第01講直線的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：直線的傾斜角和斜率 4知識點2：直線的方程 5題型一：傾斜角與斜率的計算 6題型二：三點共線問題 7題型三：過定點的直線與線段相交問題 8題型四：直線的方程 9題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題 10題型六：兩直線的夾角問題 12題型七：直線過定點問題 13題型八：中點公式 14題型九：軌跡方程 1504真題練習·命題洞見 1705課本典例·高考素材 1806易錯分析·答題模板 19易錯點：錯誤理解斜率與傾斜角間的關(guān)系 19答題模板：求斜率的取值范圍 19

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）直線的傾斜角與斜率（2）直線的方程2008年江蘇卷第9題，5分2006年上海卷第11題，4分高考對直線方程的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法等，特別要重視直線方程的求法.復(fù)習目標：（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.（2）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)．

知識點1：直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過兩點的直線斜率公式已知直線上任意兩點，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°4、三點共線．兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．【診斷自測】過點和點的直線的傾斜角為，則的值是.知識點2：直線的方程1、直線的截距若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線2、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用3、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）4、線段中點坐標公式若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．5、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.【診斷自測】過點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或題型一：傾斜角與斜率的計算【典例1-1】直線的傾斜角為.【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為．【方法技巧】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認識．【變式1-1】（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是．【變式1-2】若過點，的直線的斜率等于1，則m的值為．【變式1-3】若過點，的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)a的取值范圍為．【變式1-4】（2024·重慶·重慶南開中學?？寄M預(yù)測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．題型二：三點共線問題【典例2-1】若點、、在同一直線上，則實數(shù)k的值為．【典例2-2】若三點，，(其中)共線，則.【方法技巧】斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．【變式2-1】若三點共線，則的值為．【變式2-2】數(shù)學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程為.【變式2-3】已知，，三點在同一條直線上，則實數(shù)m的值為．【變式2-4】已知三點在同一條直線上，則實數(shù)的值為．題型三：過定點的直線與線段相交問題【典例3-1】已知，若點在線段AB上，則的取值范圍是.【典例3-2】已知點過點A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是.【方法技巧】一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．【變式3-1】已知點，，直線是過點且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是【變式3-2】已知曲線，則的取值范圍是．【變式3-3】已知直線，若直線與連接兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍是．【變式3-4】一質(zhì)點在矩形內(nèi)運動，從的中點沿一確定方向發(fā)射該質(zhì)點，依次由線段、、反射.反射點分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點）.若、、和，則的斜率的取值范圍是.

【變式3-5】已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為.題型四：直線的方程【典例4-1】已知ΔABC為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為.【典例4-2】已知直線過點，它在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則此直線的方程為．【方法技巧】要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．【變式4-1】已知點，直線與軸相交于點，則中，邊上的高所在直線的方程是.【變式4-2】已知的頂點，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點）、垂心（三條高線點）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點的坐標是.【變式4-3】若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為.【變式4-4】如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式4-5】已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題【典例5-1】在平面直角坐標系中，已知射線，過點作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點A、B．(1)當AB的中點為P時，求直線AB的一般式方程；(2)求面積的最小值．【典例5-2】已知直線過點.(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于、兩點，為原點.若的面積為，求直線的方程.【方法技巧】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．【變式5-1】過點的直線可表示為，若直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式5-2】已知直線和直線，當實數(shù)的值在區(qū)間內(nèi)變化時，(1)求證直線恒過定點，并指出此定點的坐標.(2)求直線與兩坐標軸的正半軸圍成的四邊形面積的最小值.【變式5-3】（2024·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A?與y軸正半軸交于點B.（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.【變式5-4】（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知直線經(jīng)過定點P．(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當取最小值時，求直線l的方程．【變式5-5】（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）已知直線過定點，且交軸負半軸于點?交軸正半軸于點．點為坐標原點．（1）若的面積為4，求直線的方程；（2）求的最小值，并求此時直線的方程；（3）求的最小值，并求此時直線的方程．【變式5-6】已知直線．(1)當時，求直線與直線的交點坐標；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；②已知點，當取最小值時，求直線的方程．題型六：兩直線的夾角問題【典例6-1】如果直線與的斜率分別是一元二次方程的兩個根，那么兩直線的夾角為.【典例6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．【方法技巧】若直線與直線的夾角為，則.【變式6-1】當時，直線與直線的夾角為60°．【變式6-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個可能值為.【變式6-3】（2024·高三·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于【變式6-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為.【變式6-5】直線與直線的夾角為.題型七：直線過定點問題【典例7-1】不論k為任何實數(shù)，直線恒過定點，若直線過此定點其m，n是正實數(shù)，則的最小值是.【典例7-2】不論m，n取什么值，直線必過一定點為.【方法技巧】合并參數(shù)【變式7-1】直線恒過定點【變式7-2】直線與直線相交于點，對任意實數(shù)，直線分別恒過定點，則的最大值為.【變式7-3】已知函數(shù)且過定點，直線過定點，則題型八：中點公式【典例8-1】若直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，且線段AB的中點為，則直線l的方程為：．【典例8-2】過點的直線，被直線，所截得的線段的中點恰好在直線上，則直線的方程為．【方法技巧】若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則【變式8-1】已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為.【變式8-2】過點的直線被兩平行直線與所截線段的中點恰在直線上，則直線的方程是．【變式8-3】已知點A，B分別是直線和直線上的點，點P為的中點，設(shè)點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線與曲線C，x軸分別交于點M，N，若點D為的中點，求直線的方程.【變式8-4】已知直線.(1)求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點P；(2)經(jīng)過點P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.題型九：軌跡方程【典例9-1】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）若過點且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點，則中點的軌跡方程為.【典例9-2】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知點，若點滿足（，且），則點的軌跡方程為．【方法技巧】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）【變式9-1】已知，點在直線上運動，，則點的軌跡方程是．【變式9-2】已知的頂點A、C的坐標分別為、，頂點D在直線上移動，則頂點B的軌跡方程為．【變式9-3】已知滿足方程，則M的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【變式9-4】在平面直角坐標系中，已知的頂點坐標分別為、、，點在直線上運動，動點滿足，求點的軌跡方程．【變式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.(1)求所在直線的一般式方程；(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.【變式9-6】如圖，已知點是直線上任意一點，點是直線上任意一點，連接，在線段上取點使得.(1)求動點的軌跡方程；(2)已知點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.1．（2008年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（四川卷））直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個單位，所得到的直線為（

）A． B． C． D．2．（2002年普通高等學校春季招生考試數(shù)學（文）試題（北京卷））到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．3．（2004年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（湖北卷））已知點和．直線與線段的交點M分有向線段的比為，則m的值為（

）A． B． C． D．44．（2004年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（浙江卷））直線與直線的夾角是（

）A． B． C． D．5．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角1．判斷，，三點是否共線，并說明理由．2．菱形的兩條對角線分別位于x軸和y軸上，其長度分別為8和6，求菱形各邊所在直線的方程．3．求經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程．4．求直線（A，B不同時為0）的系數(shù)A，B，C分別滿足什么關(guān)系時，這條直線有以下性質(zhì)：（1）與兩條坐標軸都相交；