第9.5節(jié)、二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次方程的特征根法一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三*、二階常系數(shù)非齊方程的常數(shù)變易法四、二階常系數(shù)非齊方程的待定系數(shù)法以上方程稱為齊次的.以上方程稱為非齊次的.二階線性微分方程的一般形式:n階線性微分方程:n階常系數(shù)線性微分方程:一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1（齊次方程解的疊加原理）定理2定理3定理4（線性方程解的疊加原理）以上定理可推廣到n階線性微分方程上去。二、二階常系數(shù)齊次方程的特征根法將其代入上方程,得故有(1)的特征方程1、有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為二階常系數(shù)齊次微分方程（p，q為實(shí)常數(shù)）:2、有兩個(gè)相等的實(shí)根有一特解為得齊次方程的通解為特征根為3、有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為兩個(gè)線性無關(guān)的特解：由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征根法.解特征方程為解得故所求通解為例1解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為例4二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.三*、二階常系數(shù)非齊方程的常數(shù)變易法設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為設(shè)(1)對(duì)于二階常系數(shù)微分方程:則則(2)將代入原方程，可得：此時(shí)有：(1),(2)聯(lián)立方程組積分可得得到非齊次方程通解為：解對(duì)應(yīng)齊次線性方程特征方程為:故齊次方程的通解為例5設(shè)則令有代回原方程有：即：得到：解對(duì)應(yīng)齊次線性方程特征方程為:故齊次方程的通解為例6設(shè)則代回原方程有：方程的通解為：得到：即：四、二階常系數(shù)非齊方程的待定系數(shù)法類型1對(duì)于二階常系數(shù)微分方程:解對(duì)應(yīng)齊次線性方程特征方程為:故所求通解為例7比較兩邊系數(shù)得代入原方程得:解對(duì)應(yīng)齊次線性方程特征方程為:故所求通解為例8比較兩邊系數(shù)得解故所求通解為例9對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程類型2解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例10解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例11對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程類型3解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程特征根代入方程,得所以原方程通解為：例12解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為代入方程得所求非齊方程特解為因此原方程通解為例1