高中數(shù)學(xué)人教B版必修三《7.2.3同角三角函數(shù)》（第一課時(shí)）聽(tīng)評(píng)課記錄一.基本信息

聽(tīng)課日期為2023年10月26日，聽(tīng)課時(shí)間為上午第二節(jié)課，授課教師為李明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高一（3）班，教學(xué)主題或章節(jié)為人教B版必修三《7.2.3同角三角函數(shù)》（第一課時(shí)）。

聽(tīng)課人姓名為張華，聽(tīng)課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，聽(tīng)課目的為教學(xué)研究，旨在探討同角三角函數(shù)的引入方法及學(xué)生認(rèn)知過(guò)程。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞同角三角函數(shù)的定義展開(kāi)，明確了課時(shí)目標(biāo)：理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材為最新版本人教B版必修三，教具包括三角板和量角器，多媒體展示了相關(guān)動(dòng)畫和例題，輔助學(xué)生直觀理解函數(shù)關(guān)系。

2.教學(xué)過(guò)程

開(kāi)始階段，教師通過(guò)復(fù)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值導(dǎo)入新課，以“sin2θ+cos2θ=1”的已知結(jié)論引發(fā)學(xué)生思考“其他同角三角函數(shù)間是否存在類似關(guān)系”的問(wèn)題，導(dǎo)入方式自然且具有啟發(fā)性，有效激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。

展開(kāi)階段，教師采用講授與小組討論相結(jié)合的方法。首先，通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示sin、cos、tan函數(shù)圖像的交點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察同角三角函數(shù)的幾何意義，隨后通過(guò)小組討論推導(dǎo)平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式。教師注重啟發(fā)式教學(xué)，提出問(wèn)題“如何利用sin2θ+cos2θ=1推導(dǎo)出1+tan2θ=sec2θ？”，并鼓勵(lì)學(xué)生自主完成推導(dǎo)過(guò)程。部分小組通過(guò)代入特殊值驗(yàn)證結(jié)論，教師及時(shí)糾正錯(cuò)誤，并強(qiáng)調(diào)推理的邏輯性。在例題講解環(huán)節(jié)，教師選取了不同難度的問(wèn)題，如“已知sinθ=0.6，求cosθ和tanθ”，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握解題步驟，同時(shí)強(qiáng)調(diào)“同角”條件的重要性。

結(jié)束階段，教師通過(guò)口答和板演檢查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的掌握情況，并總結(jié)同角三角函數(shù)關(guān)系式的記憶方法“平方關(guān)系靠左，商數(shù)關(guān)系靠右”，最后布置作業(yè)：完成教材P35練習(xí)題，并嘗試證明“cot2θ+1=csch2θ”。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師每提出一個(gè)問(wèn)題后都會(huì)給予學(xué)生充分思考時(shí)間，并通過(guò)巡視觀察學(xué)生的反應(yīng)。課堂中約有70%的學(xué)生參與討論，部分學(xué)生主動(dòng)舉手分享推導(dǎo)過(guò)程，教師對(duì)回答正確的學(xué)生給予即時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)有困難的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)?；?dòng)質(zhì)量較好，例如在推導(dǎo)商數(shù)關(guān)系式時(shí)，有學(xué)生提出“為何不能直接約分”，教師耐心解釋“分母不能為零”，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)函數(shù)定義域的認(rèn)知。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生圍繞問(wèn)題激烈討論，部分學(xué)生嘗試用不同方法推導(dǎo)公式。專注度方面，大部分學(xué)生在教師講解例題時(shí)保持專注，但個(gè)別學(xué)生出現(xiàn)走神現(xiàn)象，教師通過(guò)調(diào)整提問(wèn)對(duì)象重新吸引其注意力。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組內(nèi)分工明確，如一人記錄推導(dǎo)過(guò)程，另一人檢查結(jié)果，體現(xiàn)了生生互助的學(xué)習(xí)氛圍。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，教師通過(guò)眼神和手勢(shì)調(diào)控課堂秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，展開(kāi)階段25分鐘，結(jié)束階段10分鐘，作業(yè)布置3分鐘，符合教學(xué)進(jìn)度要求。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，教師根據(jù)學(xué)生反饋靈活調(diào)整講解速度，如在推導(dǎo)商數(shù)關(guān)系式時(shí)放慢語(yǔ)速，確保學(xué)生理解。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體動(dòng)畫直觀展示了三角函數(shù)的幾何關(guān)系，幫助學(xué)生理解抽象概念。教師還利用電子白板實(shí)時(shí)記錄推導(dǎo)過(guò)程，便于學(xué)生回顧，但部分學(xué)生因長(zhǎng)時(shí)間盯著屏幕出現(xiàn)視疲勞，教師雖及時(shí)提醒，但可進(jìn)一步優(yōu)化技術(shù)使用方式，如結(jié)合板書與多媒體交替呈現(xiàn)。技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持作用明顯，尤其在動(dòng)態(tài)演示sin2θ+cos2θ=1時(shí)，學(xué)生更容易建立函數(shù)間聯(lián)系。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本課時(shí)教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”展開(kāi)，具體包括：能夠說(shuō)出同角三角函數(shù)的定義；能夠推導(dǎo)并運(yùn)用平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式；能夠運(yùn)用關(guān)系式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。目標(biāo)的設(shè)定符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平，既注重知識(shí)記憶，也強(qiáng)調(diào)思維能力的培養(yǎng)。從課堂表現(xiàn)來(lái)看，學(xué)生基本達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。導(dǎo)入環(huán)節(jié)，大部分學(xué)生能夠聯(lián)系已有知識(shí)提出探究方向，說(shuō)明對(duì)“同角”概念的初步理解；展開(kāi)階段，90%以上的學(xué)生參與了小組討論，并能嘗試推導(dǎo)公式，雖然部分推導(dǎo)過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但體現(xiàn)了對(duì)公式的初步掌握；結(jié)束階段，通過(guò)口答和板演，85%的學(xué)生能夠正確運(yùn)用關(guān)系式解決問(wèn)題，表明對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的掌握達(dá)到預(yù)期水平。僅有少數(shù)學(xué)生在商數(shù)關(guān)系式的符號(hào)判斷上存在困難，反映出目標(biāo)設(shè)定具有適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性，也指明了后續(xù)需要關(guān)注的方向。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好。平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1由于在之前已經(jīng)接觸過(guò)，學(xué)生記憶較為深刻，部分學(xué)生能夠自發(fā)將其與勾股定理類比，體現(xiàn)了知識(shí)的遷移能力。商數(shù)關(guān)系式1+tan2θ=sec2θ和1+cot2θ=csch2θ的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生通過(guò)小組合作基本能夠掌握，但記憶效果存在差異。教師強(qiáng)調(diào)“平方關(guān)系靠左，商數(shù)關(guān)系靠右”的記憶口訣，部分學(xué)生能夠應(yīng)用該口訣進(jìn)行快速回憶，但仍有學(xué)生混淆公式的適用條件，如將tan2θ與1的關(guān)系誤用于cos2θ。技能掌握方面，學(xué)生在解決簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出一定的熟練度，例如“已知sinθ=0.6，求cosθ和tanθ”的例題，多數(shù)學(xué)生能夠按照“平方關(guān)系求cosθ，商數(shù)關(guān)系求tanθ”的步驟進(jìn)行計(jì)算，但部分學(xué)生在符號(hào)判斷上出現(xiàn)錯(cuò)誤，如cosθ的符號(hào)根據(jù)θ所在象限未正確確定。這說(shuō)明學(xué)生在技能應(yīng)用層面仍需加強(qiáng)練習(xí)，特別是對(duì)公式變形和符號(hào)處理的掌握。課堂練習(xí)中，基礎(chǔ)題的正確率較高，但綜合性稍強(qiáng)的題目錯(cuò)誤率明顯上升，反映出學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力有待提升。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本課時(shí)在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展方面取得了一定成效。情感方面，教師通過(guò)動(dòng)態(tài)演示和啟發(fā)式提問(wèn)，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，課堂氛圍活躍，多數(shù)學(xué)生能夠積極參與到教學(xué)活動(dòng)中，表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感。在小組討論中，學(xué)生之間的互助合作體現(xiàn)了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，教師對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)和肯定進(jìn)一步增強(qiáng)了其學(xué)習(xí)信心。部分學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中遇到的困難并未放棄，而是通過(guò)小組討論或教師指導(dǎo)逐步克服，這種面對(duì)挑戰(zhàn)的韌性值得肯定。態(tài)度方面，教師強(qiáng)調(diào)公式的邏輯推導(dǎo)過(guò)程，而非死記硬背，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。同時(shí)，通過(guò)例題講解，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題步驟的規(guī)范性，如先寫公式再代入數(shù)值，最后注明單位，這種細(xì)節(jié)上的要求有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣。價(jià)值觀方面，教師通過(guò)“sin2θ+cos2θ=1”的幾何意義，向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的美妙與和諧，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和審美情趣。此外，在小組合作環(huán)節(jié)，教師強(qiáng)調(diào)分工與協(xié)作的重要性，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到團(tuán)隊(duì)精神在解決問(wèn)題中的作用，促進(jìn)了學(xué)生社會(huì)性的發(fā)展。然而，課堂中仍有少數(shù)學(xué)生參與度不高，可能源于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的畏難情緒，教師雖進(jìn)行了個(gè)別引導(dǎo)，但如何進(jìn)一步關(guān)注個(gè)體差異、提升所有學(xué)生的學(xué)習(xí)參與感，是后續(xù)教學(xué)中需要思考的問(wèn)題。總體而言，本課時(shí)在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和促進(jìn)合作精神方面發(fā)揮了積極作用，符合新課程改革對(duì)學(xué)生全面發(fā)展的要求。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)較為成功的新授課。授課教師李明教學(xué)設(shè)計(jì)思路清晰，教學(xué)環(huán)節(jié)過(guò)渡自然，能夠圍繞教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師注重啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生自主探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。例如，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師沒(méi)有直接給出公式，而是從學(xué)生熟悉的特殊角三角函數(shù)值出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考“一般角是否也滿足類似關(guān)系”，這一設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲。在展開(kāi)階段，教師將推導(dǎo)任務(wù)分配給小組討論，不僅鍛煉了學(xué)生的合作能力，也培養(yǎng)了其邏輯推理能力。此外，教師能夠有效利用多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，動(dòng)態(tài)演示三角函數(shù)圖像和關(guān)系式，直觀性強(qiáng)，有助于學(xué)生理解抽象概念。課堂管理方面，教師能夠較好地掌控課堂節(jié)奏，對(duì)學(xué)生的回答和表現(xiàn)給予及時(shí)反饋，整體教學(xué)秩序井然。綜合來(lái)看，本節(jié)課體現(xiàn)了新課程改革的理念，注重學(xué)生的主體地位和思維能力的培養(yǎng)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)措施：

（1）細(xì)化公式推導(dǎo)過(guò)程中的邏輯環(huán)節(jié)。雖然教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)了平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式，但在推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)某些中間步驟的解釋不夠詳細(xì)，導(dǎo)致部分學(xué)生理解困難。例如，在推導(dǎo)1+tan2θ=sec2θ時(shí)，從sin2θ+cos2θ=1到1+(sinθ/cosθ)2=1/sec2θ的變形過(guò)程，部分學(xué)生未能完全理解分母有理化及等式兩邊同除以cos2θ的依據(jù)。建議教師在推導(dǎo)過(guò)程中增加過(guò)渡性提問(wèn)，如“為什么要將分母有理化？”“等式兩邊同時(shí)除以cos2θ時(shí)，需要注意什么？”，并板書關(guān)鍵變形步驟，確保學(xué)生理解每一步的合理性。同時(shí)，可以增加變式推導(dǎo)，如從1+cot2θ=csch2θ出發(fā)推導(dǎo)其他關(guān)系式，讓學(xué)生體會(huì)公式的對(duì)稱性和統(tǒng)一性。

（2）加強(qiáng)符號(hào)判斷的針對(duì)性訓(xùn)練。本節(jié)課中，部分學(xué)生在解決含有符號(hào)判斷的問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，如cosθ的正負(fù)判斷。這反映出學(xué)生對(duì)公式適用條件和象限知識(shí)的掌握不夠牢固。建議教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中增加符號(hào)判斷的專項(xiàng)練習(xí)，可以通過(guò)表格或圖示的方式總結(jié)不同象限下三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律，并結(jié)合具體題目進(jìn)行強(qiáng)化。例如，可以設(shè)計(jì)“已知tanθ<0且cosθ>0，求sinθ的符號(hào)”這類問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合關(guān)系式和象限知識(shí)進(jìn)行分析。此外，可以引入“符號(hào)法則口訣”幫助學(xué)生記憶，如“一全正，二正弦，三切，四余弦”，并輔以反例說(shuō)明口訣的適用范圍。

（3）關(guān)注個(gè)體差異，實(shí)施分層教學(xué)。課堂觀察發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握較為吃力，而少數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠靈活運(yùn)用關(guān)系式解決復(fù)雜問(wèn)題。建議教師在教學(xué)過(guò)程中實(shí)施分層教學(xué)策略，針對(duì)不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)不同難度的問(wèn)題。例如，在小組討論環(huán)節(jié)，可以鼓勵(lì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助理解困難的學(xué)生，同時(shí)為優(yōu)秀學(xué)生提供拓展性問(wèn)題。在作業(yè)布置上，可以設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題、提高題和挑戰(zhàn)題三個(gè)梯度，讓學(xué)生根據(jù)自身情況選擇完成。此外，教師可以利用課后時(shí)間對(duì)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們掃清學(xué)習(xí)障礙。

（4）優(yōu)化現(xiàn)代教育技術(shù)的使用方式。雖然多媒體技術(shù)在本節(jié)課中發(fā)揮了積極作用，但部分學(xué)生因長(zhǎng)時(shí)間盯著屏幕出現(xiàn)視疲勞，且電子白板記錄過(guò)多可能導(dǎo)致學(xué)生筆記負(fù)擔(dān)過(guò)重。建議教師在使用多媒體時(shí)注意動(dòng)靜結(jié)合，例如在展示動(dòng)態(tài)演示后，引導(dǎo)學(xué)生回到教材和板書進(jìn)行總結(jié)，避免長(zhǎng)時(shí)間依賴屏幕。同時(shí)，可以采用“電子白板+傳統(tǒng)板書”的混合模式，將關(guān)鍵公式和推導(dǎo)過(guò)程記錄在白板上，而將例題解析和補(bǔ)充練習(xí)留在傳統(tǒng)黑板進(jìn)行，減輕學(xué)生的筆記壓力。此外，可以利用教學(xué)軟件的互動(dòng)功能，如在線答題或小組競(jìng)賽，提高學(xué)生的參與度和積極性。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？

（1）深化教材研究，挖掘知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系。同角三角函數(shù)關(guān)系式是后續(xù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值和證明的基礎(chǔ)，教師應(yīng)深入挖掘教材，幫助學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生將同角三角函數(shù)關(guān)系式與單位圓上的三角函數(shù)定義相結(jié)合，理解公式背后的幾何意義。此外，可以拓展到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生體會(huì)“同角”概念的廣泛適用性，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（2）加強(qiáng)習(xí)題設(shè)計(jì)，提升解題能力。練習(xí)是鞏固知識(shí)、提升能力的重要手段，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)習(xí)題，覆蓋不同層次和類型。例如，可以設(shè)計(jì)“已知一個(gè)角的兩個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值”的題目，考察學(xué)生對(duì)公式變形的掌握；設(shè)計(jì)“利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)三角式”的題目，提升學(xué)生的運(yùn)算能力；設(shè)計(jì)“證明簡(jiǎn)單的三角恒等式”的題目，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。同時(shí)，可以引入一題多解和多題一解的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，優(yōu)化解題思路。

（3）開(kāi)展教學(xué)反思，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)。教師應(yīng)養(yǎng)成教學(xué)反思的習(xí)慣，每節(jié)課后總結(jié)教學(xué)得失，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略?？梢杂涗泴W(xué)生在哪些環(huán)節(jié)表現(xiàn)突出，哪些環(huán)節(jié)存在困難，并分析原因。例如，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在符號(hào)判斷上普遍出錯(cuò)，可能需要調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，增加相關(guān)練習(xí)；如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)公式的記憶方法掌握不佳，可以嘗試引入更多趣味性的記憶技巧。此外，可以與其他教師交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，互相借鑒，共同提高。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)，以評(píng)估改進(jìn)措施的實(shí)施效果。具體計(jì)劃如下：

（1）安排二次聽(tīng)課，重點(diǎn)觀察教師對(duì)提出建議的落實(shí)情況。二次聽(tīng)課可以聚焦于公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)的邏輯性是否更加清晰，符號(hào)判斷的訓(xùn)練是否更加系統(tǒng)，以及分層教學(xué)策略的實(shí)施效果。通過(guò)對(duì)比兩次聽(tīng)課的表現(xiàn)，評(píng)估教師的教學(xué)改進(jìn)程度。

（2）提供針對(duì)性支持措施，幫助教師成長(zhǎng)。針對(duì)教師在二次聽(tīng)課中仍存在的問(wèn)題，可以安排集體備課或個(gè)別指導(dǎo)。例如，如果教師在符