人教A版高二寒假作業(yè)3：圓錐曲線的方程【基礎鞏固】一、單選題1.(2024·江蘇省蘇州市·月考試卷)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0A.x29+y28=1 B.2.(2024·河南省·月考試卷)直線l過點M(2,1)且與橢圓x2+4y2=16相交于A，B兩點，若點M為弦AB的中點，則直線A.?12 B.12 C.?13.(2024·甘肅省張掖市·模擬題)已知雙曲線方程為2x2?y2=λ(λ≠0)A.頂點坐標 B.焦距 C.離心率 D.漸近線方程4.(2024·福建省·單元測試)在平面直角坐標系xOy

中，已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,P是拋物線E上位于第一象限內(nèi)的任意一點，Q是線段PF上的點，且滿足OQ=23A.22 B.3 C.1二、多選題5.(2023·湖南省長沙市·月考試卷)已知曲線C的方程為x23m?2?y22m?4A.若曲線C表示圓，則m=65

B.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍為(23,2)

C.若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為(23,656.(2024·吉林省·月考試卷)經(jīng)過拋物線y2=2pxp>0的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設Ax1,A.當AB與x軸垂直時，AB最小 B.1AF+1BF=2p

C.以弦三、填空題7.(2024·湖北省十堰市·月考試卷)點(0,?2)是橢圓x2m+y2m28.(2024·河南省·模擬題)已知P為雙曲線C:x24?y2=1的右支上一點，點A,B分別在C的兩條漸近線上，O為坐標原點，若四邊形OAPB為平行四邊形，且四、解答題9.(2024·重慶市市轄區(qū)·期末考試)

已知以原點O為中心的橢圓標準方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為55，焦點F為(?1,0)．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若過焦點F10.(2024·山東省·期末考試)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上有一點D，其橫坐標為2，且點D到拋物線C的焦點F(1)求拋物線C的方程;(2)過定點(2,0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓M交x軸于P，Q兩點，點O為坐標原點，問：|OP|?|OQ|是否為定值?若是，請求出該定值;若不是，請說明理由．

【拓展提升】一、單選題1.(2024·浙江省杭州市·月考試卷)已知A，B為拋物線x2=4y上的動點，P(x0,y0)為ABA.1 B.2 C.3 D.42.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，直線y=kx(k>0)與橢圓C交于A，A.[22,1) B.[6二、多選題3.(2024·河南省·月考試卷)已知焦點在x軸上，對稱中心為坐標原點的等軸雙曲線C的實軸長為22，過雙曲線C的右焦點F且斜率不為零的直線l與雙曲線交于A，B兩點，點B關于x軸的對稱點為D，則(

)A.雙曲線的標準方程為x22?y22=1

B.若直線l的斜率為2，則|AB|=1023

C.若點B，A，F(xiàn)依次從左到右排列，則存在直線l4.(2024·江蘇省·同步練習)已知橢圓E：x225+y216=1的右焦點為F2，直線x?y+3=0與橢圓交于AA.△ABF2的周長為20 B.△ABF2的面積為960241

C.線段AB中點的橫坐標為三、填空題5.(2023·天津市·月考試卷)已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2).

①拋物線y2=4x焦點到準線的距離為2；

②若x1+x2=6，則|PQ|=8；

③y1y2=?4p四、解答題6.(2023·江蘇省泰州市·期中考試)

外形是雙曲面的冷卻塔具有眾多優(yōu)點，如自然通風和散熱效果好，結構強度和抗變形能力強等，其設計原理涉及到物理學、建筑學等學科知識.如圖1是中國華電集團的某個火力發(fā)電廠的一座冷卻塔，它的外形可以看成是由一條雙曲線的一部分繞著它的虛軸所在直線旋轉而成，其軸截面如圖2所示.已知下口圓面的直徑為80米，上口圓面的直徑為40米，高為90米，下口到最小直徑圓面的距離為80米．

(1)求最小直徑圓面的面積；

(2)雙曲面也是直紋曲面，即可以看成是由一條直線繞另一條直線旋轉而成，該直線叫做雙曲面的直母線.過雙曲面上的任意一點有且只有兩條相交的直母線(如圖3)，對于任意一條直母線l，均存在一個軸截面和它平行，此軸截面截雙曲面所得的雙曲線有兩條漸近線，且直母線l與其中一條平行.廣州電視塔(昵稱“小蠻腰”，如圖4)就是根據(jù)這一理論設計的，極大地方便了建造、節(jié)約了成本(主鋼梁在直母線上，鋼筋不需要彎曲).若圖1中的冷卻塔也采用直母線主鋼梁，求主鋼梁的長度(精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：37≈0.655).【基礎鞏固】1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，是容易題．

由公式a2=b【解答】解：依題意可得2c=2，2b=6，則c=1，b=3，

所以a2=b2+c2故選B．2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查直線的斜率，考查點差法，中點的坐標公式的應用，為基礎題．

設A(x1,y【解答】

解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x123.【答案】D

【解析】【分析】本題考查雙曲線的焦點、焦距，雙曲線的漸近線，求雙曲線的離心率，雙曲線的頂點、實虛軸，屬于基礎題．

根據(jù)雙曲線的幾何性質，對λ分類討論各個選項，即可求解．【解答】

解：整理雙曲線方程得x2λ2?y2λ=1，

當λ>0時，焦點坐標在x軸上，頂點±λ2,0，

離心率e=1+ba2=1+λλ2=3，

焦距2c=6λ，漸近線方程y=±2x，

4.【答案】D

【解析】【分析】本題考查拋物線的標準方程，向量的坐標運算，直線的斜率公式，基本不等式的性質，考查計算能力，屬于較難題．

根據(jù)向量坐標運算求得Q點坐標，根據(jù)直線的斜率公式，及基本不等式的性質即可求得直線的斜率的取值范圍．【解答】

解：由拋物線E：y2=2px焦點F(p2,0)，

設P(y122p,y1)，y1>0，Q(x,y)，

由OQ=23OP+13OF，

則(x,y)=23(y122p,y1)+15.【答案】ACD

【解析】【分析】本題主要考查圓的方程，橢圓標準方程，雙曲線標準方程，屬于基礎題．

根據(jù)圓的方程，橢圓標準方程和雙曲線標準方程的特點逐項判斷即可．【解答】

解：對于A，若曲線C表示圓，則3m?2=?2m+4>0，解得m=65，故A正確；

對于B，若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則3m?2>?2m+4>0，解得65<m<2，故B不正確；

對于C，若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則?2m+4>3m?2>0，解得23<m<65，故C正確；

對于D，若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則3m?2<0?2m+4>06.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查直線與拋物線位置關系及其應用，拋物線中的弦長問題，直線與圓的位置關系的判斷及求參，拋物線的定義，屬于中檔題．

先設直線AB的方程，聯(lián)立拋物線，可得D.用拋物線焦點弦公式表示AB，可得A.利用拋物線定義，可表示1AF+1BF，可證【解答】解：如圖，設直線AB為x=my+p2，

聯(lián)立y得y2=2pmy+所以y1+y2=2pmAB=將y1+y故當m=0時，AB取得最小值2p，此時直線AB與x軸垂直，故A正確，1|AF|+1代入y1+y得1AF+1設AB的中點為M，則以弦AB為直徑的圓的圓心為M，半徑為AB2分別過A,B,M作拋物線的垂線，垂足分別為P,S,Q，由拋物線的定義知AP=AF，則MQ=故以弦AB為直徑的圓與直線x=?p2相切，故選：ABD．7.【答案】3

【解析】【分析】本題考查橢圓方程，屬基礎題．

依題意，橢圓的焦點在y軸上，結合方程確定a2=m2?2，b【解答】

解：依題意，知橢圓的焦點在y軸上，c=2，

∴a2=m2?2，b2=m且m2?2>m>0，

∴c2=a2?8.【答案】54【解析】【分析】本題考查直線與雙曲線的位置關系及其應用，屬于中檔題．

通過已知設B(x0,?12x0)，由【解答】

解：如圖，雙曲線C:x24?y設B(x0,?可得|OB|=x02設lPB:y=12x+b所以lPB:y=12x?255故|PB|=(959.【答案】解：(1)因為橢圓的離心率為55，焦點F為(?1,0)，

所以e=ca=55c=1，

解得a=5b=2，

則橢圓方程為x25+y24=1；

(2)易知直線AB的方程為y=x+1，

不妨設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立【解析】本題考查橢圓的標準方程、離心率和弦長，考查點到直線的距離和橢圓中三角形的面積，屬于基礎題．

(1)由題意，根據(jù)題目所給信息，結合a，b，c之間的關系，列出等式求出a和b的值，進而即可求解；

(2)得到直線AB的方程，設出A，B兩點的坐標，將直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式再進行求解即可．10.【答案】

解：(1)根據(jù)已知點D到拋物線C的焦點F的距離為3，

結合拋物線的定義得點D到拋物線C準線x=?p2的距離也為3，

又D點的橫坐標為2，

所以2?(?p2)=3，解得p=2，

所以拋物線C的方程為y2=4x．

(2)設直線l:x=my+2，

聯(lián)立方程組x=my+2y2=4x

，

消去x得y2=4(my+2)?y2?4my?8=0，

設A(x1,y1),B(x2,y2)，

則由韋達定理得y1y2=?8，

以A(x1,y1),B(x2,y【解析】本題主要考查了拋物線的定義及標準方程，直線與拋物線的位置關系，圓錐曲線中的定值問題．

(1)根據(jù)已知條件和拋物線的定義可得點D到拋物線C準線x=?p2的距離也為3，即可得答案;

(2)根據(jù)已知可設直線l:x=my+2，聯(lián)立直線與拋物線方程，并整理得y2?4my?8=0，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則由韋達定理得y1【拓展提升】1.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查拋物線的定義以及標準方程，屬于中檔題．

根據(jù)題意可知|AB|≤|AF|+|BF|，可得|AF|+|BF|的最小值，進而根據(jù)拋物線的定義可求y0的最小值，即可求解．

【解答】

解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，焦點F(0,1)，則y0=y1+y22，

由|AF|=y1+1，2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查橢圓的性質，考查橢圓的定義，兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用，正弦函數(shù)的性質，考查計算能力，屬于中檔題．

由題意可知：四邊形AFBF2是矩形．由|BF|=2ccosθ，|BF2|=|AF|=2csinθ，根據(jù)橢圓的定義|BF|+|B【解答】

解：設F2是橢圓的右焦點，

∵O點為AB的中點，|OF|=|OF2|，

則四邊形AFBF2是平行四邊形，

又AF⊥BF，∴四邊形AFBF2是矩形．

如圖所示設∠ABF=θ，

則|BF|=2ccosθ，|BF2|=|AF|=2csinθ，

|BF|+|BF2|=2a，

∴2ccosθ+2csinθ=2a，

∴e=1cosθ+sinθ，

sinθ+cosθ=2sin3.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查雙曲線的標準方程、弦長問題、雙曲線中的定點問題，屬于較難題．

對于A，由雙曲線的實軸長以及等軸的條件即得；對于B，由弦長公式即得；對于C，由點B在雙曲線左支上，點A在雙曲線右支上得出矛盾即得；對于D，證明?y【解答】

解：對于A，由條件得a=b=2，則雙曲線的標準方程為x22?y22=1，A正確；

對于B，右焦點F(2,0)，當直線l的斜率為2時，其方程為y=2x?4，

由x2?y2=2y=2x?4得3x2?16x+18=0，滿足判別式大于0，

且xA+xB=163，xAxB=6，

所以|AB|=22+1·(163)2?4×6=1023，B正確；

對于C，易得，點B在雙曲線左支上，點A在雙曲線右支上，

xA?xB>2a=22，xF?xA<c?a=2?2，故點A不可能為線段BF的中點，C錯誤；

對于D，設直線AB：x=my+2，m≠0(因m=0時點D與點A重合)，m≠±1，4.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了橢圓的定義和直線與橢圓的位置關系，是中檔題．

由橢圓的定義得△ABF2的周長為4a，可判定A；直線x?y+3=0與橢圓聯(lián)立，由韋達定理、弦長公式和橢圓中三角形的面積，可判定【解答】

解：A.直線x?y+3=0過橢圓E的左焦點F1，△ABF2的周長為4a=20，故A正確；

聯(lián)立x225+y216=1和x?y+3=0，可得41x2+150x?25×7=0，

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=?5.【答案】①②④

【解析】【分析】本題考查了拋物線方程以及直線與拋物線的位置關系的應用和性質，考查了學生的運算轉化能力，屬于中檔題．

由拋物線方程即可求出焦點坐標以及準線方程，然后利用拋物線的定義以及性質，對應各個選項逐個驗證即可．【解答】解：由拋物線的方程可得：p=2，且焦點F(1,0)，準線方程為：x=?1，

對于①：由拋物線的焦點坐標以及準線方程可得焦點到準線的距離為2，故①正確，

對于②：由拋物線的定義可得：|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2=8，故②正確，

對于③：設直線PQ的方程為：x=my+1，代入拋物線方程可得：

y2?4my?4=0，所以