冀教版9年級下冊期末測試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（10小題，每小題2分，共計20分）1、在同一坐標系內(nèi)，函數(shù)y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的圖象大致如圖（）A． B．C． D．2、已知拋物線y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），點A（x1，y1），B（3，y2）在該拋物線上，且y1＜y2．給出下列結(jié)論①拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2；②當m＞0時，拋物線與x軸沒有交點；③當m＞0時，﹣7＜x1＜3；④當m＜0時，x1＜﹣7或x1＞3；其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3、某班甲、乙、丙三個綜合實踐活動小組準備向全班同學展示成果，現(xiàn)通過抽簽確定三個小組展示的先后順序．三個小組排列的順序有（）種不同可能．A．3 B．6 C．9 D．124、下列事件中，屬于必然事件的是（）A．經(jīng)過路口，恰好遇到紅燈 B．367人中至少有2人的生日相同C．打開電視，正在播放動畫片 D．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上5、根據(jù)表格對應值：x1.11.21.31.4ax2＋bx＋c﹣0.590.842.293.76判斷關于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一個解x的范圍是（）A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．無法判定6、若將拋物線y＝2x2﹣1向上平移2個單位，則所得拋物線對應的函數(shù)關系式為（）A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+17、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，可求得使成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．或8、下列事件中屬于必然事件的是（）A．兩直線平行，同位角相等B．在一張紙上任意畫兩條線段，這兩條線段相交C．有兩條邊長為3，4的三角形是直角三角形D．在一個只裝有白球的袋子中摸出一個紅球9、如圖，拋物線與x軸交于點和B，與y軸交于點C，不正確的結(jié)論是（）A． B． C． D．10、下列事件是必然事件的是（）A．拋一枚骰子朝上數(shù)字是6B．打開電視正在播放疫情相關新聞C．煮熟的雞蛋稃出一只小雞D．400名學生中至少有兩人生日同一天第Ⅱ卷（非選擇題80分）二、填空題（10小題，每小題2分，共計20分）1、已知線段PQ=2cm，以P為圓心，1.5cm為半徑畫圓，則點Q與⊙P的位置關系是點Q在______．（填“圓內(nèi)”、“圓外”或“圓上”）2、二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第______象限．3、下表列出了歷史上著名的三位數(shù)學家所做的擲硬幣的試驗數(shù)據(jù)：試驗者投擲總次數(shù)正面朝上的次數(shù)反面朝上的次數(shù)蒲豐（法國）404020481992費勒（美國）1000049795021皮爾遜（英國）240001201211988通過以上大量的重復試驗，可以得出“硬幣正面朝上”出現(xiàn)的頻率接近，所以，估計“硬幣正面朝上”的概率也是．小亮同學受到啟發(fā)也設計了一個試驗：在一個不透明的盒子中，放入一紅一黃一綠三個質(zhì)地、大小、形狀都完全相同的小球，先把盒子搖晃一會，然后摸出一個小球，記下顏色后，又放回盒子，小亮不斷重復前面的操作，當他記錄到紅色小球共摸了2000次時，可估計小亮共進行了______次試驗．4、如圖，拋物線與軸交于點，，若對稱軸為直線，點的坐標為（-3，0），則不等式的解集為______．5、把如圖所示的圖形折成一個正方體盒子，折好后與“歡”相對的字是_____．6、如圖，已知頂點為（﹣3，﹣6）的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點（﹣1，﹣4），則下列結(jié)論：①對于任意的x＝m，均有am2＋bm＋c≥﹣6；②ac＞0；③若點（），（，y2）在拋物線上，則y1＞y2；④關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的兩根為﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正確的有_______（填序號）．7、已知二次函數(shù)，當y隨x的增大而增大時，自變量x的取值范圍是______．8、某視聽節(jié)目從200名打通熱線電話的聽眾中抽取10名“幸運聽眾”，則打通一次熱線電話的聽眾成為“幸運聽眾”的概率是__________．9、國慶期間，小明從《長津湖》、《我和我的父輩》、《皮皮魯與魯西西》三部電影中隨機選擇一部觀看，則選擇《長津湖》觀看的概率為______；10、如果拋物線經(jīng)過點A（3，6）和點B（﹣1，6），那么這條拋物線的對稱軸是直線_____．三、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、如圖，是的直徑，是半徑，連接，．延長至點，使，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求半徑的長．2、為了迎接2022年春節(jié)，我縣古城風景區(qū)內(nèi)開發(fā)了冰上滑雪運動項目，某體育用品商店抓住這一商機購進一批滑雪板，若每件進價為50元，售價為66元，每星期可賣出40件．為了鼓勵大家多參加冰上滑雪運動，同時降低庫存，商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每件降價1元，每星期可多賣出4件．(1)若設每件滑雪板降價x元，每星期的銷售量為y件，寫出y與x之間的函數(shù)關系式，（不用標出x的取值范圍）；(2)降價后，商家要使每星期的利潤最大，應將售價定為每件多少元？最大銷售利潤多少？3、如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝8，AE＝6，求⊙O的半徑．4、某食品包裝盒抽象出的幾何體的三視圖如圖所示．（俯視圖為等邊三角形）(1)寫出這個幾何體的名稱；(2)若矩形的長為10cm，等邊三角形的邊長為4cm，求這個幾何體的表面積．5、（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點P是直線m外一點，，點O是垂足，點A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是______，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，______．（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點P為AB邊上一動點，則CP的最小值為______．（3）嘗試應用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．（4）拓展提高：如圖4，頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接AE．．，，請求出AE的最小值．6、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象開口向上，對稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為，與y軸交于點C，且，連接AC．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點，過點P作軸交直線AC于點E，過點A作交直線PE于點F，若，求點P的坐標；(3)如圖2，點D是拋物線y的頂點，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點，過作軸于點M．在平移過程中，是否存在以D、、M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標；若不存在，請說明理由．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】分別利用函數(shù)解析式分析圖象得出答案．【詳解】解：A、二次函數(shù)開口向下，k＜0；一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，k＞0，故此選項錯誤；B、兩函數(shù)圖象符合題意；C、二次函數(shù)開口向上，k＞0；一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，k＜0，故此選項錯誤；D、一次函數(shù)解析式為：y=kx-2，圖象應該與y軸交在負半軸上，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的圖象，正確得出k的符號是解題關鍵．2、C【解析】【分析】利用拋物線的對稱軸公式可判斷①，計算結(jié)合可判斷②，再分別畫出符合③，④的圖象，結(jié)合圖象可判斷③與④，從而可得答案.【詳解】解：拋物線y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），拋物線的對稱軸為：故①符合題意；當時，所以拋物線與軸有兩個交點，故②不符合題意；當時，拋物線的開口向上，如圖，則關于的對稱點為：而故③符合題意；當時，拋物線的開口向下，如圖，同理可得：由則或故④符合題意，綜上：符合題意的有：①③④故選：C【點睛】本題考查的是拋物線的對稱軸方程，拋物線與軸的交點的情況，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握“利用數(shù)形結(jié)合的方法求解符合條件的自變量的取值范圍”是解本題的關鍵.3、B【解析】【分析】根據(jù)題意列舉事件所有的情況即可．【詳解】解：由題意知：有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共6種可能；故選B．【點睛】本題考查了列舉法．解題的關鍵在于列舉所有的情況．4、B【解析】【分析】必然發(fā)生的事件是必然事件，根據(jù)定義解答．【詳解】解：A.經(jīng)過路口，恰好遇到紅燈是隨機事件，故該項不符合題意；B.367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故該項符合題意；C.打開電視，正在播放動畫片是隨機事件，故該項不符合題意；D.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上是隨機事件，故該項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了必然事件的定義，熟記定義是解題的關鍵．5、B【解析】【分析】利用表中數(shù)據(jù)可知當x=1.3和x=1.2時，代數(shù)式ax2＋bx＋c的值一個大于2，一個小于2，從而判斷當1.2＜x＜1.3時，代數(shù)式ax2＋bx＋c的值為2．【詳解】解：當x=1.3時，ax2＋bx＋c=2.29，當x=1.2時，ax2＋bx＋c=0.84，∵0.84＜2＜2.29，∴方程解的范圍為1.2＜x＜1.3，故選：B【點睛】本題考查估算一元二次方程的近似解，解題關鍵是觀察函數(shù)值的變化情況．6、D【解析】【分析】由題意知平移后的函數(shù)關系式為，進行整理即可．【詳解】解：由題意知平移后的函數(shù)關系式為：，故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移．解題的關鍵在于牢記二次函數(shù)圖象平移時上加下減，左加右減．7、D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出y=1對應的自變量x的值,再根據(jù)判斷范圍即可．【詳解】由圖可知，使得時使成立的x的取值范圍是或故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，準確識圖是解題的關鍵．8、A【解析】【分析】必然事件是在一定條件下一定會發(fā)生的事件，對各個選項進行判斷即可得出答案．【詳解】解：A中兩直線平行，同位角相等是平行線的性質(zhì)，屬于必然事件，故符合要求；B中任意兩條線段的位置關系可相交，可不相交，屬于隨機事件，故不符合要求；C中兩條邊長為3，4的三角形中，第三條邊的長度大于1小于7均可，當?shù)谌呴L為5時，該三角形為直角三角形，屬于隨機事件，故不符合要求；D中在只裝有白球的袋子中摸出一個紅球，屬于不可能事件，故不符合要求；故選A．【點睛】本題考查了必然事件．解題的關鍵在于對必然事件，隨機事件與不可能事件的理解．9、D【解析】【分析】由拋物線的開口方向判斷與0的關系，由拋物線與軸的交點判斷與0的關系，然后根據(jù)對稱軸求出與的關系．【詳解】解：A、由拋物線的開口向上知，對稱軸位于軸的右側(cè)，．拋物線與軸交于負半軸，，；故選項正確，不符合題意；B、對稱軸為直線，得，即，故選項正確，不符合題意；C、如圖，當時，，，故選項正確，不符合題意；D、當時，，，即，故選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查拋物線與軸的交點坐標，二次函數(shù)圖象與函數(shù)系數(shù)之間的關系，解題的關鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．10、D【解析】【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件，不可能事件的特點判斷即可．【詳解】解：A．拋一枚骰子朝上數(shù)字是6，這是隨機事件，故A不符合題意；B．打開電視正在播放疫情相關新聞，這是隨機事件，故B不符合題意；C．煮熟的雞蛋孵出一只小雞，這是不可能事件，故C不符合題意；D．400名學生中至少有兩人生日同一天，這是必然事件，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了隨機事件，熟練掌握必然事件，隨機事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．二、填空題1、圓外【解析】【分析】根據(jù)點的圓的位置關系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為1.5cm，PQ=2cm，∴2＞1.5，∴點Q在圓外．故答案為：圓外．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．2、二【解析】【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到該函數(shù)圖象不經(jīng)過哪個象限．【詳解】解：∵y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，3）且經(jīng)過點（0，-1），函數(shù)圖象開口向下，∴該函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，故答案為：二．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3、6000【解析】【分析】根據(jù)紅球的概率及出現(xiàn)次數(shù)列式計算即可．【詳解】解：盒子中摸到紅色小球的概率為，∵紅色小球共摸了2000次時，∴估計小亮共進行了=6000次實驗，故答案為：6000．【點睛】此題考查了根據(jù)頻率估計概率，有理數(shù)的除法，正確理解多次實驗后的頻率可以表示事件的概率是解題的關鍵．4、【解析】【分析】函數(shù)的對稱軸為直線，與軸交點，則另一個交點，進而求解．【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為直線，與軸交點，則另一個交點，觀察函數(shù)圖象知，不等式的解集為：，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．5、團【解析】【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【詳解】解：由正方體表面展開圖的“相間是對面”可知，“歡”的對面是“團”，故答案為：團．【點睛】本題考查正方體相對兩個面上的文字，解題的關鍵是掌握正方體表面展開圖的特征．6、①④⑤【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系綜合進行判斷即可．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為（﹣3，﹣6），∴當x＝﹣3時，y最小值＝﹣6，∴對于任意的x＝m，其函數(shù)值y＝am2＋bm＋c≥﹣6，因此①正確；∵開口向上，∴a＞0，∵拋物線與y軸交于負半軸，∴c＜0，∴ac＜0，因此②不正確；∵點（），（，y2）在對稱軸右側(cè)的拋物線上，根據(jù)在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，因此③不正確；∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過點（﹣1，﹣4），由對稱軸為x＝﹣3，根據(jù)對稱性可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c還過點（﹣5，﹣4），∴當y＝﹣4時，即方程ax2＋bx＋c＝﹣4有兩個不相等的實數(shù)根﹣1和﹣5，因此④正確；∵對稱軸x＝﹣＝﹣3，∴b﹣6a＝0，因此⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤，【點睛】本題考查了二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系綜合，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．7、【解析】【分析】函數(shù)圖象的對稱軸為直線，圖象在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，進而可得自變量x的取值范圍．【詳解】解：由知函數(shù)圖象的對稱軸為直線，圖象在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大∴自變量x的取值范圍是故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關鍵在于熟練把握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．8、【解析】【分析】某視聽節(jié)目從200名打通熱線電話的聽眾中抽取10名“幸運聽眾”，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵某視聽節(jié)目從200名打通熱線電話的聽眾中抽取10名“幸運聽眾”，∴打通一次熱線電話的聽眾成為“幸運聽眾”的概率是：＝．故答案為：．【點睛】此題考查了概率公式的應用．注意用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9、【解析】【分析】根據(jù)等可能事件概率的計算公式即可完成．【詳解】任意選擇一部電影觀看的所有可能結(jié)果數(shù)為：3，而選擇《長津湖》觀看的可能結(jié)果數(shù)為1，則選擇《長津湖》觀看的概率為：故答案為：【點睛】本題考查了簡單事件的概率，掌握簡單事件概率的計算公式是關鍵．10、【解析】【分析】根據(jù)點，的坐標，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出拋物線的對稱軸，此題得解．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點和點，拋物線的對稱軸為直線．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)拋物線的對稱性，找出拋物線的對稱軸．三、解答題1、(1)證明見解析(2)⊙O半徑的長為【解析】【分析】（1）根據(jù)角度的數(shù)量關系，可得，即，進而可證是的切線；（2）由題意知，，由可得的值，由，知，，得，在中，，求解即可．(1)證明：∵是的直徑∴∴∵∴∴，∴∴是的切線；(2)解：∵，∴∵∴∵，∴∴，∵∴∴，在中，，即∴∴半徑長為．【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，正切值．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．2、(1)y=40+4x(2)降價后，商家要使每星期的利潤最大，應將售價定為每件63元，最大銷售利潤676元【解析】【分析】（1）根據(jù)每件進價為50元，售價為66元，每星期可賣出40件和每件降價1元，每星期可多賣出4件列出關系式即可；（2）根據(jù)利潤=（售價-進價）×數(shù)量列出關系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．(1)解：由題意得：；(2)解：設商家的銷售利潤為W，由題意得：，∵a=–4＜0，∴當x=3時W取最大值，為676，∴降價后的價格為：66-3=63（元）答：降價后，商家要使每星期的利潤最大，應將售價定為每件63元，最大銷售利潤676元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意列出對應的關系式進行求解．3、(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義證得∠ODA＝∠DAE，可證得DO∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的判定即可證的結(jié)論；（2）連接CD，先由勾股定理求得AD，連接CD，根據(jù)圓周角定理和相似三角形的判定證明△ACD∽△ADE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解AC即可求解．(1)證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAM，∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；(2)解：∵∠AED＝90°，DE＝8，AE＝6，∴AD＝＝10，連接CD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴AC＝，∴⊙O的半徑是．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．4、(1)這個幾何體是三棱柱；(2)這個幾何體的側(cè)面面積為(120+8)cm2．【解析】【分析】（1）根據(jù)三視圖的知識，主視圖以及左視圖都是長方形，俯視圖為三角形，故可判斷出該幾何體是三棱柱；（2）表面積為3個長方形加上兩個等邊三角形的面積，即可．(1)解：這個幾何體是三棱柱；(2)解：三棱柱的側(cè)面展開圖形是長方形，長方形的長是等邊三角形的周長即C=4×3=12(cm)，根據(jù)題意可知主視圖的長方形的長是三棱柱的高，所以三棱柱側(cè)面展開圖形的面積為：S=12×10=120(cm2)．過點A作AD⊥BC于點D，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∠BAD=30°，BD=DC，∵AB=BC=4，BD=DC=2，∴AD=，∴S△ABC=BCAD=(cm2)，這個幾何體的表面積為120+8(cm2)，答：這個幾何體的側(cè)面面積為(120+8)cm2．【點睛】本題主要考查由三視圖確定幾何體和求幾何體的面積等相關知識，考查學生的空間想象能力．注意：棱柱的側(cè)面都是長方形，上下底面是幾邊形就是幾棱柱．5、（1）PO，垂線段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面積為；（4）AE的最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂線段的性質(zhì)即可解答；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，利用面積法即可求解；（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應線段、對應角相等，可證得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當∠DEC=90°時，DE最短，據(jù)此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的長，即可求解；（4）作出如圖的輔助線，先判斷出點E在直線GH上運動，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當當AE⊥GH時，AE最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵PO⊥直線m，∴從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．故答案為：PO，垂線段最短；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，∴PC=，即CP的最小值為，故答案為：；（3）①由旋轉(zhuǎn)知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，邊長為4，∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；∵點P為高AD上的一個動點，∴點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”可知，當DE⊥CE時，DE最短．∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，∴等邊三角形△PBE的高為，∴△BPE的面積為=；（4）過點B作BH⊥AC于點H，則∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC