(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)6.3《等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》聽(tīng)評(píng)課記錄(含詳解)一.基本信息

聽(tīng)課日期：2023年10月26日

聽(tīng)課時(shí)間：上午第二節(jié)課

授課教師姓名：張明

學(xué)科/課程名稱(chēng)：高考數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高三（理科）

教學(xué)主題或章節(jié)：《等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)

聽(tīng)課人姓名：李強(qiáng)

聽(tīng)課人職務(wù)：數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽(tīng)課目的：教學(xué)研究、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式探討

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式展開(kāi)，并結(jié)合高考真題進(jìn)行針對(duì)性講解。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材配套習(xí)題冊(cè)、多媒體課件、高考真題集等齊全。教具方面，教師準(zhǔn)備了白板筆和幾何畫(huà)板軟件，用于動(dòng)態(tài)展示等比數(shù)列圖像，幫助學(xué)生直觀理解數(shù)列變化規(guī)律。多媒體課件內(nèi)容詳實(shí)，包含知識(shí)框架圖、典型例題解析和錯(cuò)題警示，與高考考綱緊密對(duì)接。

2.教學(xué)過(guò)程

開(kāi)始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師通過(guò)復(fù)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比導(dǎo)入新課。以“銀行復(fù)利問(wèn)題”為情境，提問(wèn)“如果每年利息按本利和計(jì)算，第n年本息和如何表示？”，引出等比數(shù)列模型，激發(fā)學(xué)生思考。導(dǎo)入效果良好，約85%學(xué)生能主動(dòng)聯(lián)系舊知識(shí)，課堂氣氛活躍。

展開(kāi)階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用“講練結(jié)合”模式展開(kāi)教學(xué)。首先系統(tǒng)梳理等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)“首項(xiàng)不為零、公比不為1”的隱含條件。隨后通過(guò)三個(gè)梯度例題展開(kāi)：例1考查基本公式應(yīng)用，例2涉及錯(cuò)位相減法求和，例3為高考?jí)狠S題類(lèi)型——等比數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的綜合問(wèn)題。教師采用分層提問(wèn)法，基礎(chǔ)題讓學(xué)生獨(dú)立完成，難點(diǎn)題通過(guò)小組討論突破。課堂中穿插了“數(shù)列性質(zhì)猜謎”游戲，如“若{an}為等比數(shù)列，則{an^2}是否為等比數(shù)列？”，增強(qiáng)趣味性。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師用思維導(dǎo)圖歸納等比數(shù)列核心考點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)“分類(lèi)討論”“公式變形”等高考高頻技巧。作業(yè)布置分基礎(chǔ)題（教材P78習(xí)題3-5）和拓展題（2022年新高考真題改編），要求學(xué)生整理錯(cuò)題到錯(cuò)題本。最后留出3分鐘讓學(xué)生互問(wèn)互答，鞏固知識(shí)。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率高，教師每講完一個(gè)性質(zhì)就提問(wèn)驗(yàn)證，如“若q≠1，Sn如何用錯(cuò)位相減法表示？”，約70%學(xué)生能準(zhǔn)確回答。小組討論環(huán)節(jié)中，教師明確分工，讓基礎(chǔ)較弱的學(xué)生記錄公式，優(yōu)等生負(fù)責(zé)推導(dǎo)，形成“兵教兵”效應(yīng)。課堂提問(wèn)中，教師關(guān)注到12名平時(shí)不發(fā)言的學(xué)生，通過(guò)降低難度問(wèn)題逐步引導(dǎo)。

學(xué)生參與度顯著，例2講解時(shí)教師故意寫(xiě)錯(cuò)“等比數(shù)列求和時(shí)必須驗(yàn)證公比”的步驟，引發(fā)學(xué)生糾正，課堂生成有效。反應(yīng)情況方面，學(xué)生對(duì)于“等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)圖像對(duì)比”的環(huán)節(jié)表現(xiàn)出濃厚興趣，有學(xué)生舉手補(bǔ)充“公比絕對(duì)值大于1時(shí)圖像趨近于y軸”的規(guī)律。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)習(xí)積極性方面，前20分鐘教師通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示“1+2+4+8+...”圖像時(shí)，學(xué)生注意力高度集中，課堂抬頭率超過(guò)90%。合作學(xué)習(xí)效果明顯，小組討論中形成3個(gè)典型錯(cuò)誤案例（如Sn誤用等差數(shù)列求和公式、首項(xiàng)為0的數(shù)列性質(zhì)混淆），教師及時(shí)用實(shí)物投影展示并分析。部分學(xué)生用手機(jī)查閱資料，補(bǔ)充“等比數(shù)列中公比為負(fù)數(shù)時(shí)的圖像對(duì)稱(chēng)性”知識(shí)點(diǎn)，教師予以肯定。

專(zhuān)注度方面，練習(xí)環(huán)節(jié)有15名學(xué)生完整書(shū)寫(xiě)解題步驟，但后排3名學(xué)生出現(xiàn)走神，教師通過(guò)“眼神提示”和“隨機(jī)提問(wèn)”恢復(fù)正常秩序。合作學(xué)習(xí)時(shí)，小組長(zhǎng)用不同顏色筆標(biāo)注關(guān)鍵步驟，促進(jìn)細(xì)節(jié)關(guān)注。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能自覺(jué)遵守“舉手發(fā)言”規(guī)則，教師使用“積分制”激勵(lì)措施，回答問(wèn)題正確加分，小組討論積極加分，最終得分與作業(yè)批改掛鉤。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入5分鐘、新授25分鐘、練習(xí)10分鐘、總結(jié)5分鐘，各環(huán)節(jié)銜接緊密。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，難點(diǎn)突破時(shí)適當(dāng)放慢語(yǔ)速，例3講解時(shí)用“白板分段推導(dǎo)”降低認(rèn)知負(fù)荷。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用充分，幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)變化時(shí)，學(xué)生能直觀感知“指數(shù)增長(zhǎng)”特性。課件中的錯(cuò)題警示功能（自動(dòng)彈出易錯(cuò)點(diǎn)）有效避免重復(fù)錯(cuò)誤。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中，教師用“數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算器”讓學(xué)生驗(yàn)證不同q值下的Sn公式，技術(shù)支持了個(gè)性化學(xué)習(xí)。但有個(gè)別學(xué)生反映手機(jī)APP計(jì)算速度較慢，教師及時(shí)調(diào)整為“教師機(jī)統(tǒng)一演示”模式，保證公平性。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的要求。課前預(yù)設(shè)的三個(gè)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的定義、掌握通項(xiàng)公式與求和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；能夠運(yùn)用錯(cuò)位相減法解決特殊數(shù)列求和問(wèn)題；通過(guò)高考真題分析，提升解題策略與規(guī)范意識(shí)。目標(biāo)設(shè)定中，知識(shí)目標(biāo)占比60%，技能目標(biāo)30%，情感目標(biāo)10%，符合新高考“能力立意”的要求。

學(xué)生達(dá)成情況良好。通過(guò)課堂觀察，85%學(xué)生能準(zhǔn)確復(fù)述等比數(shù)列核心性質(zhì)，其中92%能獨(dú)立完成基礎(chǔ)題通項(xiàng)計(jì)算。技能目標(biāo)達(dá)成方面，錯(cuò)位相減法應(yīng)用環(huán)節(jié)，76%學(xué)生能正確寫(xiě)出推導(dǎo)步驟，但有23%學(xué)生在變形環(huán)節(jié)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。典型數(shù)據(jù)表明，90%學(xué)生能識(shí)別適用條件（如公比不為0），但僅68%學(xué)生能完整解釋“等比中項(xiàng)”與“等比數(shù)列”的區(qū)別。高考真題改編題中，平均得分率38%，暴露出綜合應(yīng)用能力不足的問(wèn)題。

目標(biāo)適切性體現(xiàn)在分層設(shè)計(jì)上，基礎(chǔ)題覆蓋了教材例題80%的考點(diǎn)，拓展題與2022年新高考第12題難度匹配，但部分學(xué)生反饋“公比含參數(shù)的討論題過(guò)難”，教師課后調(diào)整了作業(yè)難度梯度，體現(xiàn)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化。

2.知識(shí)掌握

知識(shí)點(diǎn)理解方面，通過(guò)“概念辨析”環(huán)節(jié)檢驗(yàn)，學(xué)生對(duì)“等比數(shù)列性質(zhì)辨析”的掌握程度達(dá)到“理解”層級(jí)。教師設(shè)計(jì)的“易錯(cuò)點(diǎn)清單”（如Sn與an混淆、公比q=1時(shí)公式失效）覆蓋了82%學(xué)生的薄弱區(qū)域。學(xué)生能通過(guò)類(lèi)比等差數(shù)列自主總結(jié)“等比數(shù)列的倒數(shù)數(shù)列仍為等比數(shù)列”，體現(xiàn)知識(shí)的遷移能力。但部分學(xué)生混淆了“等比數(shù)列相鄰三項(xiàng)關(guān)系”與“等差中項(xiàng)公式”，教師用“數(shù)形結(jié)合”方法（圖像法驗(yàn)證an/an-1=q）強(qiáng)化了理解。

記憶情況方面，通過(guò)“關(guān)鍵詞回憶”測(cè)試，核心公式（Sn公式、通項(xiàng)公式）記憶正確率達(dá)95%，但推導(dǎo)過(guò)程記憶存在碎片化現(xiàn)象，僅61%學(xué)生能完整復(fù)述錯(cuò)位相減法的推導(dǎo)邏輯。教師用“口訣記憶法”（“首項(xiàng)乘公比，除以公比減一”）幫助學(xué)生鞏固，但效果有限，反映出抽象概念記憶的難點(diǎn)。

技能掌握方面，典型例題的解題步驟規(guī)范性較好，90%學(xué)生能寫(xiě)出完整的“設(shè)首項(xiàng)公比-列式求和”框架，但變式題（如“等比數(shù)列與等差數(shù)列項(xiàng)的乘積構(gòu)成數(shù)列”）的技能遷移率不足，僅45%學(xué)生能聯(lián)想到構(gòu)造法。教師通過(guò)“解題模板展示”提升技能，但暴露出高三學(xué)生“重套路輕理解”的傾向。錯(cuò)題本分析顯示，相同錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn)，說(shuō)明技能內(nèi)化仍需強(qiáng)化。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。情感層面，通過(guò)“銀行復(fù)利”情境引入，激發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，85%學(xué)生表示“發(fā)現(xiàn)數(shù)列在生活中的價(jià)值”。小組討論中，合作意識(shí)顯著增強(qiáng)，學(xué)生自發(fā)形成“解題互助”機(jī)制，12名后進(jìn)生通過(guò)同伴講解重拾自信。教師設(shè)計(jì)的“挑戰(zhàn)題積分”環(huán)節(jié)，有效緩解了高三復(fù)習(xí)的焦慮情緒，課堂氛圍積極向上。

態(tài)度方面，對(duì)“等比數(shù)列性質(zhì)辨析”的辯論賽形式，培養(yǎng)了批判性思維，學(xué)生能主動(dòng)質(zhì)疑“為何公比q≠1”的限制條件。技術(shù)使用環(huán)節(jié)，有學(xué)生提出“幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)能否模擬數(shù)列增長(zhǎng)速度”的改進(jìn)建議，體現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)。但部分學(xué)生在遇到難題時(shí)出現(xiàn)“放棄傾向”，反映出抗挫折能力有待提升。教師通過(guò)“分解難題法”和“榜樣案例分享”進(jìn)行引導(dǎo)，但效果顯現(xiàn)較慢。

價(jià)值觀層面，通過(guò)“數(shù)學(xué)史”小故事（歐幾里得在《幾何原本》中首次定義等比數(shù)列），滲透“數(shù)學(xué)文化”教育，學(xué)生能聯(lián)系到“等比數(shù)列在幾何中與相似三角形的關(guān)系”，提升學(xué)科認(rèn)同感。但價(jià)值觀滲透的深度不足，多數(shù)學(xué)生僅停留在“知識(shí)有趣”的淺層認(rèn)知。教師強(qiáng)調(diào)“解題規(guī)范”時(shí)，結(jié)合“高考評(píng)分細(xì)則”，強(qiáng)化了責(zé)任意識(shí)，但未能有效遷移到考試誠(chéng)信教育，暴露出價(jià)值觀教育的短板。

總體而言，課堂有效達(dá)成了知識(shí)目標(biāo)，技能目標(biāo)部分達(dá)成，情感態(tài)度目標(biāo)初步實(shí)現(xiàn)。但需關(guān)注抽象概念記憶、綜合應(yīng)用能力及價(jià)值觀滲透深度，建議后續(xù)增加“一題多解”訓(xùn)練和“數(shù)學(xué)建模”活動(dòng)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

對(duì)本節(jié)課的整體印象為“目標(biāo)明確、結(jié)構(gòu)清晰、技術(shù)輔助有效，但深度挖掘不足”。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教學(xué)設(shè)計(jì)的“層次性”和“情境性”。層次性體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容的梯度安排上，從基礎(chǔ)公式到錯(cuò)位相減法再到高考真題，符合高三學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；情境性則表現(xiàn)在導(dǎo)入環(huán)節(jié)的復(fù)利問(wèn)題和例題的日常生活應(yīng)用，有效激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。教師對(duì)等比數(shù)列與等差數(shù)列的類(lèi)比教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這是本節(jié)課最鮮明的亮點(diǎn)。此外，課堂管理嚴(yán)謹(jǐn)有序，師生互動(dòng)積極，技術(shù)手段運(yùn)用恰當(dāng)，也為課堂效果的達(dá)成提供了保障。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)措施：

（1）強(qiáng)化抽象概念的深度理解。等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生普遍存在“知其然不知其所以然”的現(xiàn)象。建議增加“概念發(fā)生式教學(xué)”環(huán)節(jié)，如用“等比數(shù)列的倒數(shù)數(shù)列仍為等比數(shù)列”推導(dǎo)過(guò)程的幾何直觀（單位圓冪級(jí)數(shù)），幫助學(xué)生從本質(zhì)層面把握數(shù)列特征。可引入“類(lèi)比探究”活動(dòng)，讓學(xué)生自主總結(jié)等比數(shù)列與等差數(shù)列在“求和方式”“性質(zhì)推導(dǎo)”上的異同，教師補(bǔ)充“極限視角”下的等比數(shù)列（如q<1時(shí)Sn趨于極限值），提升認(rèn)知深度。

（2）提升綜合應(yīng)用能力。本節(jié)課真題講解中，學(xué)生暴露出“公式套用機(jī)械”的問(wèn)題，如忽視公比q=1的特例，或錯(cuò)用錯(cuò)位相減法條件。建議增加“變式訓(xùn)練”環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)“等比數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合”的題目，如“已知an是等比數(shù)列，若Sn+Sn*2=an+1，求通項(xiàng)公式”，引導(dǎo)學(xué)生從“結(jié)構(gòu)特征”角度解題。教師可補(bǔ)充“解題策略清單”（如“判斷數(shù)列類(lèi)型-選擇方法-驗(yàn)證條件”），并設(shè)計(jì)“一題多解”對(duì)比環(huán)節(jié)，如用“裂項(xiàng)相消法”解決等比數(shù)列求和問(wèn)題，拓展思維廣度。

（3）優(yōu)化技術(shù)使用的支持作用。幾何畫(huà)板演示雖直觀，但部分學(xué)生因操作不熟練而影響聽(tīng)課效率。建議采用“分層技術(shù)支持”策略：基礎(chǔ)演示環(huán)節(jié)由教師統(tǒng)一操作，核心推導(dǎo)過(guò)程（如Sn公式變形）用“動(dòng)態(tài)方程式”工具分解步驟；針對(duì)“數(shù)列計(jì)算器”使用問(wèn)題，可開(kāi)發(fā)“班級(jí)專(zhuān)用工具包”（包含常用公式計(jì)算模塊），并安排“技術(shù)輔導(dǎo)員”（由小組長(zhǎng)兼任）在課間提供幫助。技術(shù)融入應(yīng)避免“為技術(shù)而技術(shù)”，需明確技術(shù)支持的目標(biāo)，如用“數(shù)據(jù)可視化”強(qiáng)化對(duì)“Sn增長(zhǎng)速度”的感知。

（4）加強(qiáng)價(jià)值觀教育的滲透。本節(jié)課在“數(shù)學(xué)文化”和“考試規(guī)范”方面的教育較淺，建議結(jié)合等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用（如人口增長(zhǎng)模型、復(fù)利計(jì)算），設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)與社會(huì)”議題討論，如“等比增長(zhǎng)與可持續(xù)發(fā)展”的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生思考。在解題規(guī)范教學(xué)中，可引入“往屆優(yōu)秀作文批改案例”，對(duì)比“規(guī)范與不規(guī)范答案的得分差異”，強(qiáng)化“嚴(yán)謹(jǐn)性”的價(jià)值認(rèn)同。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？

（1）深化“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式。本節(jié)課提問(wèn)設(shè)計(jì)以“驗(yàn)證性提問(wèn)”為主，建議增加“探究性提問(wèn)”，如“若{an}為等比數(shù)列，{an+1}是否為等比數(shù)列？為什么？”引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，教師補(bǔ)充“反例教學(xué)”（如首項(xiàng)為0的數(shù)列），完善認(rèn)知?？稍O(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”推進(jìn)教學(xué)，如從“等比數(shù)列定義”→“相鄰三項(xiàng)關(guān)系”→“通項(xiàng)公式”→“前n項(xiàng)和”逐步深入，強(qiáng)化邏輯鏈條。

（2）構(gòu)建“數(shù)列專(zhuān)題知識(shí)樹(shù)”。等比數(shù)列常與等差數(shù)列、函數(shù)、不等式結(jié)合，建議教師建立“數(shù)列專(zhuān)題知識(shí)樹(shù)”資源庫(kù)，標(biāo)注各考點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性，如“等比中項(xiàng)”與“二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸”的關(guān)聯(lián)、“錯(cuò)位相減法”與“差分方程”的類(lèi)比。在復(fù)習(xí)課中，可設(shè)計(jì)“專(zhuān)題突破”微格訓(xùn)練，如“等比數(shù)列中‘項(xiàng)數(shù)關(guān)系’的挖掘”，提升綜合分析能力。

（3）優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)。作業(yè)應(yīng)避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，建議采用“分層作業(yè)+項(xiàng)目式作業(yè)”模式?；A(chǔ)題鞏固公式記憶，如“計(jì)算不同q值下的Sn”的編程練習(xí)；拓展題側(cè)重思維訓(xùn)練，如“用等比數(shù)列證明不等式”的探索性作業(yè)；項(xiàng)目式作業(yè)可設(shè)計(jì)“等比數(shù)列在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究”，培養(yǎng)跨學(xué)科能力。教師需建立“作業(yè)反饋閉環(huán)”，對(duì)典型錯(cuò)誤進(jìn)行二次講解。

3.后續(xù)跟蹤

需要后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)改進(jìn)情況。建議安排“同課異構(gòu)”活動(dòng)，邀請(qǐng)其他教師采用“概念辨析+實(shí)驗(yàn)探究”模式重講本課，對(duì)比教學(xué)效果。重點(diǎn)關(guān)注以下指標(biāo)：

（1）抽象概念理解度。通過(guò)“概念填空題”（如“若{an}為等比數(shù)列，則{an^2}是________數(shù)列”）檢驗(yàn)學(xué)生認(rèn)知深度。

（2）綜合應(yīng)用能力。增加“高考真題改編題”的限時(shí)訓(xùn)練，觀察學(xué)生“條件挖掘”“方法選擇”的準(zhǔn)確率。

（3）技術(shù)使用優(yōu)化。評(píng)估“動(dòng)態(tài)教學(xué)工具”的常態(tài)化程度，如幾何畫(huà)板、數(shù)列計(jì)算器的應(yīng)用頻率和效果。

為幫助教師成長(zhǎng)，計(jì)劃采取以下支持措施：

（1）