((0,2)\)；（2）最大值\(f(0)=2\)，最小值\(f(-1)=-2\)）7.已知函數(shù)\(f(x)=\log_a(x+1)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖像過點(diǎn)\((1,1)\)。（1）求\(a\)的值；（2）若\(f(x)>1\)，求\(x\)的取值范圍。（答案：（1）\(a=2\)；（2）\(x>1\)）答案與解析專題一變式練習(xí)1.答案：\((\frac{3}{2},+\infty)\)解析：需滿足\(2x-3>0\)（根式分母）且\(x-1>0\)（對數(shù)真數(shù)），解得\(x>\frac{3}{2}\)。2.答案：\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)解析：分離常數(shù)得\(f(x)=2+\frac{3}{x-1}\)，由于\(\frac{3}{x-1}\neq0\)，故\(f(x)\neq2\)。3.答案：\(f(x)=x^2-x\)解析：設(shè)\(t=2x+1\)，則\(x=\frac{t-1}{2}\)，代入得\(f(t)=4(\frac{t-1}{2})^2+2(\frac{t-1}{2})=(t-1)^2+(t-1)=t^2-t\)，故\(f(x)=x^2-x\)。專題二變式練習(xí)1.答案：偶函數(shù)解析：定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，關(guān)于原點(diǎn)對稱。\(f(-x)=\frac{(-x)^2}{|-x|}=\frac{x^2}{|x|}=f(x)\)，故為偶函數(shù)。2.證明：任取\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)，則\(f(x_2)-f(x_1)=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)。由于\(x_1<x_2\)，\(x_1-x_2<0\)，\(x_1x_2>0\)，故\(f(x_2)-f(x_1)<0\)，即\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。3.答案：\(2\)解析：由\(f(x+1)=-f(x)\)，得\(f(x+2)=-f(x+1)=f(x)\)，故周期為\(2\)。專題三變式練習(xí)1.答案：\(y=\log_2(x-2)+1\)解析：向右平移2個單位得\(y=\log_2(x-2)\)，向上平移1個單位得\(y=\log_2(x-2)+1\)。2.答案：\(-2\)解析：函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故\(f(-1)=-f(1)=-2\)。專題四變式練習(xí)1.答案：1個解析：\(f(x)=e^x-x-2\)在\((0,2)\)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)遞增（\(f'(x)=e^x-1>0\)），\(f(0)=-1<0\)，\(f(2)=e^2-4>0\)，故有1個零點(diǎn)。2.答案：\(m\leq-2\)解析：二次方程有兩個正根需滿足：\(\Delta=m^2-4\geq0\)（判別式），\(-m>0\)（兩根之和為正），\(1>0\)（兩根之積為正），解得\(m\leq-2\)。專題五變式練習(xí)1.答案：\(y=x-1\)解析：\(f(1)=\ln1=0\)，點(diǎn)\((1,0)\)在函數(shù)圖像上。\(f'(x)=\frac{1}{x}\)，\(f'(1)=1\)，故切線方程為\(y-0=1(x-1)\)，即\(y=x-1\)。2.答案：極大值\(2\)，極小值\(-2\)解析：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)；當(dāng)\(0<x<2\)時，\(f'(x)<0\)；當(dāng)\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)。故\(f(0)=2\)為極大值，\(f(2)=-2\)為極小值。3.答案：\(-2\leqa\leq2\)解析：\(f(x)=x^2-ax+1\geq0\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)恒成立，需\(\Delta=a^2-4\leq0\)，解得\(-2\leqa\leq2\)