試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上外附屬大境中學2024-2025學年第二學期高三年級數(shù)學三模2025.5一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．若集合，或，則.2．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則.3．不等式的解集為．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則.5．某研究所收集、整理數(shù)據(jù)后得到如下列表：x23456y3791011由兩組數(shù)據(jù)可以得到線性回歸方程為，則．6．已知隨機變量服從二項分布，若，，則的值為.7．已知一個隨機變量的分布列為，若是，的等差中項，則.8．艾賓浩斯遺忘曲線描述了人類大腦對新鮮事物遺忘的規(guī)律．基于此，某課題小組研究發(fā)現(xiàn)，在學習課程后每經(jīng)過一個星期，會遺忘掉所記憶內容的．為使得所記憶的內容不低于原來的，最多在個星期之后對所學內容進行復習，則．（，）9．已知橢圓的右焦點為，直線經(jīng)過橢圓右焦點，交橢圓于兩點（點在第二象限），若點關于軸對稱點為，且滿足，求直線的方程是．10．球O是棱長為1的正方體的外接球，則球O的內接正四面體體積為.11．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點均在雙曲線Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為．12．函數(shù)的表達式為，如果且，則abc的取值范圍為．二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件14．若圓和圓沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．15．某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．16．若從無窮數(shù)列中任取若干項（其中）都依次為數(shù)列中的連續(xù)項，則稱是的“衍生數(shù)列".給出以下兩個命題:（1）數(shù)列是某個數(shù)列的“衍生數(shù)列”；（2）若各項均為0或1，且是自身的“衍生數(shù)列”，則從某一項起為常數(shù)列.下列判斷正確的是（

）.A．（1）（2）均為真命題B．（1）（2）均為假命題C．（1）為真命題，（2）為假命題D．（1）為假命題，（2）為真命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過點作一平面與垂直，分別交于點．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．18．已知．(1)無窮等比數(shù)列的首項，公比．求的值．(2)無窮等差數(shù)列的首項，公差．求的通項公式和．19．火車晚點是人們在旅行過程中最常見的問題之一，針對這個問題，許多人都會打電話進行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.60059243837.293.8(1)求關于的經(jīng)驗回歸方程；若預計2024年火車的正點率為，試估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；(2)根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標準，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機抽取3年，記其中評價“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，20．已知拋物線，在上有一點位于第一象限，設的縱坐標為.(1)若到拋物線準線的距離為3，求的值；(2)當時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；(3)直線，是第一象限內上異于的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為.若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍.21．若函數(shù)和同時滿足下列條件：①對任意，都有成立；②存在，使得，則稱函數(shù)為的“函數(shù)”，其中稱為“點”.(1)已知圖像為一條直線的函數(shù)是的“函數(shù)”，請求出所有的“點”；(2)設函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點”組成集合；函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點”組成集合.試證明：“函數(shù)為的‘函數(shù)’”的一個充分必要條件是“”；(3)記（為自然對數(shù)的底數(shù)），，若為的“函數(shù)”，且“點”，求實數(shù)的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)交集的定義計算．【詳解】由題意，故答案為：．2．【分析】由復數(shù)乘法運算法則可得，代入模長公式可得.【詳解】由可得，所以.故答案為：3．【分析】去絕對值直接求解即可.【詳解】由，可得：，解得：，所以原不等式的解集為：，故答案為：4．【分析】首先表示出雙曲線的漸近線方程，即可得到方程，解得即可.【詳解】雙曲線的漸近線為，依題意，解得.故答案為：5．0.4【分析】求出樣本中心點，代入回歸方程即可求解【詳解】根據(jù)題意可得，，，又，所以故答案為：6．##【分析】根據(jù)題意，由二項分布的期望方差公式，即可得到結果.【詳解】因為隨機變量服從二項分布，則，，解得.故答案為：7．【分析】根據(jù)分布列的性質及等差中項即可求.【詳解】由題可知，，解得，故答案為:.8．【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，兩邊取對數(shù)得，根據(jù)對數(shù)運算性質解不等式求解.【詳解】根據(jù)題意一個星期后，記憶內容剩余；二個星期后，記憶內容剩余；個星期后，記憶內容剩余，為使得所記憶的內容不低于原來的，則有，為增函數(shù)，對上式兩邊取對數(shù)有，，，又因為，所以，即，，，，所以最多在10個星期之后對所學內容進行復習.故答案為：9．【分析】根據(jù)對稱性求出傾斜角，由點斜式可得方程.【詳解】由對稱性可知，直線與軸的夾角相等，又，所以直線的傾斜角為，故斜率為，由點斜式得方程為，即.故答案為：10．【分析】將正四面體補形為正方體，利用正四面體和正方體有同一外接球求解即可.【詳解】如圖，正四面體可以補形為正方體，可知圖中正四面體和正方體有同一外接球，即球O是棱長為1的正方體的外接球也是圖中正四面體的外接球，因為正方體棱長為1，則體積為1，可得正四面體體積為正方體體積去掉四個角上的三棱錐體積，即球O的內接正四面體體積為.故答案為：.11．.【分析】取P2的對稱點P3（x2，﹣y2），結合，可得，然后可得漸近線夾角∠MON≤90°，代入漸近線斜率計算即可求得．【詳解】設P2關于軸的對稱點P3（x2，﹣y2）仍在雙曲線右支，由，得，即恒成立，∴∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，∴其中一條漸近線的斜率，∴a≥1，所以實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：[1，+∞）．12．【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令，可得的范圍，則的三個根為，從而可得，右邊去括號即可得解.【詳解】，當或時，，當時，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則函數(shù)的極大值為，極小值為，作出函數(shù)的大致圖象，若且，令，則，即的三個根為，即，又，所以.故答案為：.13．B【分析】根據(jù)充分、必要條件結合不等式性質理解判斷.【詳解】若且，例如滿足條件，但不滿足若，則，且∴“且”是“”的必要不充分條件故選：B.14．D【分析】求出兩圓的圓心坐標與半徑，再由圓心距與半徑間的關系列式求解．【詳解】化圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，則k＞﹣25，圓心坐標為（3，4），半徑為，圓C1：x2+y2＝1的圓心坐標為（0，0），半徑為1．要使圓C1：x2+y2＝1和圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0沒有公共點，則|C1C2|或|C1C2|，即5或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴實數(shù)k的取值范圍是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故選：D．【點睛】本題考查圓與圓位置關系的判定及應用，考查數(shù)學轉化思想方法，考查計算能力，是基礎題．15．D【分析】計算對立事件的概率，從下雨次數(shù)入手，分類討論計算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率為：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.16．B【分析】通過“衍生數(shù)列”的定義判斷（1）；通過舉反例判斷（2）.【詳解】對于（1）：由題意，若存在無窮數(shù)列滿足要求，則數(shù)列包含三項，不妨令，符合題意，但若只取出，這兩項不是數(shù)列的連續(xù)兩項，不合題意，故數(shù)列不是某個數(shù)列的“衍生數(shù)列”，（1）為假命題；對于（2）：定義，，當數(shù)列按照集合的元素特征進行排序，例如時，滿足各項均為0或1，任意n個0和1的組合均為集合的元素，即在數(shù)列中均有對應，可知是自身的“衍生數(shù)列”，但是數(shù)列從某一項起不是常數(shù)列，（2）為假命題.綜上，（1）（2）均為假命題.故選：B【點睛】方法點睛：與數(shù)列的新定義有關的問題的求解策略：①通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；②遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用線面垂直的判定定理和性質得到，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）方法一：通過作垂線的方法得到垂線段的長度即為點到平面的距離，然后求距離即可；方法二：利用等體積的方法求點到面的距離即可.【詳解】（1）證明：如圖①，，，，，，，

如圖②，∵，，，，，，且，平面，平面，又平面，，平面，且平面，，又，且平面，平面．（2）

方法一：過點作，垂足為，由（1）知平面，而平面，，且，平面，平面，則垂線段的長度即為點到平面的距離．在中，，，，，，由已知得，則，由（1）知，，，即點到平面的距離為．方法二：求點到平面的距離，即求點到平面的距離，由（1）知平面，平面，，在直角三角形中，，，，由等面積得，，即，，平面，且平面，，由（1）知，∽，，則在直角三角形中，，設點到平面的距離為，在三棱錐中，由等體積得，，即，，即點到平面的距離為．18．(1)5(2)，．【分析】（1）先求出展開式的通項，從而可求出等比數(shù)列的首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得解；（2）先求出等差數(shù)列的首項和公差，進而可求出等差數(shù)列的通項，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可得解.【詳解】（1）二項式展開式的通項公式為：，因為，所以，所以,故；（2）由（1）知，等差數(shù)列首項，公差，所以等差數(shù)列的通項公式為，等差數(shù)列的前項和為．19．(1)，20次；(2)分布列見解析，.【分析】（1）應用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應用超幾何概率公式求對應概率，即得分布列，進而求期望.【詳解】（1）由題設，，則，所以，所以；當時，代入，得到，所以2024年顧客對該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.（2）由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，，，，012所以.20．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出點的橫坐標，代入拋物線方程即可求解；（2）先通過中點在拋物線上求出點的坐標，進一步求出直線方程，利用點到直線距離公式求解即可；（3）設，聯(lián)立方程求出點Q的坐標，根據(jù)恒成立，結合基本不等式即可求解.【詳解】（1）拋物線的準線為，由于到拋物線準線的距離為3，則點的橫坐標為2，則，解得；（2）當時，點的橫坐標為，則，設，則的中點為，由題意可得，解得，所以，則，由點斜式可得，直線的方程為，即，所以原點到直線的距離為；（3）如圖，

設，則，故直線的方程為，令，可得，即，則，依題意，恒成立，又，則最小值為，即，即，則，解得，又當時，，當且僅當時等號成立，而，即當時，也符合題意.故實數(shù)的取值范圍為.21．(1)；(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）取，，滿足要求；（2）先得到任意，成立，①成立，再證明出充分性和必要性，得到結論；（3）求導得到的單調性和最值，分，和三種情況，得到實數(shù)的最大值.【詳解】（1）取，，此時，，故函數(shù)是的“函數(shù)”，“點”為；（2）為的“函數(shù)”，其“點”組成集合，故，設，函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點”