第9章動(dòng)量定理及其應(yīng)用9.1動(dòng)量和沖量9.2動(dòng)量定理9.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律思考題習(xí)題

9.1動(dòng)量和沖量

9.1.1動(dòng)量

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量

動(dòng)量是表征物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一個(gè)物理量。眾所周知，槍彈的質(zhì)量盡管很小，但因?yàn)樗俣群艽?，所以能?duì)阻礙其運(yùn)動(dòng)的物體產(chǎn)生很大的沖擊力；輪船靠岸時(shí)，雖然速度很小，但由于質(zhì)量很大，如果操作不慎，也會(huì)發(fā)生撞毀事故；質(zhì)量相同而速度不同的兩輛汽車(chē)，要在相同的時(shí)間內(nèi)停下來(lái)，則速度大的比速度小的需要更大的制動(dòng)力等。物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱，不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與速度有關(guān)。

我們將質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與它在某瞬時(shí)t的速度v的乘積，稱(chēng)為該質(zhì)點(diǎn)在瞬時(shí)的動(dòng)量，記為mv。動(dòng)量是矢量，其方向與點(diǎn)的速度的方向一致，動(dòng)量的單位為kg·m/s。

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

將質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，定義為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，用P表示，即

P=∑mivi

(9-1)

在第4章曾學(xué)習(xí)了重心的概念與計(jì)算，在地球表面附近的重力場(chǎng)中，質(zhì)心與重心的位置相重合。根據(jù)式(4-35)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C的矢徑rC可寫(xiě)為其中,ri是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑，M=∑mi是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量。

將上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得

MvC=∑mivi

再根據(jù)式(9-1)，可將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量表示為

P=MvC

(9-2)

即質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。式(9-2)為計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量特別是剛體動(dòng)量提供了簡(jiǎn)捷的

方法。對(duì)于剛體系統(tǒng)，設(shè)第i個(gè)剛體的質(zhì)心Ci的速度為vCi，則整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量可按下式求得:

P=∑mivCi

(9-3)

其中,mi是第i個(gè)剛體的質(zhì)量。9.1.2力的沖量

物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅與作用在物體上的力有關(guān)，還與力作用時(shí)間的長(zhǎng)短有關(guān)。力對(duì)物體作用的時(shí)間越長(zhǎng)，物體運(yùn)動(dòng)的改變量就越大。我們將力與其作用時(shí)間的乘積定義為該力的沖量，記為I。沖量表示力在作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體的累積效應(yīng)。如果作用力F是常矢量，作用時(shí)間是t,則沖量可以表示為

I=Ft

(9-4)

如果作用力F是變矢量，則它在t1到t2時(shí)間間隔內(nèi)的沖量為

(9-5)

其中,Fdt是力F在微小時(shí)間間隔dt內(nèi)的沖量，稱(chēng)為力的元沖量。

沖量是矢量，當(dāng)作用力是常矢量時(shí)，其方向與力的方向相同。沖量的單位為N·s。

9.2動(dòng)量定理

9.2.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為

ma=F

由于，因此上式可以寫(xiě)成，或

(9-6)這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。如果將式(9-6)寫(xiě)成

d(mv)=Fdt

(9-7)

就得到質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的微分，等于作用力的元沖量。如果再將式(9-7)在t1到t2時(shí)間間隔內(nèi)積分，可得

(9-8)

該式為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量，等于作用力的沖量。9.2.2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，考察其中任一質(zhì)點(diǎn)Mi。令Mi的質(zhì)量為mi，速度為vi，作用于質(zhì)點(diǎn)Mi的所有力的合力為Fi，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有

(9-9)

應(yīng)當(dāng)注意，在作用于Mi的那些力中，既有質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)對(duì)Mi的作用力，也有質(zhì)點(diǎn)系之外的物體對(duì)Mi的作用力。我們將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力稱(chēng)為內(nèi)力，記為F(i)，質(zhì)點(diǎn)系以外的其它物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力稱(chēng)為外力，記為F(e)。必須指出，內(nèi)力與外力的區(qū)分是相對(duì)的，隨著所取研究對(duì)象的不同，同一個(gè)力在有些情況下是內(nèi)力，在有些情況下是外力。例如，將整列火車(chē)作為考察對(duì)象，則機(jī)車(chē)與第一節(jié)車(chē)廂之間相互作用的力為內(nèi)力；但如將機(jī)車(chē)與車(chē)廂分做兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)考察，它們之間相互作用的力就成為外力了。內(nèi)力既然是質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力，根據(jù)作用與反作用定律，這些力必然成對(duì)地出現(xiàn)，而且每一對(duì)力都等值、反向、共線(xiàn)，因此，對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，內(nèi)力系的主矢量以及

對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零，或者說(shuō)，內(nèi)力系所有各力的矢量和等于零，內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)或任一軸的矩之和也等于零。將作用于質(zhì)點(diǎn)Mi的外力和內(nèi)力的合力分別用Fi(e)

與Fi(i)

表示,即Fi=Fi(e)+Fi(i),代入式(9-9)得

(9-10)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，都可寫(xiě)出這樣一個(gè)方程，共有n個(gè)方程。將n個(gè)方程相加，即得

(9-11)

又有

(9-12)式(9-11)右邊第一項(xiàng)∑Fi(e)為作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和，第二項(xiàng)∑Fi(i)為作用于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力的矢量和，而內(nèi)力的矢量和等于零，于是，式(9-11)可寫(xiě)為

(9-13)

即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。該定理表明，內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但它能引起動(dòng)量在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的再分配。任取固定的直角坐標(biāo)軸x、y、z，將方程(9-13)兩邊投影到各軸上，可得(9-14)其中,Px、Py、Pz分別為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量P在x、y、z軸上的投影，由式(9-1)可知其值分別為

(9-15)

式(9-14)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的投影形式，它表明：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一固定軸上的投影對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一軸上投影的代數(shù)和。將方程(9-13)改寫(xiě)成

兩邊積分，可得

(9-16)

即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一段時(shí)間內(nèi)的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一段時(shí)間內(nèi)的沖量的矢量和。這是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式，或稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。將方程(9-16)兩邊投影到固定直角坐標(biāo)軸上，得

(9-17)

即在任一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一固定軸上的投影的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的沖量在同一軸上的投影的代數(shù)和。9.2.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和恒等于零,即∑Fi(e)

≡0,

則由式(9-13)可得

P=∑mivi=常矢量

(9-18)

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和恒為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。該結(jié)論稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。由該定律可知，要使質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量發(fā)生變化，必須有外力作用。又由式(9-14)可知，如果∑Fix(e)=0，則

Px=∑mivix=常量

(9-19)

即如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該軸上的投影保持不變。

如果質(zhì)點(diǎn)系只受內(nèi)力作用，則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律是自然界中最普遍的客觀規(guī)律之一，在科學(xué)技術(shù)上應(yīng)用很廣。例如，槍炮的后坐，火箭和噴氣式飛機(jī)的反

推作用，都可用動(dòng)量守恒定律加以研究。

例9-1曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖9-1所示)。設(shè)OA=AB=l，曲柄OA及連桿AB都是均質(zhì)桿，質(zhì)量均為m，滑塊B的質(zhì)量也是m。求系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡，以及當(dāng)φ=45°時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。圖9-1

解：設(shè)t=0時(shí)桿OA水平，則有φ=ωt。根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，質(zhì)心C的坐標(biāo)可寫(xiě)為

上式就是此系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上述兩式消去時(shí)間t,得

即質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓，如圖9-1中點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)所示。下面求系統(tǒng)的動(dòng)量。將式(9-2)沿x、y軸投影，可得

Px=MvCx,

Py=MvCy

上式中，M為系統(tǒng)的總質(zhì)量,此例中，M=3m，vCx、vCy為質(zhì)心速度投影。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程可得當(dāng)φ=45°時(shí)，系統(tǒng)沿x、y軸的動(dòng)量分別為

此瞬時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量的大小為，其方向沿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡的切線(xiàn)方向，與質(zhì)心速度vC方向一致，如圖9-1所示。

例9-2電動(dòng)機(jī)定子和機(jī)殼的質(zhì)量是m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是

m2，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖9-2所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1處，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離是e。設(shè)電動(dòng)機(jī)軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的水平力及鉛垂力。圖9-2

解：以電動(dòng)機(jī)定子和轉(zhuǎn)子組成的質(zhì)點(diǎn)系作為研究對(duì)象。系統(tǒng)所受外力有兩個(gè)已知的重力m1g、m2g，基礎(chǔ)的約束反力Fx、Fy及約束反力偶MO。由于定子不動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量就是轉(zhuǎn)子的動(dòng)量。于是，整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量大小為

p=m2eω

方向如圖9-2所示。假設(shè)t=0時(shí)，O1O2沿著鉛垂方向，則有φ=ωt。由動(dòng)量定理的投影式(9-14)，得由于

px=m2ωecosωt

py=m2ωesinωt

解得基礎(chǔ)的動(dòng)約束力為

Fx=-m2eω2sinωt

Fy=(m1+m2)g+m2eω2cosωt

當(dāng)電機(jī)靜止時(shí)，基礎(chǔ)上只有向上的約束力Fy,其大小為(m1+m2)g，稱(chēng)為靜約束力。當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)的約束力稱(chēng)為動(dòng)約束力。兩者的差值是由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，可稱(chēng)為

附加動(dòng)約束力，它會(huì)引起電機(jī)和基礎(chǔ)的振動(dòng)?；A(chǔ)動(dòng)反力的最大值和最小值分別為

Fxmax=m2eω2,

Fxmin=-m2eω2

Fymax=(m1+m2)g+m2eω2,

Fymin=(m1+m2)g-m2eω2

用動(dòng)量定理不能求出各螺栓處的反力，只能得到基礎(chǔ)反力的主矢，主矩MO也不能求出，可以利用后面學(xué)到的動(dòng)量矩定理或動(dòng)靜法求解。

例9-3設(shè)有一不可壓縮的理想流體，如圖9-3所示，忽略?xún)?nèi)摩擦力的影響，在變截面管道內(nèi)做定常流動(dòng)，求流體流過(guò)管道時(shí)對(duì)管道產(chǎn)生的動(dòng)壓力。已知AB、CD兩截面處的平均流速分別為v1和v2(m/s)，單位時(shí)間內(nèi)的水體流量為q(m3/s)，水的密度為ρ。

解：取管道中AB和CD兩截面間的流體為研究的質(zhì)點(diǎn)系。經(jīng)過(guò)微小時(shí)間間隔dt，ABDC段的流體流至abdc段，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化等于兩段流體動(dòng)量之差，即

P2-P1=Pabdc-PABDC

=PCDdc-PABba

=ρq(v2-v1)dt圖9-3作用在研究對(duì)象上的力有左、右兩截面處所受的壓力F1、F2，管壁的約束力FN，自重W。根據(jù)動(dòng)量定理有

ρq(v2-v1)dt=(W+F1+F2+FN)dt

解得管壁的動(dòng)反力為

FN=-(W+F1+F2)+ρq(v2-v1)

將管壁對(duì)流體的約束力FN分為兩部分，F(xiàn)N′為與外力W、F1和F2相平衡的管壁靜約束力,FN″為由于流體動(dòng)量的變化而產(chǎn)生的附加動(dòng)約束力,則FN′滿(mǎn)足靜平衡方程

W+F1+F2+FN′=0附加的動(dòng)約束力為

FN″=ρq(v2-v1)

假定AB、CD截面面積分別為AAB、Aab，由不可壓縮流體的連續(xù)性可知

q=AABv1=Aabv2

因此，只要知道管道的流速和尺寸，即可求得附加動(dòng)約束力。流體對(duì)管壁的附加動(dòng)作用力大小等于此附加動(dòng)約束力，但方向相反。

9.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律

9.3.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量P=MvC代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理式(9-13)中，有

或由于，其中aC為質(zhì)心的加速度，所以

(9-20)

式(9-20)表明，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力的矢量和。這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。將式(9-20)投影于固定直角坐標(biāo)軸x、y、z上，可得

(9-21)

方程(9-21)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的直角坐標(biāo)形式。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在形式上與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程相似。根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，某些質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可以直接用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)理論來(lái)解答。例如，剛體做平行移動(dòng)時(shí)，知道了剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，也就知道了整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，所以剛體平動(dòng)的問(wèn)題完全可以作為質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題來(lái)求解，在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)例8-2中已經(jīng)應(yīng)用過(guò)了。又如，土建、水利工程中采用定向爆破的施工方法時(shí)，要求一次爆破就將大量土石方拋擲到指定位置。怎樣才能達(dá)到目的呢?我們知道，爆破出來(lái)的土石塊運(yùn)動(dòng)各不相同，情況很復(fù)雜，但就它們整體來(lái)說(shuō)，不計(jì)空氣阻力，爆破后就只受重力作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，它們質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)就像一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下做拋射運(yùn)動(dòng)一樣。因此，只要控制好質(zhì)心的初速度v0,使質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡通過(guò)指定區(qū)域內(nèi)的適當(dāng)位置，就可能使大部分土石塊落在該區(qū)域內(nèi)，達(dá)到預(yù)期的效果。9.3.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律

當(dāng)∑Fi(e)=0時(shí)，即質(zhì)點(diǎn)系不受外力，或作用于質(zhì)點(diǎn)系的

外力的矢量和恒等于零時(shí)，由式(9-20)可得aC=0,vC＝常矢量，即質(zhì)心保持靜止(如果原來(lái)是靜止的)或做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)∑Fix(e)=0時(shí)，即作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在x軸上投影的代數(shù)和恒等于零時(shí)，由式(9-21)可得aCx=0,vCx=常量，即質(zhì)心的xC坐標(biāo)保持不變(如果質(zhì)心的初速度在x軸上的投影等于零)，或者質(zhì)心沿x軸做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。上述兩種情形均稱(chēng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒。由此可見(jiàn)，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律在實(shí)際問(wèn)題中有許多應(yīng)用。例如，跳水運(yùn)動(dòng)員一旦離開(kāi)跳臺(tái)，其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就完全確定，即以離開(kāi)跳臺(tái)時(shí)質(zhì)心所具有的初速度，在重力作用下沿拋物線(xiàn)做拋射體運(yùn)動(dòng)。不管運(yùn)動(dòng)員在空中做何種動(dòng)作，只可能改變身體的姿勢(shì)，而無(wú)法影響其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。又如，汽車(chē)開(kāi)動(dòng)時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)汽缸內(nèi)的燃?xì)鈮毫?duì)汽車(chē)整體來(lái)說(shuō)是內(nèi)力，不能使車(chē)子前進(jìn)，只是當(dāng)燃?xì)馔苿?dòng)活塞，通過(guò)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)帶動(dòng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，地面對(duì)主動(dòng)輪作用了向前的摩擦力，而且當(dāng)這個(gè)摩擦力大于總的阻力時(shí)，汽車(chē)才能前進(jìn)。我們知道，在非常光滑的地面上走路很困難；在靜止的小船上，人向前走，船往后退，這是因?yàn)樗椒较蛲饬苄?，人與小船的質(zhì)心趨向于保持靜止的緣故。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理中不包含內(nèi)力，特別適合于求解已知質(zhì)心運(yùn)動(dòng)求外力，或已知外力求質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問(wèn)題。對(duì)于那些不受外力或者外力在某軸上投影為零的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，則適于用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律來(lái)求解。

例9-4用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解例9-2。

解：研究定子與轉(zhuǎn)子組成的系統(tǒng)。因電動(dòng)機(jī)機(jī)身不動(dòng)，取靜坐標(biāo)系如圖9-2所示。由題意知，各部分運(yùn)動(dòng)已知，從而可以求得質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。再由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，即可求得螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的力。任一瞬時(shí)t，O1O2與y軸夾角為ωt。所考察的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的位置坐標(biāo)為

求xC及yC對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)，即

(a)，，作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力有兩個(gè)重力、螺栓和基礎(chǔ)對(duì)電動(dòng)機(jī)作用的總的水平力Fx、鉛直力Fy以及約束力偶MO。由式(9-21)有

(b)

將式(a)代入式(b)，解得

例9-5有一船長(zhǎng)為AB=2a，質(zhì)量為m1，船上有質(zhì)量為m2的人，如圖9-4所示。設(shè)人最初在船上A處，后來(lái)沿甲板向右行走。如不計(jì)水對(duì)船的阻力，求當(dāng)人行走到船上B點(diǎn)處時(shí)，船向左方移動(dòng)的距離。

解：將人與船一起作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。作用在該質(zhì)點(diǎn)系上的外力有人的重力m2g、船的重力m1g及水對(duì)船的反作用力FN，各力均沿鉛垂方向，它們?cè)趚軸上投影的代數(shù)和等于零。此外，人與船最初是靜止的，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，系統(tǒng)的質(zhì)心位置在x軸方向守恒。圖9-4取坐標(biāo)系Oxyz如圖9-4所示。初始時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的x坐標(biāo)為

當(dāng)人走到B處時(shí)，設(shè)船向左移動(dòng)的距離為l，此時(shí)船在A′B′位置，系統(tǒng)質(zhì)心的位置為由xC1=xC2得到

解得

此即船向左移動(dòng)的距離。思考題

9-1分析下列論述是否正確：

(1)動(dòng)量是一個(gè)瞬時(shí)量，相應(yīng)地，沖量也是一個(gè)瞬時(shí)量。

(2)將質(zhì)量為m的小球以速度v1向上拋，小球回落到地面時(shí)的速度為v2。因v1與v2的大小相等，所以?xún)蓚€(gè)時(shí)刻小球的動(dòng)量也相等。

(3)力F在直角坐標(biāo)軸上的投影為Fx、Fy、Fz，作用時(shí)間從t＝0到t＝t1，其沖量的投影應(yīng)是Ix=Fxt1,Iy=Fyt1,Iz=Fzt1。

(4)一個(gè)物體受到大小為10N的常力F作用，在t＝3s的瞬時(shí)，該力的沖量的大小I=Ft=30N·s。

9-2當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)都做高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，該系統(tǒng)的動(dòng)量是否一定很大？為什么?

9-3炮彈在空中飛行時(shí)，若不計(jì)空氣阻力，則質(zhì)心的軌跡為一拋物線(xiàn)。炮彈在空中爆炸后，其質(zhì)心軌跡是否改變?又當(dāng)部分彈片落地后，其質(zhì)心軌跡是否改變?為什么?

9-4質(zhì)量為m1的楔塊C放在光滑水平面上。質(zhì)量為m2的桿AB可沿鉛直槽運(yùn)動(dòng),其一端放在楔塊C上。在如思9-4圖所示的瞬時(shí)，楔塊的速度為vC，加速度為aC，方向都向右，求此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。思9-4圖

9-5試求思9-5圖所示各均質(zhì)物體的動(dòng)量，設(shè)各物體質(zhì)量均為m。思9-5圖習(xí)題

9-1兩均質(zhì)桿AC及BC，長(zhǎng)均為l，質(zhì)量分別是m1、m2，在C處用光滑鉸相連，如題9-1圖所示。開(kāi)始時(shí)兩桿靜止直立于光滑的水平地面上，后來(lái)在鉛直平面內(nèi)向兩邊分開(kāi)倒下。問(wèn)在：(1)m1=m2，(2)m1=2m2，(3)m1=4m2三種情況下，兩均質(zhì)桿倒到地面上時(shí)，C點(diǎn)的位置在哪里?題9-1圖

9-2勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)機(jī)質(zhì)量是m1，在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上帶一個(gè)質(zhì)量是m2的偏心輪，偏心距離為e，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為ω。

(１)設(shè)電動(dòng)機(jī)外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，求作用在螺栓上的最大水平力；

(２)不用螺栓固定，問(wèn)角速度ω為多大時(shí)，電動(dòng)機(jī)會(huì)跳離地面?

9-3均質(zhì)圓盤(pán)繞偏心軸O以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，如題9-3圖所示。質(zhì)量為m1的夾板借右端彈簧的推壓而頂在圓盤(pán)上，當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，夾板做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)圓盤(pán)質(zhì)量為m2，半徑為r，偏心距為e，求任一瞬時(shí)作用于基礎(chǔ)的動(dòng)反力。題9-3圖

9-4長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB，其一端B置于光滑水平面上，并與水平面成90°角，求當(dāng)桿無(wú)初速倒下時(shí)，A點(diǎn)在題9-4圖所示坐標(biāo)系中的軌跡方程。題9-4圖

9-5在物塊A上作用一個(gè)常拉力F1，使其沿水平面移動(dòng)，已知物塊的質(zhì)量為10kg，F(xiàn)1與水平面夾角θ