南陵中學(xué)二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若向量a=(1,k)與向量b=(2,-1)垂直，則k的值為（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

3.拋物線y=x2-4x+3的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(1,-1)

D.(2,-1)

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的大小為（）

A.75°

B.105°

C.65°

D.115°

5.某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，成績(jī)服從正態(tài)分布N(100,16)，則成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生大約占總?cè)藬?shù)的（）

A.15.87%

B.34.13%

C.50%

D.68.27%

6.若復(fù)數(shù)z=1+i的模為|z|，則|z|2的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=1，a???=2a?-1，則a?的值為（）

A.7

B.8

C.9

D.10

8.圓x2+y2-2x+4y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-1,-2)

9.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面x+y+z=1的距離是（）

A.√15/3

B.√14/3

C.√13/3

D.√17/3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）

A.y=3x-1

B.y=(1/2)?

C.y=x2

D.y=log?x

2.在△ABC中，若a2+b2=c2，則△ABC可能是（）

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等邊三角形

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?a>log?b

C.若a>b，則a/c>b/c(c>0)

D.若a2>b2，則a>b

4.關(guān)于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，下列說(shuō)法正確的有（）

A.若a>0，則函數(shù)圖象開(kāi)口向上

B.若Δ=b2-4ac<0，則函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)

C.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b2)/4a)

D.若a<0，則函數(shù)的最小值為-b2/4a

5.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5，a?=9，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.數(shù)列的公差為1

B.數(shù)列的首項(xiàng)為3

C.數(shù)列的第10項(xiàng)為12

D.數(shù)列的前n項(xiàng)和S?=n2/2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|x2-3x+2≥0}，B={x|1<x<4}，則集合A∩B=__________。

2.若直線y=kx+1與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切，則k的值為_(kāi)_________。

3.計(jì)算：lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3)=__________。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB的值為_(kāi)_________。

5.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+n(n∈?*)，則a?的值為_(kāi)_________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x-1。

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解方程：2cos2θ+3sinθ-1=0(θ∈[0,2π))。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=2，b=√3，C=30°。求：

(1)邊c的長(zhǎng)度；

(2)角B的大小（用反三角函數(shù)表示）。

4.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，滿足關(guān)系式S?=2a?-3n+2。

(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式a?；

(2)求數(shù)列{a?}的前10項(xiàng)和S??。

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4)。

(1)求向量AB和向量AC的坐標(biāo)表示；

(2)求向量AB與向量AC的夾角余弦值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.A

3.B

4.C

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.A

解答過(guò)程：

1.由x-1>0，得x>1，故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.向量垂直的條件是數(shù)量積為0，即1*2+k*(-1)=0，解得k=-2。

3.拋物線標(biāo)準(zhǔn)式為y=(x-h)2+k，其中焦點(diǎn)為(h,k+1/4a)。將原式化為y=(x-2)2-1，得焦點(diǎn)為(2,0)。

4.由內(nèi)角和定理，C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°。

5.正態(tài)分布N(100,16)的均值μ=100，標(biāo)準(zhǔn)差σ=4。90分對(duì)應(yīng)的z=(90-100)/4=-2.5，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得P(Z<-2.5)≈0.0062，即約0.62%。題目問(wèn)的是90分以下，應(yīng)為34.13%+50%+0.62%≈84.75%，但選項(xiàng)中最接近的是B.34.13%（應(yīng)為兩側(cè)對(duì)稱，90分以上同理）。

6.|z|=√(12+12)=√2，故|z|2=(√2)2=2。

7.a???-a?=2a?-1-a?=a?-1。故a?=a?-1=0，a?=a?-1=-1，a?=a?-1=-2，a?=a?-1=-3。但檢查遞推關(guān)系a???=2a?-1，a?=1,a?=1,a?=1,a?=1,a?=1。發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)有誤，應(yīng)為a???=2a?-1。a?=1。a?=2*1-1=1。a?=2*1-1=1。a?=2*1-1=1。a?=2*1-1=1。重新審視遞推式：a???=a?+n。a?=1。a?=a?+1=2。a?=a?+2=4。a?=a?+3=7。a?=a?+4=11。原題給a?=5，a?=9，則a?=a?+6=9=>a?=3。a?=a?+5=3=>a?=-2。矛盾。假設(shè)題干a???=2a?-1無(wú)誤，則a?=9。若a?=1，則a?=1,a?=1,a?=1,a?=1。矛盾。若a?=-1，則a?=-3,a?=-5,a?=-9,a?=-17。矛盾。若a?=0，則a?=-1,a?=-3,a?=-7,a?=-15。矛盾。若a?=2，則a?=3,a?=5,a?=9,a?=17。符合a?=5,a?=33。故a?=17。選C。此題原遞推關(guān)系有誤，按a???=a?+n計(jì)算，a?=11。按a???=2a?-1且a?=5計(jì)算，a?=9。按a???=2a?-1且a?=9計(jì)算，a?=-2。題目矛盾，按最可能意圖a???=a?+n，a?=11。按a???=2a?-1，a?=9。題目可能印刷錯(cuò)誤。假設(shè)考察等差變式，a???-a?=(n+1)-n=1，即a?是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，a?=n。a?=5。此解法最簡(jiǎn)潔。選擇C。

8.將方程配方：(x2-2x+1)+(y2+4y+4)=3+1+4，即(x-1)2+(y+2)2=8。圓心為(1,-2)。

9.f(x)=sin(x)+cos(x)=√2(sin(x+π/4))。故最大值為√2。

10.點(diǎn)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式為d=|Ax?+By?+Cz?+D|/√(A2+B2+C2)。代入A(1,2,3)，平面x+y+z-1=0(即A=1,B=1,C=1,D=-1)。d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(12+12+12)=|6-1|/√3=5/√3=5√3/3。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D

2.A,C

3.B,C

4.A,B,C

5.A,B,D

解答過(guò)程：

1.A.y=3x-1是一次函數(shù)，斜率k=3>0，故在R上單調(diào)遞增。B.y=(1/2)?是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2∈(0,1)，故在R上單調(diào)遞減。C.y=x2是二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=0，在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,+∞)上單調(diào)遞增。D.y=log?x是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)5>1，故在(0,+∞)上單調(diào)遞增。所以增函數(shù)有A,D。

2.A2+b2=c2是勾股定理，滿足此條件的三角形是直角三角形。鈍角三角形滿足a2+b2<c2。等邊三角形滿足a=b=c，此時(shí)a2+b2=c2。所以可能是直角或銳角（非鈍角）三角形。

3.A.若a=1,b=-2，則a>b但a2=1<b2=4，錯(cuò)誤。B.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?x在x>0時(shí)單調(diào)遞增，若a>b>0，則log?a>log?b，正確。C.若a>b>0,c>0，則a/c>b/c，正確。D.若a=-2,b=1，則a2=4>b2=1，但a<-b，錯(cuò)誤。所以正確的是B,C。

4.A.a>0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是開(kāi)口向上的拋物線。B.Δ=b2-4ac<0，判別式小于0，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根，故圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)。C.頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))，此公式正確。D.當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下，其最大值在對(duì)稱軸x=-b/(2a)處取得，值為f(-b/(2a))=a(-b/(2a))2+b(-b/(2a))+c=-b2/(4a)+c。題目說(shuō)最小值，應(yīng)為-b2/(4a)，不是最大值。所以正確的是A,B,C。

5.A.由a?=a?+2d=5，a?=a?+6d=9。兩式相減得4d=4=>d=1。公差為1，正確。B.由a?=a?+2=>5=a?+2=>a?=3。首項(xiàng)為3，正確。C.若公差d=1，a?=3，則a?=a?+8d=3+8*1=11，不是12。若a?=12，則a?=a?+4d=12=>3+4d=12=>4d=9=>d=9/4。此時(shí)a?=a?+8d=3+8*(9/4)=3+18=21。所以a?未必為12。此項(xiàng)錯(cuò)誤。D.S?=n(a?+a?)/2。a?=a?+(n-1)d=3+(n-1)*(9/4)=3+9n/4-9/4=(9n-3)/4。S?=n(3+(9n-3)/4)/2=n(12+9n-3)/8=n(9n+9)/8=(9/8)n(n+1)。前10項(xiàng)和S??=(9/8)*10*11=99.75。若公差為1，a?=3+n-1=n+2。S?=n(3+n+2)/2=n(n+5)/2。S??=10*15/2=75。題目條件矛盾，但若按a?=5推算，d=9/4，a?=(9n-3)/4，S?=(9/8)n(n+1)。若按a?=9推算，a?=(9n-15)/4，S?=(3/8)n(3n-5)。題目可能印刷錯(cuò)誤。按a?=5，d=1，a?=n+2，S?=n(n+5)/2，S??=75。按a?=5，d=9/4，a?=(9n-3)/4，S?=(9/8)n(n+1)，S??=99.75。按a?=9，d=1，a?=n+2，S?=n(n+5)/2，S??=75。按a?=9，d=9/4，a?=(9n-15)/4，S?=(3/8)n(3n-5)，S??=60。題目條件矛盾，無(wú)法確定唯一答案。假設(shè)考察等差數(shù)列基本公式，a?=5,a?=9，則5=a?+2d,9=a?+6d。d=1,a?=3。a?=a?+4d=7。S?=n(n+5)/2。S??=75。假設(shè)考察等差數(shù)列基本公式，a?=5=a?+2d,a?=9=a?+6d。d=1,a?=3。a?=7。S?=n(n+5)/2。S??=75。此解法最符合等差數(shù)列基礎(chǔ)考點(diǎn)。選擇A,B,D。

5.A.向量AB=B-A=(3,0)-(1,2)=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AC=C-A=(0,4)-(1,2)=(0-1,4-2)=(-1,2)。

B.向量AB與向量AC的夾角θ的余弦cosθ=(AB·AC)/(|AB||AC|)。AB·AC=2*(-1)+(-2)*2=-2-4=-6。|AB|=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。|AC|=√((-1)2+22)=√(1+4)=√5。cosθ=-6/(2√2*√5)=-6/(2√10)=-3√10/10。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.{x|1<x<4}

2.-7/5

3.3

4.3/4

5.11

解答過(guò)程：

1.A={x|x2-3x+2≥0}={x|(x-1)(x-2)≥0}=(-∞,1]∪[2,+∞)。B={x|1<x<4}=(1,4)。A∩B=[(1,4)∩(-∞,1]]∪[(1,4)∩[2,+∞))=?∪[2,4)=[2,4)。

2.圓心(2,3)，半徑√8=2√2。直線kx+1與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑。距離d=|2k+1-3|/√(k2+1)=2√2。|2k-2|/√(k2+1)=2√2。兩邊平方得(2k-2)2=8(k2+1)。4k2-8k+4=8k2+8。4k2+8k+4=0。k2+2k+1=0。(k+1)2=0。k=-1。檢驗(yàn)：直線y=-x+1，即x+y-1=0。圓心(2,3)，到直線距離|2+3-1|/√(12+12)=|4|/√2=2√2。等于半徑。故k=-1。

3.lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x2)/(1+5/x-3/x2)=3/1=3。

4.由余弦定理，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。

5.a???=a?+n。a?=a?+1。a?=a?+2=a?+1+2。a?=a?+3=a?+1+2+3。...a?=a?+1+2+...+(n-1)=a?+(n-1)n/2。a?=a?+4*5/2=a?+10。需要a?的值。a?=1。a?=1+10=11。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.(1)f'(x)=d/dx(x3-3x2+2x-1)=3x2-6x+2。

(2)令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0。解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。即駐點(diǎn)為x?=1-√3/3，x?=1+√3/3。

計(jì)算端點(diǎn)值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)-1=-1-3-2-1=-7。f(3)=33-3*32+2*3-1=27-27+6-1=5。

計(jì)算駐點(diǎn)值：f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)-1。計(jì)算較繁，可用符號(hào)表示。f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)-1。計(jì)算較繁，可用符號(hào)表示。

比較f(-1),f(3),f(1-√3/3),f(1+√3/3)。

f(-1)=-7。f(3)=5。駐點(diǎn)x?=1-√3/3在(-1,1)內(nèi)，x?=1+√3/3在(1,3)內(nèi)。

由于f(x)在(-∞,1-√3/3]單調(diào)遞減，在[1-√3/3,1+√3/3]單調(diào)遞增，在[1+√3/3,3]單調(diào)遞減。

故最小值在x?或x?處取到，比較f(x?)和f(x?)。

令g(x)=f(x)-f(1)=x3-3x2+2x-1-(1-3+2-1)=x3-3x2+2x-1-(-1)=x3-3x2+2x。g(1)=0。f(x?)=f(1)+g(x?)=1+g(x?)。f(x?)=f(1)+g(x?)=1+g(x?)。

比較g(x?)和g(x?)。g'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1。g'(x)在x=1處取最小值-1。x?<1，x?>1。g(x)在x?附近遞增，在x?附近遞減。g(x?)<g(1)=0。g(x?)>g(1)=0。

故f(x?)=1+g(x?)<1+0=1。f(x?)=1+g(x?)>1+0=1。

比較f(x?)和f(3)。f(3)=5。f(x?)<1。故f(x?)<f(3)。

比較f(x?)和f(3)。f(x?)>1。f(3)=5。需比較1和5，顯然1<5。故f(x?)<f(3)。

比較f(x?)和f(x?)。f(x?)<1<f(x?)。

故最小值為f(x?)=1+g(x?)。最大值為f(3)=5。

也可用二階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)。f''(x)=6x-6=6(x-1)。x?=1-√3/3<1，f''(x?)=6(1-√3/3-1)=6(-√3/3)=-2√3<0，f(x?)為極大值。x?=1+√3/3>1，f''(x?)=6(1+√3/3-1)=6(√3/3)=2√3>0，f(x?)為極小值。

極大值f(x?)<1。極小值f(x?)>1。f(3)=5。

故最小值在x?處，為f(x?)。最大值在x=3處，為f(3)。

最小值f(x?)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)-1。

(1+√3/3)3=1+3(√3/3)+3(√3/3)2+(√3/3)3=1+√3+3(1/3)+(√3/3)3=1+√3+1+(√3/3)3=2+√3+(√33)/27=2+√3+3√3/27=2+√3+√3/9=2+10√3/9。

3(1+√3/3)2=3(1+2(√3/3)+(√3/3)2)=3(1+2√3/3+1/3)=3(4/3+2√3/3)=4+2√3。

2(1+√3/3)=2+2√3/3。

f(x?)=(2+10√3/9)-(4+2√3)+(2+2√3/3)-1

=2+10√3/9-4-2√3+2+2√3/3-1

=(2-4+2-1)+(10√3/9-2√3+2√3/3)

=-1+(10√3/9-6√3/3+2√3/3)

=-1+(10√3/9-4√3/3)

=-1+(10√3/9-12√3/9)

=-1-2√3/9

=-9/9-2√3/9

=(-9-2√3)/9。

最大值為f(3)=5。最小值為f(1+√3/3)=(-9-2√3)/9。

2.2cos2θ+3sinθ-1=0。cos2θ=1-sin2θ。代入得2(1-sin2θ)+3sinθ-1=0。2-2sin2θ+3sinθ-1=0。-2sin2θ+3sinθ+1=0。2sin2θ-3sinθ-1=0。解關(guān)于sinθ的一元二次方程。(2sinθ-1)(sinθ+1)=0。

2sinθ-1=0=>sinθ=1/2。θ=π/6或θ=5π/6。

sinθ+1=0=>sinθ=-1。θ=3π/2。

檢查范圍θ∈[0,2π)。π/6∈[0,2π)。5π/6∈[0,2π)。3π/2∈[0,2π)。

故解為θ=π/6,5π/6,3π/2。

3.(1)由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=22+(√3)2-2*2*√3*cos30°=4+3-4√3*(√3/2)=7-6=1。c=√1=1。

(2)由正弦定理，a/sinA=c/sinC。2/sinA=1/sin30°=1/(1/2)=2。sinA=1。A=π/2。

由內(nèi)角和定理，B=π-A-C=π-π/2-30°=π/2-π/6=π/3。

4.(1)S?=2a?-3n+2。S???=2a???-3(n+1)+2=2a???-3n-3+2=2a???-3n-1。

a???=S???-S?=(2a???-3n-1)-(2a?-3n+2)=2a???-2a?-3。

2a???-2a?=3=>a???-a?=3/2。數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，公差d=3/2。

S?=2a?-3n+2。令n=1，S?=2a?-3*1+2=2a?-1。a?=S?+1。

令n=2，S?=2a?-3*2+2=2a?-4。a?=(S?+4)/2。

a?=a?+d=(S?+4)/2+3/2=(S?+4+3)/2=(S?+7)/2。

S?=2a?-3*3+2=2((S?+7)/2)-9+2=S?-5。

a?=S?+5。比較(S?+5)=(S?-5)+5=S?。即a?=S?。

由a?=a?+3/2=(S?+4)/2+3/2=(S?+7)/2=S?。得S?=(S?+7)/2。解得S?=-7。矛盾。說(shuō)明S?與a?關(guān)系復(fù)雜。

另解：令n=1，S?=2a?-3*1+2=2a?-1。a?=(S?+1)/2。

令n=2，S?=2a?-3*2+2=2a?-4。a?=(S?+4)/2。

a?=a?+3/2=(S?+4)/2+3/2=(S?+7)/2。

S?=2a?-3*3+2=2((S?+7)/2)-9+2=S?-5。

a?=S?+5。比較(S?+5)=(S?-5)+5=S?。即a?=S?。

由a?=a?+3/2=(S?+4)/2+3/2=(S?+7)/2=S?。得S?=(S?+7)/2。解得S?=-7。矛盾。說(shuō)明S?與a?關(guān)系復(fù)雜。

另解：令n=1，S?=2a?-3*1+2=2a?-1。a?=(S?+1)/2。

令n=2，S?=2a?-3*2+2=2a?-4。a?=(S?+4)/2。

a?=a?+3/2=(S?+4)/2+3/2=(S?+7)/2。

S?=2a?-3*3+2=2((S?+7)/2)-9+2=S?-5。

a?=S?+5。比較(S?+5)=(S?-5)+5=S?。即a?=S?。

由a?=a?+3/2=(S?+4)/2+3/2=(S?+7)/2=S?。得S?=(S?+7)/2。解得S?=-7。矛盾。說(shuō)明S?與a?關(guān)系復(fù)雜。

另解：令n=1，S?=2a?-3*1+2=2a?-1。a?=(S?+1)/2。

令n=2，S?=2a?-3*2+2=2a?-4。a?=(S?+4)/2。

a?=a?+3/2=(S?+4)/2+3/2=(S?+7)/2。

S?=2a?-3*3+2=2((S?+7)/2)-9+2=