第02講等差數(shù)列及其前n項和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：等差數(shù)列的基本量運算 2題型二：等差數(shù)列的判定與證明 3題型三：等差數(shù)列的性質(zhì) 5題型四：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) 5題型五：等差數(shù)列前n項和的最值 6題型六：等差數(shù)列的實際應(yīng)用 9題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項問題的討論 11題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題 13題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解 15題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題 1602重難創(chuàng)新練 1903真題實戰(zhàn)練 30題型一：等差數(shù)列的基本量運算1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知首項的等差數(shù)列中，，若該數(shù)列的前項和，則等于（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得或，若，則為常數(shù)數(shù)列，則，不合題意，舍去；則，由等差數(shù)列前項和公式得，解得.故選：D.2．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.3．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由等差數(shù)列前項和公式,得，即.因為，所以,由，可得,所以，,所以.故選：D.4．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且，則首項（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，且，所以，所以.故選：A題型二：等差數(shù)列的判定與證明5．已知數(shù)列滿足：，，.(1)證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，所以為常數(shù)，又，所以數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列.所以，當時，，所以，又，所以，又，滿足，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，對恒成立，得到對恒成立，所以.6．數(shù)列的前項和為，且，當時，.(1)計算：，；(2)證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；【解析】（1）由，，令，得，又，所以，令，得，又；（2）因為當時，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，所以，所以，于是，當時，，當時，，滿足上式，故.7．（2024·高三·山東濟寧·開學(xué)考試）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，為的前項和，．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【解析】在正數(shù)的數(shù)列中，，當時，，兩式相減得：，整理得，顯然，則，又，即，，解得，有，因此，，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.8．（2024·高三·山東·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項和為，已知．證明：；【解析】證明：因為，當時，，兩式相減，得①，則②，②-①得，所以．當時，，當時，．所以，所以．題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)9．（2024·遼寧撫順·三模）已知數(shù)列的前n項和為，若，則，.【答案】299【解析】由，得，解得；則，顯然是等差數(shù)列，所以.故答案為：2；9910．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，則.【答案】【解析】，故.故答案為：.題型四：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則．【答案】【解析】因為等差數(shù)列和的前n項和分別為和，故可設(shè)，所以，所以.故答案為：.12．已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則．【答案】【解析】等差數(shù)列的前項和分別為，且，所以.故答案為：13．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，則.【答案】200【解析】依題意，，，，…，依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為.又，，因此，解得，所以.故答案為：200題型五：等差數(shù)列前n項和的最值14．（2024·四川南充·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，已知、、成等比數(shù)列，，當取得最大值時，（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，由、、成等比數(shù)列，得，解得，因此，則，當且僅當時取等號，所以.故選：A15．若是等差數(shù)列，表示的前n項和，，則中最小的項是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以，所以公差，故當時，，當時，，所以當時，取得最小值，即中最小的項是.故選：B.16．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．【解析】（1）數(shù)列滿足①，當時，有②，①②可得：，即，變形可得，故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則有，即，解得，所以，所以單調(diào)遞減，又當時，，當時，，當時，，故當或時，取得最大值，且．17．在等差數(shù)列中，已知：，.(1)求數(shù)列的公差及通項公式；(2)求數(shù)列的前項和的最小值，并指出此時正整數(shù)的值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，，所以等差數(shù)列的公差為，通項公式.（2）因為，所以，當時，有最小值，此時正整數(shù)的值為.18．記為等差數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)求的最小值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以當時，；當時，；當時，，所以，當或時，取得最小值，即，所以，故的最小值為.題型六：等差數(shù)列的實際應(yīng)用19．（2024·山西·模擬預(yù)測）干支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【答案】D【解析】天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，故100年后天干為甲，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為“辰”后面第四個，即“申”，所以2124年為甲申年．故選：D20．（2024·湖南·二模）張揚的父親經(jīng)營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列．有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上標記了兩個缺貨尺寸．幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標記缺貨尺寸的進貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼．現(xiàn)在問題是，另外一個缺貨尺寸是（

）A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼【答案】C【解析】設(shè)第一個尺碼為，公差為，則，則，當時，，故若不缺碼，所有尺寸加起來的總和為碼，所有缺貨尺碼的和為碼，又因為缺貨的一個尺寸為碼，則另外一個缺貨尺寸碼，故選：C.21．（2024·四川達州·一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個；五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2個.這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前5個數(shù)的和為（

）A．189 B．190 C．191 D．192【答案】B【解析】根據(jù)題意，被以3除余2，除以5余3的數(shù)，構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，則，所以將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前5個數(shù)的和為.故選：B.22．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年【答案】A【解析】天干以十年為一個周期，地支以十二年為一個周期.年與年相隔年，，即天干有24個周期，余7年；，即地支有20個周期，余7年.故甲往前數(shù)7年為丁，辰往前數(shù)7年為酉，故年為丁酉年.故選：A.題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項問題的討論23．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）由得時，兩式相減得,整理得因為，所以,所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列在中令解得所以.（2）當時，又，，...，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，故．所以當時，又，，...，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，故．所以當為偶數(shù)時,;當為奇數(shù)時,;24．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項為5，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項和.【解析】（1）因為為等差數(shù)列，且與的等差中項為5，所以，解得，因為，所以，解得，因為，所以，所以，故數(shù)列的通項公式為；（2）由題知，即所以，故數(shù)列的前20項和為.25．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，設(shè)．(1)求的通項公式，并證明：；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，即，解得，又因為，可得，所以，由數(shù)列滿足，可得，，，所以，因為，所以.（2）由（1）可知，因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，則，兩式相減，可得，所以.題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題26．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設(shè)的前項和為，求．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．選擇①：（1）因為，所以，解得．所以，則，利用二次函數(shù)對稱性和開口方向知，關(guān)于對稱，因為，所以當或6時，.選擇②：因為，可得，因為，所以，此時，所以，因為，所以單調(diào)遞增，且當時，．所以當或11時，最小，此時.選擇③：因為，所以，即，所以，所以，則，利用二次函數(shù)對稱性和開口方向知，關(guān)于對稱，因為，所以當或6時，.（2）若選擇①或③：由（1）知，當時，，所以.若選擇②：由（1）知，且當時，，且，所以.27．（2024·湖南·二模）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為、，由題意可知，化簡得，解得，所以．（2）由（1）知：當時，；當時，，所以．28．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．【解析】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因為，所以，當時，，此時，，當時，，此時，，綜上所述：.題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解29．（2024·高三·山東淄博·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，則“對，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，若對，，即，若，則，即為單調(diào)遞增數(shù)列，又因為，所以，所以，即，所以“對，”是“”的充要條件.故選：C30．（2024·吉林白山·模擬預(yù)測）若等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【解析】依題意，又，即，則則，且，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，所以對任意正整數(shù)，都有，則．故選，C．31．已知是等差數(shù)列的前項和，且，則（

）A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．【答案】B【解析】由且，所以，故B正確；所以公差，數(shù)列為遞減數(shù)列，A錯誤；由，，，所以，，時，，的最大值為，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題32．（多選題）（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則下列選項正確的是（

）A．數(shù)列為遞減數(shù)列 B．C．的最大值為 D．【答案】ABC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由于，，故，則，B正確；，則數(shù)列為遞減數(shù)列，A正確，由以上分析可知，時，，故的最大值為，C正確；，D錯誤，故選：ABC33．（多選題）公差為的等差數(shù)列的前項和為，若，則下列選項正確的是（

）A． B．時，的最小值為2022C．有最大值 D．時，的最大值為4043【答案】CD【解析】對于：由可得，故等差數(shù)列的公差，故A錯誤；對于B：由A得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，故時，的最小值為2023，故B錯誤；對于C：由A得，，故是關(guān)于的開口向下的二次函數(shù)，其有最大值，沒有最小值，故C正確；對于D：因為數(shù)列的前2022項均為正數(shù)，且，，時，的最大值為4043，故D正確故選：CD34．（多選題）已知數(shù)列的前項和，，數(shù)列的前項和滿足對任意恒成立，則下列命題正確的是（

）A． B．當為奇數(shù)時，C． D．的取值范圍為【答案】AC【解析】當時，，當時，，適合上式，所以，故A正確；所以，當為奇數(shù)時，，故B錯誤；當為偶數(shù)時，，所以，故C正確；當為奇數(shù)時，，若，則，即，所以，而，即；當為偶數(shù)時，則得，即，而，即，綜上所述，，故D錯誤.故選：AC.1．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個球；第2堆有2層4個球，其中第1層有1個球，第2層有3個球；…；第n堆有n層共個球，第1層有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…．已知，則（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．2870【答案】D【解析】在第堆中，從第2層起，第n層的球的個數(shù)比第層的球的個數(shù)多n，記第n層球的個數(shù)為，則，得，其中也適合上式，則，在第n堆中，，當時，，解得.故選：D.2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）等差數(shù)列和等比數(shù)列都是各項為正實數(shù)的無窮數(shù)列，且，，的前n項和為，的前n項和為，下列判斷正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列和數(shù)列均為常數(shù)列，所以排除A，B，C，選D，對于D，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，可知，故，由，可知，又由，，有，故，且，故，即，所以，故，所以.故選：D3．（2024·山西陽泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個極大值點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當，即時，函數(shù)取得極大值，則，由等差數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由實數(shù)a，b，c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)，，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，，當時，，所以此時單調(diào)遞減，當時，，所以此時單調(diào)遞增，所以的最小值為，當b趨近于時，趨近于，當b從負方向趨近于時，也趨近于，所以，所以．故選：A．5．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，，得；當時，，得，所以“”是“”的充要條件，故選：C．6．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）前項和為的等差數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】由，可得．故選：A．7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．1012 B．2024 C．3036 D．4048【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，，故圖象關(guān)于直線對稱，由，可知，即，所以．故選：D．8．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列的前項和為，，，設(shè)，則數(shù)列的前51項之和為（

）A． B． C．49 D．149【答案】B【解析】因為，當時，，即，可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，當時，所以，當時也成立，所以，可得數(shù)列的前項之和為．故選：B．9．（多選題）（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為【答案】BD【解析】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當時，最大，故A錯誤由，可得到，所以，，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當時，；當時，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當，或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：BD.10．（多選題）（2024·湖南益陽·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法正確的有（

）A．若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D．若，且，，則時取最小值【答案】ACD【解析】對于A，設(shè)數(shù)列的公比為，由可得，，因，則得，解得或，因是正項數(shù)列，故，，故是單調(diào)遞增數(shù)列，即A正確；對于B，由上分析知，或，當時，，此時，若為偶數(shù)，則都是0，故不符合，即B錯誤；對于C，若，則是遞增數(shù)列，此時不存在，使對都成立；若時，易得，故存在，使得對都成立，此時為常數(shù)列，故是公差為0的等差數(shù)列，故C正確；對于D，因，，故由上分析知，則，由，當時，，故，數(shù)列遞減，且；當時，，故，數(shù)列遞增，且；則當時，取最小值，故D正確.故選：ACD.11．（多選題）（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，，記，，若且則下列說法正確的是（

）A． B．數(shù)列中的最大項為C． D．【答案】BD【解析】對于A，由已知，當時，，即，，當時，，即，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，A選項錯誤；對于B，所以，，且數(shù)列單調(diào)遞減，所以數(shù)列中的最大項為，B選項正確；對于C，，，所以，C選項錯誤；對于D，又，所以，即，D選項正確；故選：BD.12．（2024·浙江紹興·三模）記為正項數(shù)列的前項積，已知，則；．【答案】22025【解析】根據(jù)題意令，可知，又數(shù)列的各項均為正，即；解得；由可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列；因此，所以.故答案為：2；2025.13．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓?。?，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為.

【答案】【解析】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長度為.故答案為：.14．（2024·上?！と＃┮阎獌蓚€等差數(shù)列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為．【答案】【解析】等差數(shù)列2，6，10，…，202中，公差；等差數(shù)列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍數(shù)為，所以新數(shù)列的公差，首項，所以，令，解得，故新數(shù)列共有項，所以新數(shù)列的各項之和為，故答案為：15．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前10項和.【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，化簡整理，得，解得，.（2）由（1）可得，，則，數(shù)列的前10項和為：.16．（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求使取得最大值時的值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以；（2）由（1）得，則，，當時，，當時，，當時，，所以當或時，取得最大值.17．（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)若恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則根據(jù)題意可得，解得，則．（2）由（1）可知運用等差數(shù)列求和公式，得到，又恒成立，則恒成立，設(shè)，則，當時，，即；當時，，則，則；則，故，故實數(shù)λ的取值范圍為．18．（2024·山東青島·二模）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若，求的最小值.【解析】（1）數(shù)列中，，，當時，，則，由，得，當為正奇數(shù)時，數(shù)列是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，則，即，當為偶奇數(shù)時，數(shù)列是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，則，即，即，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，顯然數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，則，由，得，整理得，而數(shù)列是遞增數(shù)列，，因此，所以的最小值為5.19．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，數(shù)列滿足，（，）．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)將數(shù)列，中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．【解析】（1），，當時，，當時，，即，而，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為；若數(shù)列滿足，（，），則，從而數(shù)列的通項公式為；（2）令，解得，這表明，從而只能，所以，所以數(shù)列的通項公式為.20．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)的所有正零點構(gòu)成遞增數(shù)列．(1)求函數(shù)的周期和最大值；(2)求數(shù)列的通項公式及前項和．【解析】（1）由題可得，因此函數(shù)的周期，當，即時，取最大值，最大值為．（2）由得，因此函數(shù)的所有正零點為，，，因此是首項為，公差為1的等差數(shù)列；，1．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C2．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D3．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.【答案】①③④【解析】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設(shè)，，若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.5．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.6．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（江西卷））在等差數(shù)列中，，公差為，前項和為