[限時規(guī)范訓(xùn)練]單獨成冊A組——高考熱點強化練一、選擇題1．(2016·高考全國卷Ⅰ)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()A．17π B．18πC．20π D．28π解析：由三視圖知該幾何體為球去掉了eq\f(1,8)所剩的幾何體(如圖)，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28π,3)，故R＝2，從而它的表面積S＝eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)×πR2＝17π.故選A.答案：A2．(2016·高考天津卷)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()解析：由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示．該幾何體的側(cè)視圖為選項B.故選B.答案：B3．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－eq\f(π,4) B．8－eq\f(π,2)C．8－π D．8－2π解析：由三視圖可知，該幾何體的體積是一個四棱柱的體積減去半個圓柱的體積，即V＝2×2×2－eq\f(1,2)×π×12×2＝8－π.故選C.答案：C4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)解析：由題意知，該三棱柱可以看作是長方體的一部分，且長方體同一頂點處的三條棱長分別為3、4、12，又∵三棱柱的外接球即為長方體的外接球，(2R)2＝32＋42＋122，∴R＝eq\f(13,2).故選C.答案：C5．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，底面為直角三角形，高為12，如圖所示，其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，則AB＝10.要使該石材加工成的球的半徑最大，只需球與直三棱柱的三個側(cè)面都相切，則半徑r等于直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，即r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，故能得到的最大球的半徑為2，故選B.答案：B6．一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8解析：由題意知該四棱錐為正四棱錐，其底面邊長為2，正四棱錐的高為2，故側(cè)面三角形的高為eq\r(5).所以該四棱錐的側(cè)面積為4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，體積為eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3)，故答案B.答案：B7．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是()A．4 B．5C．3eq\r(2) D．3eq\r(3)答案：D8．一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12 B．6C．4 D．2解析：該幾何體為四棱錐P-ABCD，其中PA⊥平面ABCD，如圖，則該幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋1)×2＝2.答案：D9．如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于()A．34＋6eq\r(5) B．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(3)C．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(13) D．17＋6eq\r(5)解析：由三視圖得該幾何體的直觀圖如圖，其中，ABCD為矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰三角形，且此四棱錐的高為4，故該幾何體的表面積等于6×2＋2×eq\f(1,2)×2×5＋eq\f(1,2)×6×2eq\r(5)＋eq\f(1,2)×6×4＝34＋6eq\r(5)，故選A.答案：A10．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析：由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是一個直角梯形，底面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，四棱錐的高為x，因為該幾何體的體積為3，所以eq\f(1,3)×3x＝3，解得x＝3，故選D.答案：D11．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．108cm3 B．100cm3C．92cm3 D．84cm3解析：由三視圖可知原幾何體是一個長、寬、高分別為6,3,6的長方體切去一個三棱錐，因此該幾何體的體積＝6×3×6－eq\f(1,3)×4×eq\f(1,2)×4×3＝108－8＝100(cm3)，故選B.答案：B12．如圖是一幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是()A．5＋eq\r(3) B．5＋2eq\r(3)C．4＋2eq\r(2) D．4＋2eq\r(3)解析：由三視圖可知該幾何體是一個六面體ABCDEFG，其中底面ABCD為正方形，AF∥CG.且AF＝CG＝1，DE∥AF，且DE＝2AF，易計算出EF＝BF＝BG＝EG＝eq\r(2)，所以四邊形EFBG為菱形，其對角線長分別為eq\r(2)和eq\r(6)，故該幾何體的表面積S＝1×1＋eq\f(1,2)×1×1×2＋eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(2)＝5＋eq\r(3)，故選A.答案：A二、填空題13．已知一個幾何體的三視圖是三個全等的邊長為1的正方形，如圖所示，則它的體積為________．解析：該幾何體是一個單位正方體被截去了一部分，其直觀圖如圖所示，其體積為1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)14．如圖所示是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________．解析：由題可知該幾何體由兩個相同的半圓柱和一個長方體拼接而成，因此該幾何體的體積V＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.答案：8＋2π15．(2017·大慶檢測)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體的外接球與長、寬、高分別為eq\r(2)、eq\r(2)、2的長方體的外接球相同，故所求球的半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(22＋12＋22)＝eq\r(2)，其表面積S＝4πR2＝8π.答案：8π16．(2016·高考四川卷)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析：在長方體(長為2eq\r(3)，寬、高均為1)中作出此三棱錐，如圖所示，則VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×1＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)B組——12＋4高考提速練一、選擇題1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為eq\r(3)的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).答案：B2．某個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓，則該幾何體的表面積為()A．92＋24π B．82＋24πC．92＋14π D．82＋14π解析：依題意，題中的幾何體是在一個長方體的上表面放置了半個圓柱，其中長方體的長、寬、高分別是5、4、4，圓柱的底面半徑是2，高是5，因此該幾何體的表面積等于3×(4×5)＋2×(4×4)＋π×22＋eq\f(1,2)×(2π×2)×5＝92＋14π，故選C.答案：C3．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P-A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：由題意可得正視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的eq\f(1,2)，側(cè)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的eq\f(1,2)，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正視圖與側(cè)視圖的面積之比是1∶1，故選A.答案：A4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．8＋2eq\r(3) B．8＋8eq\r(3)C．12＋4eq\r(3) D．16＋4eq\r(3)解析：該幾何體是一個四棱柱，其直觀圖如圖所示，其中上、下、左、右四個面是邊長為2的正方形，前、后兩個面均是底邊長為2，高為eq\r(3)的平行四邊形，故其表面積為4×2×2＋2×2×eq\r(3)＝16＋4eq\r(3).答案：D5．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直線B1C1和平面A1A．5 B.eq\f(13,2)C.eq\f(60,13) D．8解析：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求．過點B1作B1E⊥A1B于E點(圖略)．∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，即線段B1E的長即為所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝eq\f(A1B1·B1B,A1B)＝eq\f(12×5,\r(52＋122))＝eq\f(60,13)，因此直線B1C1和平面A1BCD1的距離是eq\f(60,13)，故選C.答案：C6．在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為10,5,4，則該三棱錐外接球的表面積為()A．141π B．45πC．3eq\r(5)π D．24π解析：三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，由題意得，ab＝20，ac＝10，bc＝8，解得，a＝5，b＝4，c＝2，所以球的直徑為eq\r(25＋16＋4)＝3eq\r(5)，它的半徑為eq\f(3\r(5),2)，球的表面積為4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),2)))2＝45π.故選B.答案：B7．如圖，圓錐的底面直徑AB＝2，母線長VA＝3，點C在母線VB上，且VC＝1，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A到達點C，則這只螞蟻爬行的最短距離是()A.eq\r(13) B.eq\r(7)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(3\r(3),2)解析：把圓錐的半側(cè)面展開，側(cè)面展開圖中，半徑r＝3，故圓心角∠AVB＝eq\f(π,3)，如圖，在△VAC中，根據(jù)余弦定理得AC＝eq\r(32＋12－2×3×1×\f(1,2))＝eq\r(7)，此即為螞蟻爬行的最短距離．答案：B8．已知長方體ABCD-A1B1C1D1的各個頂點都在表面積為16π的球面上，且AB＝eq\r(3)AD，AA1＝2AD，則四棱錐D1-ABCD的體積為()A.eq\f(2\r(6),3) B.eq\f(4\r(6),3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析：設(shè)AD＝x，長方體的外接球的半徑為R，則AD2＋AB2＋AAeq\o\al(2,1)＝(2R)2，又4πR2＝16π，∴x2＋(eq\r(3)x)2＋(2x)2＝4R2＝16，解得x＝eq\r(2)，∴四棱錐D1-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)AA1·S四邊形ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(4\r(6),3).故選B.答案：B9．已知Rt△ABC，其三邊長分別為a，b，c(a>b>c)．分別以三角形的邊a，b，c所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個幾何體，其表面積和體積分別為S1，S2，S3和V1，V2，V3.則它們的關(guān)系為()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3解析：S1＝π·eq\f(bc,a)·(b＋c)，V1＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))2a，S2＝πac＋πc2，V2＝eq\f(1,3)πbc2，S3＝πab＋πb2，V3＝eq\f(1,3)πb2c.由a>b>c，可得S1<S2<S3，V1<V2<V3.答案：B10．正三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為eq\r(3)，此時四面體ABCD的外接球的半徑為()A.eq\r(13) B.eq\f(\r(13),2)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)解析：球心O一定在與平面BCD垂直且過底面正三角形中心O′的直線上，也在平面ADO中AD的垂直平分線上，如圖．OE＝O′D＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝1，DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，故所求外接球的半徑r＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(13),2).答案：B11．已知點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為eq\f(2,3)，則這個球的表面積為()A.eq\f(125π,6) B．8πC.eq\f(25π,4) D.eqD.eq\f(25π,16)解析：∵AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圓的圓心為邊AC的中點O1，如圖所示，若使四面體ABCD體積取得最大值只需使點D到平面ABC的距離最大，又OO1⊥平面ABC，∴點D是直線OO1與球上方的交點時體積最大．設(shè)球的半徑為R，則由體積公式有O1D＝2.在Rt△AOO1中，R2＝1＋(2－R)2，解得R＝eq\f(5,4)，故球的表面積S＝eq\f(25π,4)，故選C.答案：C12．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1PA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),2)))解析：取B1C1的中點M，BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN，則平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上．在△A1MN中，A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).當(dāng)點P位于點M，N時，A1P最大，為eq\f(\r(5),2)；當(dāng)點P位于MN的中點時，A1P最小，為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，所以eq\f(3\r(2),4)≤A1P≤eq\f(\r(5),2).答案：B二、填空題13．若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與軸所成角的正弦值為________．解析：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線與軸所成角為θ，則S側(cè)＝eq\f(1,2)·2πr·eq\r(r2＋h2)，S底＝πr2，因為S側(cè)＝3S底，所以πr·eq\r(r2＋h2)＝3πr2，得eq\r(r2＋h2)＝3r，即8r2＝h2，所以tanθ＝eq\f(1,2\r(2))，sinθ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面邊長與側(cè)棱長都等于3.螞蟻從A點沿側(cè)面經(jīng)過棱BB1上的點N和CC1上的點M爬到點A1解析：將三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開如圖所示，則有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r(AA′2＋A′A′12)＝3eq\r(10).所以螞蟻爬過的路程最短為AA′1.答案：3eq\r(10)15．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝eq\f(a,3)，過B1、D1、P