一、函數(shù)的奇偶性二、函數(shù)的周期性三、函數(shù)的單調(diào)性四、函數(shù)的有界性第1.3節(jié)、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)偶函數(shù)的圖形一、函數(shù)的奇偶性1.定義：設(shè)函數(shù)f(x)定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,若對x

D,有

f(?x)=f(x)

則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)y=f(x)

f(?x)f(x)

[f(?x)=?f(x)][奇函數(shù)

].奇函數(shù)的圖形2.奇偶函數(shù)判別方法方法二利用運(yùn)算性質(zhì):(1)奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù),

偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);(2)奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù),

偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù),

奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù).方法一利用定義:通過計(jì)算f(?x)=

=?f(x)[或f(x)]則

f(x)是奇(偶)函數(shù)．例1判斷函數(shù)的奇偶性解

函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),且故為奇函數(shù)．注意:(1)常數(shù)函數(shù)

y=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).事實(shí)上,f(x)=[f(x)?f(?x)]+[f(x)+f(?x)］,其中前者為奇函數(shù),后者為偶函數(shù)．(3)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,則f(x)一定可以表示成奇函數(shù)與偶函數(shù)的和．(2)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱,則此函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)通常稱周期函數(shù)的周期是指最小正周期.1.定義

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個正數(shù)T,使得對

x

D,有

(x

T)D,且總有

f(x+T)=f(x)則稱f(x)是周期函數(shù).T稱為f(x)的周期.二、函數(shù)的周期性周期為T的周期函數(shù)例2設(shè)函數(shù)y=f(x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù),證明y=f(ax)(a>0)是以

為周期的周期函數(shù)．解

由

y=f(x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù),有f[a(x+)]]=f(ax+T)=f(ax),所以,y=f(ax)(a>0)是以為周期的周期函數(shù)．2.判別方法方法一利用定義:計(jì)算f(x+T)=

=f(x),則f(x)是以T為周期的函數(shù)．方法二間接法:利用常見周期函數(shù)的周期進(jìn)行判別和計(jì)算．3.常見周期函數(shù)y=sinx,y=cosx的周期為2πy=tanx,y=cotx的周期為πy=|sinx|,y=|cosx|,y=sin2x,y=cos2x的周期均為πy=|tanx|,y=|cotx|的周期為π的周期為2π4.不是所有周期函數(shù)都有最小正周期如常量函數(shù)y=C是一個周期函數(shù),任何正數(shù)

r都是它的周期,但沒有最小正周期.三、函數(shù)的單調(diào)性:1.定義：設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈,區(qū)間I

D,

如果對x1,x2

I,當(dāng)x1<x2時恒有

f(x1)<f(x2)

則稱函數(shù)f(x)在I上單調(diào)增加[f(x1)>f(x2)][單調(diào)減少].例3判斷函數(shù)

f(x)=x2

1的單調(diào)性.解函數(shù)f(x)=x2

1的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),對任意x1,x2

(

,+

),f(x1)

f(x2)=若

x1,x2

(

,0),且

x1<x2,則

f(x1)

f(x2)>0,因此

f(x)=x2

1在區(qū)間(

,0)上單調(diào)減少.若

x1,x2

[0,+

),且

x1<x2,則

f(x1)

f(x2)<0,因此

f(x)=x2

1在區(qū)間[0,+

)上單調(diào)增加.注意:利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)x1>x2,計(jì)算f(x1)

f(x2),若它大于零,則單調(diào)增加；若它小于零,則單調(diào)減少．M

Myxoy=f(x)I有界無界M

MyxoI四、函數(shù)的有界性1.定義：設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈,若I

D,

M>0,對x

I,恒有

|f(x)|M成立,則稱函數(shù)f(x)在I上有界,否則稱為無界.如果存在正數(shù)

M1,對于任意

x

I,恒有f(x)≤M1,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有上界；如果存在正數(shù)

M2,對于任意

x

I,恒有f(x)≥M2,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有下界.2.

函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界的充分必要條件是它在I上既有上界又有下界.3.函數(shù)y=f(x)有界或無界是相對于某個區(qū)間而言的.在區(qū)間(0,1)內(nèi)無界,但在區(qū)間[1,2]上是有界的．

4.在區(qū)間(

∞,+∞)上,恒有|sinx|≤1,|cosx|≤1.例如例4：絕對值函數(shù)x,x0,?x,x<0.y=|x|=y=|x|例5：符號函數(shù)1?1?1,x<0.1,x>0,0,x=0,定義域

D=(?

,+

),值域

Z=[0,+

),y=|x|為偶函數(shù)．定義域D=(?

,+

),值域Z={?1,0,1},y=sgnx為有界奇函數(shù)．例6：狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)(x為有理數(shù))(x為無理數(shù))y=D(x)為偶函數(shù),也是一個周期函數(shù).任何正有理數(shù)r都是它的周期,但沒有最小正周期.1,x

Q,0,x

,定義域

D=(?

,+

),值域

Z={1,0},例7：取整函數(shù)y=[x]表示不超過x的最大整數(shù)階梯曲線y