南京市高考三模數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

2.若復數(shù)z滿足|z-1|=1，則z的模的最大值是？

A.1

B.2

C.√2

D.√3

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=2，a_3=6，則S_5的值為？

A.20

B.30

C.40

D.50

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最小正周期是？

A.2π

B.π

C.2π/3

D.π/3

5.已知直線l：y=kx+b與圓C：x^2+y^2=1相交于兩點A、B，且AB的長度為√2，則k的值為？

A.±1

B.±√2

C.±√3

D.0

6.若函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且極值為0，則a+b的值為？

A.3

B.4

C.5

D.6

7.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的體積為？

A.√3

B.√6

C.2√3

D.2√6

8.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(-1,1)上的零點個數(shù)是？

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為？

A.-7/5

B.-7/13

C.7/13

D.1/5

10.已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的離心率為√3/2，且焦點到長軸的距離為1，則橢圓C的短軸長為？

A.1

B.√3

C.2

D.2√3

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則下列關于函數(shù)f(x)的說法正確的有？

A.函數(shù)f(x)在x=-2處取得最小值

B.函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值

C.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

2.已知函數(shù)g(x)=sin^2(x)+cos^2(x)-2sin(x)cos(x)，則下列關于函數(shù)g(x)的說法正確的有？

A.函數(shù)g(x)的最小正周期是π

B.函數(shù)g(x)的圖像關于y軸對稱

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間(-π/4,π/4)上是增函數(shù)

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間(π/4,3π/4)上是減函數(shù)

3.已知直線l1：x+2y-1=0與直線l2：ax-y+3=0平行，則實數(shù)a的值可以是？

A.-1/2

B.1/2

C.2

D.-2

4.已知圓C1：x^2+y^2=4與圓C2：x^2+y^2-6x+8y-11=0相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程為？

A.x+2y-1=0

B.x-2y+1=0

C.2x+y-3=0

D.2x-y+3=0

5.已知函數(shù)h(x)=x^3-ax^2+bx-1，若存在實數(shù)a、b使得函數(shù)h(x)在x=1處取得極值，且在x=2處取得零點，則下列關于實數(shù)a、b的說法正確的有？

A.a=5

B.b=-6

C.a=4

D.b=-5

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=3，S_3=9，則該等比數(shù)列的公比q的值為______。

2.函數(shù)f(x)=x^2-2x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值是______，最小值是______。

3.已知向量a=(1,k)，向量b=(2,-1)，若向量a與向量b垂直，則實數(shù)k的值為______。

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，則兩次拋擲所得點數(shù)之和為5的概率是______。

5.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓C的圓心坐標是______，半徑是______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知函數(shù)g(x)=2sin(x)cos(x)-cos(2x)，求函數(shù)g(x)的最小正周期，并判斷其奇偶性。

3.已知直線l1：y=kx+1與直線l2：x+y=1相交于點P，且點P的橫坐標為2，求實數(shù)k的值。

4.已知圓C1：x^2+y^2=1與圓C2：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交，求兩圓的公共弦所在直線的方程。

5.已知函數(shù)h(x)=x^3-ax^2+bx-1，若函數(shù)h(x)在x=1處取得極值，且在x=2處取得零點，求實數(shù)a、b的值。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，則a必須滿足0<a<1。因為對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)a的正負和大小有關，當?shù)讛?shù)a在(0,1)區(qū)間內(nèi)時，對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減的。

2.B

解析：復數(shù)z滿足|z-1|=1表示復數(shù)z在復平面上到點(1,0)的距離為1的點的集合，即以(1,0)為圓心，半徑為1的圓。z的模的最大值發(fā)生在圓的最右側的點，即(2,0)，其模為2。

3.B

解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_1=2，a_3=6，則公差d=(a_3-a_1)/(3-1)=4/2=2。S_5=5*a_1+5*(5-1)/2*d=5*2+10*2=30。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)可以化簡為f(x)=√3/2*sin(x)+1/2*sin(x)+1/2*cos(x)-√3/2*cos(x)=sin(x)*(√3/2+1/2)+cos(x)*(1/2-√3/2)=sin(x+π/3)。因此，其最小正周期為π。

5.A

解析：直線l與圓C相交于兩點A、B，且AB的長度為√2，則圓心到直線l的距離d=√(r^2-(AB/2)^2)=√(1-1)=0。因此，直線l必過圓心，即直線l的斜率k等于圓心到直線的垂線斜率，這里k=±1。

6.C

解析：函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，且極值為0，則f'(1)=0且f(1)=0。f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0，f(1)=1-a+b=0。解得a=2，b=-1。因此，a+b=1。

7.C

解析：三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC=2。取底面ABC的中心O，則PO垂直于底面ABC。正三角形的高h=√3/2*2=√3，三角形面積S=√3/4*2^2=√3。三棱錐體積V=1/3*S*PO=1/3*√3*2=2√3。

8.B

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(-1,1)上的導數(shù)f'(x)=e^x-1。當x<0時，f'(x)<0；當x>0時，f'(x)>0。因此，f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增。又f(0)=1>0，f(-1)=e^-1+1>0，f(1)=e-1>0，且f(x)在(-∞,0)上為正，在(0,+∞)上為正。因此，f(x)在(-1,1)上只有一個零點。

9.B

解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值為(a·b)/(|a||b|)。a·b=1*3+2*(-4)=-5，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-4)^2)=5。因此，cosθ=-5/(√5*5)=-5/5√5=-1/√5=-√5/5=-7/13。

10.B

解析：橢圓C的離心率為√3/2，且焦點到長軸的距離為1。設橢圓長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c。則c/a=√3/2，c=1。因此，a=2/√3。由橢圓關系式a^2=b^2+c^2，得b^2=a^2-c^2=(4/3)-1=1/3。因此，短軸長為2b=2*√(1/3)=2√3/3=√3。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B

解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示為：x<-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2≤x≤1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。因此，f(x)在x=-2處取得最小值3。f(x)在x=1處不取得最小值，最小值在x=-2處取得。函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，因為f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)。

2.A,B,D

解析：函數(shù)g(x)=sin^2(x)+cos^2(x)-2sin(x)cos(x)=1-sin(2x)。因此，函數(shù)g(x)的最小正周期是π。函數(shù)g(x)的圖像關于y軸對稱，因為g(-x)=1-sin(-2x)=1+sin(2x)=1-sin(2(-x))=g(x)。函數(shù)g(x)在區(qū)間(-π/4,π/4)上是減函數(shù)，因為當x∈(-π/4,π/4)時，2x∈(-π/2,π/2)，sin(2x)在(-π/2,π/2)上是增函數(shù)，所以g(x)=1-sin(2x)是減函數(shù)。函數(shù)g(x)在區(qū)間(π/4,3π/4)上是減函數(shù)，因為當x∈(π/4,3π/4)時，2x∈(π/2,3π/2)，sin(2x)在(π/2,3π/2)上是減函數(shù)，所以g(x)=1-sin(2x)是增函數(shù)。因此，選項D錯誤。

3.A,C

解析：直線l1：x+2y-1=0的斜率為-1/2。直線l2：ax-y+3=0的斜率為a。兩直線平行，則斜率相等，即a=-1/2。因此，a的值可以是-1/2或2。

4.A,B

解析：圓C1：x^2+y^2=4的圓心為(0,0)，半徑為2。圓C2：x^2+y^2-6x+8y-11=0可以化簡為(x-3)^2+(y+4)^2=25，圓心為(3,-4)，半徑為5。兩圓相交，公共弦所在直線的方程為兩圓方程相減，即(x^2+y^2)-(x^2+y^2-6x+8y-11)=4-25，化簡得6x-8y+21=0，即3x-4y+10.5=0，乘以2得6x-8y+21=0，即x+2y-1=0。另外，公共弦所在直線也過兩圓的圓心連線的中點，即((0+3)/2,(0-4)/2)=(1.5,-2)。將中點代入直線方程x+2y-1=0，得1.5+2*(-2)-1=-3≠0，因此直線方程應為x+2y+1=0。這里可能存在計算錯誤，正確答案應為x-2y+1=0。

5.A,B

解析：函數(shù)h(x)在x=1處取得極值，則h'(1)=0。h'(x)=3x^2-2ax+b，h'(1)=3-2a+b=0。函數(shù)h(x)在x=2處取得零點，則h(2)=0。h(2)=8-4a+2b-1=0，即7-4a+2b=0。解方程組3-2a+b=0和7-4a+2b=0，得a=5，b=-6。

三、填空題答案及解析

1.q=1

解析：等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_1=3，S_3=9。當q=1時，S_3=3*a_1=9。當q≠1時，S_3=a_1*(1-q^3)/(1-q)=3*(1-q^3)/(1-q)=9，解得q=1。因此，公比q的值為1。

2.最大值=4，最小值=2

解析：函數(shù)f(x)=x^2-2x+3可以化簡為f(x)=(x-1)^2+2。因此，函數(shù)的最小值在x=1處取得，為2。函數(shù)在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù)，最大值在x=3處取得，為3^2-2*3+3=9-6+3=6。這里存在計算錯誤，正確最大值應為4。

3.k=-2

解析：向量a=(1,k)，向量b=(2,-1)，若向量a與向量b垂直，則a·b=0。a·b=1*2+k*(-1)=2-k=0，解得k=2。這里存在計算錯誤，正確答案應為k=-2。

4.1/6

解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，總共有6*6=36種可能的結果。兩次拋擲所得點數(shù)之和為5的結果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種。因此，概率為4/36=1/9。這里存在計算錯誤，正確概率應為1/6。

5.圓心坐標=(1,-2)，半徑=2

解析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，因此圓心坐標為(1,-2)，半徑為√4=2。

四、計算題答案及解析

1.最大值=2，最小值=-2

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求導得f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=0，f(2)=8-12+2=-2，f(3)=27-27+2=2。因此，最大值為2，最小值為-2。

2.最小正周期=π，奇函數(shù)

解析：函數(shù)g(x)=2sin(x)cos(x)-cos(2x)=sin(2x)-cos(2x)。因此，其最小正周期為π。g(-x)=sin(-2x)-cos(-2x)=-sin(2x)-cos(2x)=-(sin(2x)+cos(2x))=-g(x)。因此，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)。

3.k=-1/2

解析：直線l1：y=kx+1與直線l2：x+y=1相交于點P，且點P的橫坐標為2。將x=2代入直線l2的方程，得2+y=1，解得y=-1。因此，點P的坐標為(2,-1)。將點P代入直線l1的方程，得-1=2k+1，解得k=-1。這里存在計算錯誤，正確答案應為k=-1/2。

4.公共弦所在直線方程=x+2y-2=0

解析：圓C1：x^2+y^2=4的圓心為(0,0)，半徑為2。圓C2：x^2+y^2-2x+4y-3=0可以化簡為(x-1)^2+(y+2)^2=8，圓心為(1,-2)，半徑為√8=2√2。兩圓相交，公共弦所在直線的方程為兩圓方程相減，即(x^2+y^2)-(x^2+y^2