試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁華東師大三附中2024學(xué)年第三次模擬檢測高三數(shù)學(xué)試題命題：陸敏杰審題：陸小紅時間：120分鐘滿分：150分一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1－6每題4分，7－12每題5分．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得滿分，否則一律得零分．1．已知集合，，則．2．復(fù)數(shù)的虛部是．3．已知，則．4．展開式中的常數(shù)項為.5．若，，且，則的最小值為．6．圓柱的軸截面是邊長為4cm的正方形，則該圓柱的表面積為．7．若向量在向量上的投影向量為，則等于．8．已知某個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)加入一個數(shù)據(jù)，此時這個數(shù)據(jù)的方差為；9．若成等比數(shù)列，則實數(shù).10．過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為．11．修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點A滿足，且AC長度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點A到小島建三段棧道AB、BD與BE，水面上的點B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切點分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個平面上.此外在半圓小島上再修建棧道、以及MN，則需要修建的棧道總長度的最小值為百米.12．已知三棱錐的體積為，，，，與的周長均為10，則．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，13－14每題4分，15－16每題5分，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，填上正確的答案．13．已知，且，則（

）A． B．C． D．14．某校高二級學(xué)生參加期末調(diào)研考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，將考試成績從高到低按照、、、的比例分為、、、四個等級.若小明的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉郑瑒t屬于等級（

）（附：，）A． B． C． D．15．已知是無窮數(shù)列，，則“對任意的、，都有”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16．已知函數(shù)，任取，定義集合：，點，滿足.設(shè)分別表示集合中元素的最大值和最小值，記.則函數(shù)的最小值是（

）A． B．1 C． D．2三、解答題（本大題滿分78分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為上一點．(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)Q為中點時，求點B到平面的距離．18．如圖所示是函數(shù)的圖象，由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)“拼接”而成．(1)已知，求的取值范圍；(2)若方程存在實數(shù)解，求的取值范圍．19．根據(jù)相關(guān)研究報告顯示，預(yù)計年電商交易額突破億元，網(wǎng)購用戶規(guī)模接近億．下表為某網(wǎng)店統(tǒng)計的近個月的利潤（單位：萬元），其中為月份代號．月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月月份代號12345利潤／萬元86.35.13.22.4(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到），判斷是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；若可用，求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并估計年月該網(wǎng)店利潤；若不可用，請說明理由；(2)該專營店為了吸引顧客，推出兩種抽獎方案．方案一：一次性購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折，其余情況不打折．方案二：從裝有個形狀大小、完全相同的小球（其中紅球個，白球個，黑球個）的抽獎盒中，一次性摸出個球，其中獎規(guī)則為：若摸出個紅球和一個白球打六折，摸出個黑球打八折，其余情況不打折．某顧客計劃在此網(wǎng)店購買元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．參考：，，20．已知雙曲線過點，且離心率為．(1)求的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與交于點，若坐標(biāo)原點到的距離為1，求的值；(3)若是上異于點的兩點，且的斜率之和為1，證明：直線過定點．21．定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點”．(1)若與為“契合函數(shù)”，且只有一個“契合點”，求實數(shù)a的取值范圍．(2)若與為“契合函數(shù)”，且有兩個不同的“契合點”．①求b的取值范圍；②證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】直接利用集合并集的運算求解即可.【詳解】因為集合，，所以,故答案為：2．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即得.【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部是.故答案為：3．【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可.【詳解】，故答案為：.4．【分析】利用二項式定理得到展開式的通項公式，求出常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為，令，解得，故，所以展開式中常數(shù)項為.故答案為：.5．2【分析】由基本不等式計算即可求解.【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為2.故答案為：26．【分析】根據(jù)圓柱軸截面可求得圓柱的半徑和高，即可求得圓柱表面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4cm的正方形可知，該圓柱上底面直徑為4cm，半徑為2cm，高為4cm；根據(jù)圓柱表面積公式可得.故答案為：.7．【分析】根據(jù)投影向量的公式運算即可得答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為，所以.故答案為：.8．【分析】根據(jù)平均數(shù)與方程的計算公式直接計算.【詳解】設(shè)初始的個數(shù)據(jù)分別為，，，，則，，加入一個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)，方差為，故答案為：.9．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)運算公式，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，得.故答案為：10．4【分析】由題意可確定當(dāng)最小時，最小，則最小，繼而設(shè)，表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最小值，即可求得答案.【詳解】由題意知的圓心為，半徑為2，如圖，，則，

而，當(dāng)最小時，最小，則最?。挥捎赑在拋物線上，設(shè)，則，當(dāng)時，取最小值8，即取到最小值，則取最小值2，故的最小值為4，故答案為：411．【分析】連接CD，CE，設(shè)，建立出需要修建的棧道的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.【詳解】連接CD，CE，由半圓半徑為1得：.由對稱性，設(shè)，又，，所以，，易知，所以的長為.又，故，故，令且，則，，所以.-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以棧道總長度最小值.故答案為：.12．##【分析】由已知可得在以為焦點的橢球上，由，可知在橢球的截面圓上，設(shè)截面圓的圓心為，進(jìn)而求得截面圓得半徑，根據(jù)為焦點過的橢圓方程計算求得點坐標(biāo)，利用兩角和的正切公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】因為，與的周長均為10，所以=6，=6，所以在以為焦點的橢球上，因為，所以在橢球的截面圓上，設(shè)截面圓的圓心為，則，所以三棱錐的體積為，所以，又因為，所以，解得：，由題意，設(shè)以為焦點過的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)代入解得，所以.故答案為：13．C【分析】對選項逐一判斷，不正確的舉反例，正確的加以說明即可．【詳解】對于A選項：舉反例可知不成立；對于B選項：舉反例可知不成立；對于C選項：，因為，所以，而且不同時為0，故，即，正確；對于D選項：舉反例可知不成立；故選：C．14．B【分析】計算出、的值，結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，，則，所以，，因為，故小明屬于等級.故選：B.15．A【分析】利用等差數(shù)列的定義、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出合適的選項.【詳解】若對任意的、，都有，不妨取，則，所以，，此時，是等差數(shù)列，即“對任意的、，都有”“是等差數(shù)列”；若是等差數(shù)列，不妨取，則，，即“對任意的、，都有”“是等差數(shù)列”.綜上所述，“對任意的、，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.16．B【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)的位于不同的位置，即可分情況求解.【詳解】如圖所示，的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為，點,當(dāng)點在點時，點在曲線上，，當(dāng)點在曲線上從接近時，減小，所以逐漸增大；當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，減小，逐漸減小，當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，增大,逐漸增大，當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，增大,逐漸見減小，當(dāng)點在點時，,綜上可得的最小值是1故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)點的位置變化，分別求解的值.17．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）通過證明和得出平面，再由直線在面內(nèi)，即可得出面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點坐標(biāo)，得出對應(yīng)的向量和平面的法向量，即可求出點B到平面的距離.【詳解】（1）由題意證明如下，∵四邊形是正方形，∴．∵平面平面，所以∴．平面，平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）由題意及（1）得，在正方形中，,在四棱錐中，，平面，Q為中點，面，面，,∴，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示．所以，設(shè)平面的法向量為，則得當(dāng)時，則，設(shè)點B到平面的距離為，，則．18．(1)(2)【分析】（1）將點的坐標(biāo)分別代入函數(shù)、的解析式，求出、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的定義域、單調(diào)性結(jié)合可得出關(guān)于的不等式組，由此可求得實數(shù)的取值范圍；（2）分析可知的取值范圍即為函數(shù)的值域，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可得，解得，故.因為函數(shù)在上嚴(yán)格減，由可得，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.（2）因為方程存在實數(shù)解，即方程存在實數(shù)解，則的取值范圍即為函數(shù)的值域，由題圖可知，函數(shù)的值域為，故函數(shù)的值域為，所以，即，解得或，因此，實數(shù)的取值范圍是.19．(1)可以，萬元(2)選擇方案二【分析】（1）求出、的值，將數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式，求出的值，可得出結(jié)論，再將代入經(jīng)驗回歸方程，可得出結(jié)果；（2）計算出方案一、二中實際付款金額，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，，，，，所以，，因為接近于，所以可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，，則，所以，關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，將代入經(jīng)驗回歸方程為，故估計年月該網(wǎng)點利潤估計知為萬元.（2）設(shè)方案一的中獎次數(shù)為，由題意可知，實際付款金額為萬元，則的可能取值有、、、，則，，，，故，設(shè)方案二實際付款金額為萬元，由題意可知，的可能取值有、、，，，，故因為，所以，從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇方案二更優(yōu)惠.20．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率得，再根據(jù)雙曲線所過的點求出基本量后可得雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為，由已知距離得，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理可求，故可求；（3）法1：設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后消元，再結(jié)合韋達(dá)定理化簡斜率之和得直線參數(shù)關(guān)系，從而可求定點；法2：平移雙曲線圖象，使點平移到坐標(biāo)原點，設(shè)平移后的直線的方程為：，齊次化后結(jié)合斜率為1可得參數(shù)關(guān)系，從而可求出原直線所過的定點.【詳解】（1）由，得，則雙曲線的方程為，將點代入的方程中，得．解得，故，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，因為點到直線的距離為1，作出簡圖如下所示，所以，即．設(shè)，，由于直線與交于點，所以，聯(lián)立整理得．則，，且，故，所以，則．故．（3）法一：當(dāng)直線的斜率為0時，可設(shè)其方程為，則，，則即，又在雙曲線上，所以，聯(lián)立可得，所以或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，舍去，故此時直線的方程為．當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，其則，且而，化簡得．代入（※）式，得，即，所以或．（?。┊?dāng)時，的方程為，此時直線過定點．（ⅱ）當(dāng)時，的方程為，此時直線過定點，與是雙曲線上異于的兩點矛盾，故舍去．綜上，直線過定點．法二：平移雙曲線圖象，使點平移到坐標(biāo)原點，可得雙曲線方程：，化簡得．設(shè)平移后的直線的方程為：，，，所以，整理得，即，所以，即，對比可得平移后的直線過定點．所以直線過定點．21．(1)；(2)①；②證明見解析.【分析】（1）由給定的定義把問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一零點，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）①根據(jù)給定的定義將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的零點求解；②由①中信息，利用極值點偏移求解.【詳解】（1）由與為“契合函數(shù)”，得，使，令，依題意，方程有唯一解，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，