15.2.2分式的加減第1課時(shí)分式的加減教學(xué)目標(biāo)課題15.2.2第1課時(shí)分式的加減授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.熟練掌握同分母分式的加減法法則及運(yùn)算.2.掌握異分母分式的加減法法則及運(yùn)算. 3.通過探究異分母分式加減法法則的過程，提高思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生整體思考和分析問題的能力. 教學(xué)重點(diǎn)分式的加減法．教學(xué)難點(diǎn)異分母分式的加減法及簡單的分式混合運(yùn)算.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：提問質(zhì)疑，啟發(fā)新知設(shè)計(jì)意圖安排兩個(gè)具有實(shí)際背景的問題，這樣可以反映出分式的加減運(yùn)算是由實(shí)際需要產(chǎn)生的，讓學(xué)生感知到學(xué)習(xí)分式加減法的必要性.【問題導(dǎo)入】問題1甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程需n天，乙工程隊(duì)要比甲隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程，兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的幾分之幾？甲工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的eq\f(1,n)，乙工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的eq\f(1,n＋3)，兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的(eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋3)).問題22009年、2010年、2011年某地的森林面積(單位：km2)分別是S1，S2，S3，2011年與2010年相比，森林面積增長率提高了多少？2011年的森林面積增長率是eq\f(S3－S2,S2)，2010年的森林面積增長率是eq\f(S2－S1,S1)，2011年與2010年相比，森林面積增長率提高了eq\f(S3－S2,S2)－eq\f(S2－S1,S1).從上面的問題可知，為討論數(shù)量關(guān)系，有時(shí)需要進(jìn)行分式的加減運(yùn)算.【教學(xué)建議】教學(xué)中討論這兩個(gè)問題時(shí)，重點(diǎn)應(yīng)放在列出算式，為引出分式的加減法法則做準(zhǔn)備．至于如何進(jìn)行運(yùn)算，則是下面要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.活動二：實(shí)踐探究，獲取新知設(shè)計(jì)意圖由同分母分?jǐn)?shù)的計(jì)算引入，通過探究得出同分母分式加減法的法則，滲透類比思想，讓學(xué)生體會自主探究的樂趣，并用例題對解題過程加以示范，對知識點(diǎn)加以鞏固.探究點(diǎn)1同分母分式的加減計(jì)算：eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＝(eq\f(3,5))，eq\f(1,5)－eq\f(2,5)＝(－eq\f(1,5)).由此我們回想一下，同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則是什么？同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，把分子相加減.嘗試計(jì)算：(1)eq\f(1,a)＋eq\f(2,a)＝(eq\f(3,a))；(2)eq\f(6,xy)－eq\f(2,xy)＝(eq\f(4,xy))；(3)eq\f(7,x－1)－eq\f(－2,x－1)＝(eq\f(9,x－1)).那么，你能將同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則推廣，得到同分母分式的加減法法則嗎？類比引入：類似分?jǐn)?shù)的加減法，同分母分式的加減法法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.上述法則可用式子表示為eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).【教學(xué)建議】教材對分式的加減法法則用文字形式和式子形式分別進(jìn)行了表述．教學(xué)中首先出現(xiàn)文字表述，在學(xué)生理解后，可以適時(shí)地提出如何用式子形式表述法則的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)法則．這樣處理不僅可以加深學(xué)生對法則本身的理解，而且可以鍛煉他們用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)量關(guān)系的能力.教學(xué)步驟師生活動例[教材P140例6(1)]計(jì)算：eq\f(5x＋3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2).解：eq\f(5x＋3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)＝eq\f(5x＋3y－2x,x2－y2)＝eq\f(3x＋3y,x2－y2)＝eq\f(3（x＋y）,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(3,x－y).【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P141練習(xí)第1題.【教學(xué)建議】教學(xué)中需強(qiáng)調(diào)符號問題：①注意分?jǐn)?shù)線有括號的作用，分子相加減時(shí)，要注意添括號，把各分式分子看成一個(gè)整體；②分子去括號時(shí)，如果括號前面是“－”號，在去掉括號后，原括號內(nèi)的各項(xiàng)都要變號.設(shè)計(jì)意圖由異分母分?jǐn)?shù)的計(jì)算引入，通過探究得出異分母分式加減法的法則，滲透類比思想，讓學(xué)生體會自主探究的樂趣，并用例題對解題過程加以示范，對知識點(diǎn)加以鞏固..探究點(diǎn)2異分母分式的加減計(jì)算：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝(eq\f(3,6))＋(eq\f(2,6))＝(eq\f(5,6))，eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝(eq\f(3,6))－(eq\f(2,6))＝(eq\f(1,6)).由此我們回想一下，異分母分?jǐn)?shù)加減法的法則是什么？異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)，再加減.嘗試計(jì)算：(1)eq\f(3,a)＋eq\f(1,4a)＝(eq\f(13,4a))；(2)eq\f(1,u)＋eq\f(1,v)＝(eq\f(v＋u,uv))；(3)eq\f(2,a2)－eq\f(3,ab)＝(eq\f(2b－3a,a2b)).那么，你能將異分母分?jǐn)?shù)加減法的法則推廣，得到異分母分式的加減法法則嗎？類比引入：類似分?jǐn)?shù)的加減法，異分母分式的加減法法則是：異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.上述法則可用式子表示為eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd).例[教材P140例6(2)]計(jì)算：eq\f(1,2p＋3q)＋eq\f(1,2p－3q).解：原式＝eq\f(2p－3q,（2p＋3q）（2p－3q）)＋eq\f(2p＋3q,（2p＋3q）（2p－3q）)(通分)＝eq\f(2p－3q＋2p＋3q,（2p＋3q）（2p－3q）)(同分母分式相加減)＝eq\f(4p,4p2－9q2).(化簡)【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P141練習(xí)第2題(1)(2)(3)．【教學(xué)建議】教師需強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)分式加減法的初期，先不要過多地跳步，以免出錯(cuò)，同時(shí)也便于檢查.例題的結(jié)果寫成eq\f(4p,4p2－9q2)或eq\f(4p,（2p＋3q）（2p－3q）)均可，教學(xué)中不宜強(qiáng)調(diào)必須使用某一種形式，只要強(qiáng)調(diào)將結(jié)果化為最簡分式即可．活動三：知識延伸，新知補(bǔ)充設(shè)計(jì)意圖在上面一個(gè)例題基礎(chǔ)上加大了難度(或增加項(xiàng)數(shù)，或需因式分解)，這是知識的延伸和補(bǔ)充，意在強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力.例計(jì)算：(1)eq\f(a＋2b,b－a)－eq\f(2b,a＋b)－eq\f(5ab,b2－a2)；(2)eq\f(m3＋2m2－3m,m2－9)－m－1.解：(1)eq\f(a＋2b,b－a)－eq\f(2b,a＋b)－eq\f(5ab,b2－a2)＝eq\f(（a＋2b）（b＋a）,（b－a）（b＋a）)－eq\f(2b（b－a）,（b＋a）（b－a）)－eq\f(5ab,（b＋a）（b－a）)＝eq\f(a2＋3ab＋2b2－2b2＋2ab－5ab,（b－a）（b＋a）)＝eq\f(a2,（b－a）（b＋a）)；【教學(xué)建議】此處可在上一個(gè)例題完成后總結(jié)“異分母分式的加減法”的一般步驟：(1)通分；(2)加減；(3)合并；(4)約分．再講此例題.教學(xué)步驟師生活動(2)eq\f(m3＋2m2－3m,m2－9)－m－1＝eq\f(m3＋2m2－3m,m2－9)－(m＋1)＝eq\f(m（m2＋2m－3）,（m＋3）（m－3）)－(m＋1)＝eq\f(m（m＋3）（m－1）,（m＋3）（m－3）)－(m＋1)＝eq\f(m（m－1）,m－3)－(m＋1)＝eq\f(m2－m,m－3)－eq\f(（m＋1）（m－3）,m－3)＝eq\f(m2－m－（m2－2m－3）,m－3)＝eq\f(m2－m－m2＋2m＋3,m－3)＝eq\f(m＋3,m－3).【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P141練習(xí)第2題(4)．教師還需強(qiáng)調(diào)在計(jì)算時(shí)，各分子都應(yīng)用括號括起來，若分子是系數(shù)為正的單項(xiàng)式，括號可以省略，若分子是多項(xiàng)式且分子相減時(shí)，括號不能省略，否則容易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.同分母分式的加減法法則是什么？用式子如何表示？2.異分母分式的加減法法則是什么？用式子如何表示？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P146習(xí)題15.2第4，5題.2.《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)15.2.2分式的加減第1課時(shí)分式的加減教學(xué)反思本節(jié)課從分?jǐn)?shù)加減法引入，類比得出分式的加減法，最關(guān)鍵的是法則的探究，重點(diǎn)是法則的運(yùn)用，易錯(cuò)點(diǎn)是同分母分式的減法中減式的分子為多項(xiàng)式時(shí)減之前忘記添括號．教師宜讓學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立的思考，完成練習(xí)，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)自主完成類比探究學(xué)習(xí)的過程，從而獲得學(xué)習(xí)的成就感和樂趣解題大招一與分式加減法有關(guān)的糾錯(cuò)題的解法遇到與分式加減法有關(guān)的糾錯(cuò)題可從以下常見的幾個(gè)錯(cuò)誤方向來考慮：①計(jì)算過程中漏掉了分母；②分式的運(yùn)算中當(dāng)分式前面是減號時(shí)，忽視分?jǐn)?shù)線的括號作用；③分式的基本性質(zhì)用錯(cuò)等．例1下列是某學(xué)生化簡分式eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,x2－1)的解答過程，他只知道結(jié)果錯(cuò)了，卻找不出原因，請你幫助他，并完成以下問題．eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,x2－1)＝eq\f(1,（x＋1）（x－1）)＋eq\f(2,（x＋1）（x－1）)(第一步)＝eq\f(1＋2,（x＋1）（x－1）)(第二步)＝eq\f(3,x2－1).(第三步)(1)該學(xué)生的解答過程是從第一步開始出錯(cuò)的，出錯(cuò)的原因是分式的基本性質(zhì)用錯(cuò)．(2)請寫出此題正確的解答過程．解：eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,x2－1)＝eq\f(x－1,（x＋1）（x－1）)＋eq\f(2,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(1,x－1).解題大招二與分式加減有關(guān)的化簡求值先觀察式子看是同分母加減還是異分母加減，然后按照相應(yīng)的法則化簡，最后代值計(jì)算即可．例2(1)(2023·鄂州中考)先化簡，再求值：eq\f(a,a2－1)－eq\f(1,a2－1)，其中a＝2.解：原式＝eq\f(a－1,a2－1)＝eq\f(a－1,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(1,a＋1).當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝eq\f(1,2＋1)＝eq\f(1,3).(2)(2023·衡陽中考)已知x＝5，求eq\f(3,x－4)－eq\f(24,x2－16)的值．解：原式＝eq\f(3x＋12,（x＋4）（x－4）)－eq\f(24,（x＋4）（x－4）)＝eq\f(3x－12,（x＋4）（x－4）)＝eq\f(3（x－4）,（x＋4）（x－4）)＝eq\f(3,x＋4).當(dāng)x＝5時(shí)，原式＝eq\f(3,5＋4)＝eq\f(1,3).解題大招三與分式加減有關(guān)的運(yùn)算技巧1．逐項(xiàng)通分通過觀察可發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)分式的分母之積符合平方差公式，計(jì)算后與第三個(gè)分式的分母之積又符合平方差公式，依此類推可解此類題．例3eq\f(1,1－m)＋eq\f(1,1＋m)＋eq\f(2,1＋m2)＋eq\f(4,1＋m4).解：原式＝eq\f(1＋m＋1－m,1－m2)＋eq\f(2,1＋m2)＋eq\f(4,1＋m4)＝eq\f(2（1＋m2）＋2（1－m2）,1－m4)＋eq\f(4,1＋m4)＝eq\f(4,1－m4)＋eq\f(4,1＋m4)＝eq\f(8,1－m8).2．分組計(jì)算多個(gè)分式相加減時(shí)，要先觀察其特征，如果有同分母的，可以把同分母分式先加減，沒有同分母的，若分母可組成平方差公式，則可考慮將它們組合起來計(jì)算．例4計(jì)算：eq\f(1,x－2)－eq\f(2,x－1)＋eq\f(2,x＋1)－eq\f(1,x＋2).解：原式＝(eq\f(1,x－2)－eq\f(1,x＋2))＋(eq\f(2,x＋1)－eq\f(2,x－1))＝eq\f(x＋2－x＋2,（x＋2）（x－2）)＋eq\f(2x－2－2x－2,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4,（x＋2）（x－2）)－eq\f(4,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4（x＋1）（x－1）－4（x＋2）（x－2）,（x＋2）（x－2）（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4x2－4－4x2＋16,（x＋2）（x－2）（x＋1）（x－1）)＝eq\f(12,（x＋2）（x－2）（x＋1）（x－1）).3．“裂項(xiàng)”求和當(dāng)分式的分子等于分母中兩個(gè)因式的差時(shí)，可將分式拆成兩個(gè)式子的差，如利用eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)拆分計(jì)算；當(dāng)分式的分子等于分母中兩個(gè)因式的和時(shí)，可將分式拆成兩個(gè)式子的和，如利用eq\f(m＋n,mn)＝eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)拆分計(jì)算．例5【閱讀并計(jì)算】例：計(jì)算：eq\f(1,x（x＋1）)＋eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＋eq\f(1,（x＋2）（x＋3）).原式＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x＋2)－eq\f(1,x＋3)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋3)＝eq\f(3,x（x＋3）).仿照上例計(jì)算：eq\f(2,x（x＋2）)＋eq\f(2,（x＋2）（x＋4）)＋eq\f(2,（x＋4）（x＋6）).解：原式＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x＋2)－eq\f(1,x＋4)＋eq\f(1,x＋4)－eq\f(1,x＋6)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋6)＝eq\f(6,x（x＋6）).培優(yōu)點(diǎn)利用分式的加減求字母或式子的值例(2023·濟(jì)寧期末)仿照例子解題：若eq\f(M,x＋1)＋eq\f(N,x－1)＝eq\f(1－3x,x2－1)恒成立，