第05講方程的解與一元一次方程及解法（核心考點講與練）1．方程的定義（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù)．（2）列方程的步驟：①設出字母所表示的未知數(shù)；②找出問題中的相等關系；③列出含有未知數(shù)的等式﹣﹣﹣﹣方程．2．方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是兩個不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性．而解方程是求方程解的過程，具有動詞性．（2）規(guī)律方法總結：無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方法．3．等式的性質（1）等式的性質性質1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結果仍得等式；性質2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式．（2）利用等式的性質解方程利用等式的性質對方程進行變形，使方程的形式向x＝a的形式轉化．應用時要注意把握兩關：①怎樣變形；②依據哪一條，變形時只有做到步步有據，才能保證是正確的．4．一元一次方程的定義（1）一元一次方程的定義只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b＝0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標準形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．（2）一元一次方程定義的應用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）這類題目要嚴格按照定義中的幾個關鍵詞去分析，考慮問題需準確，全面．求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的解代入計算的方法．5．一元一次方程的解定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．6．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉化．（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內各項后能消去分母，就先去括號．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．7．含絕對值符號的一元一次方程解含絕對值符號的一元一次方程要根據絕對值的性質和絕對值符號內代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解．例如：解方程|x|＝2解：去掉絕對值符號x＝2或﹣x＝2方程的解為x1＝2或x2＝﹣2．8．同解方程定義：如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程．（或者說，如果第一個方程的解都是第二個方程的解，并且第二個方程的解也都是第一個方程的解，那么這兩個方程叫做同解方程．）一．方程的定義（共4小題）1．（2021秋?博白縣期末）下列式子中是方程的是（）A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝52．（2021秋?廉江市期末）下列各式中，不是方程的是（）A．a+a＝2a B．2x+3 C．2x+1＝5 D．2（x+1）＝2x+23．（2020秋?建安區(qū)校級月考）下列式子中：①5x+3y＝0，②6x2﹣5x，③3x＜5，④x2+1＝3，⑤+2＝3x．是方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2020秋?饒平縣校級月考）下列敘述中，正確的是（）A．方程是含有未知數(shù)的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．帶等號和字母的式子叫方程二．方程的解（共2小題）5．（2021秋?肅州區(qū)期末）若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，則關于x的方程（a+b）x2+3cd（x+1）＝3的解為多少？6．（2020秋?龍馬潭區(qū)期末）閱讀理解；我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離，即|x|＝|x﹣0|，也就是說|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離；這個結論可以推廣為：|x﹣y|表示在數(shù)軸上數(shù)x、y對應點之間的距離．在解題中，我們常常運用絕對值的幾何意義．①解方程|x|＝2，容易看出，在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應的數(shù)為±2，即該方程的解為x＝±2．②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是數(shù)軸上到1的距離為2的點對應的數(shù)，所以該方程的解是x＝3或x＝﹣1．知識運用：根據上面的閱讀材料，求下列方程的解：（1）方程|x|＝5的解；（2）方程|x﹣2|＝3的解．三．等式的性質（共6小題）7．（2021秋?廬陽區(qū)校級期末）下列利用等式的性質，錯誤的是（）A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由﹣14x＝7，得到x＝﹣ D．由﹣3＝x，得到x＝﹣38．（2021秋?九龍坡區(qū)校級期末）下列等式的變形正確的是（）A．如果x＝y(tǒng)，那么2+x＝2﹣y B．如果x＝6，那么x＝2 C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3 D．如果，那么m＝n9．（2021秋?鹿邑縣月考）下列變形符合等式的基本性質的是（）A．如果2a﹣b＝7，那么b＝7﹣2a B．如果mk＝nk，則m＝n C．如果﹣3x＝5，那么x＝ D．如果＝2，則a＝﹣610．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）已知a＝b，則下列變形錯誤的是（）A．2+a＝2+b B．a﹣b＝0 C．﹣2a＝﹣2b D．11．（2021春?簡陽市月考）根據等式和不等式的性質，可以得到：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＝0，則a＝b；若a﹣b＜0，則a＜b，這是利用“作差法”比較兩個數(shù)或兩個代數(shù)式值的大?。?）試比較代數(shù)式5m2﹣4m+2與4m2﹣4m﹣7的值之間的大小關系；（2）已知A＝5m2﹣4（m﹣），B＝7（m2﹣m）+3，請你運用前面介紹的方法比較代數(shù)式A與B的大?。?）比較3a+2b與2a+3b的大?。?2．（2020秋?前郭縣期末）一般情況下+＝不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如m＝n＝0．我們稱使得+＝成立的一對數(shù)m，n為“相伴數(shù)對”，記為（m，n）．（1）試說明（1，﹣4）是相伴數(shù)對；（2）若（x，4）是相伴數(shù)對，求x的值．四．一元一次方程的定義（共2小題）13．（2021秋?海州區(qū)期末）已知下列方程：①；②x+y＝3；③x＝0；④x2+4x＝3；⑤﹣3＝；⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1．其中是一元一次方程的是（）A．①③⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥14．（2021秋?任城區(qū)校級期末）方程（a﹣3）x|a|﹣2+3＝0是關于x的一元一次方程，則a＝（）A．3 B．﹣3 C．±1 D．±3五．一元一次方程的解（共2小題）15．（2021秋?上城區(qū)期末）已知x＝1是方程x+2m＝0的解，則m的值為（）A．﹣2 B． C．0 D．216．（2021秋?博白縣期末）若x＝3是關于x的一元一次方程2x+m﹣5＝0的解，則m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．11六．解一元一次方程（共10小題）17．（2021秋?韶關期末）下列變形正確的是（）A．由去分母，得5（x﹣5）﹣1＝3（2x+1） B．由3（2x﹣1）﹣2（x+5）＝4去括號，得6x﹣3﹣2x+10＝4 C．由﹣6x﹣1＝2x移項，得﹣6x﹣2x＝1 D．由2x＝3系數(shù)化為1，得x＝18．（2021秋?隆回縣期末）方程2x﹣4＝x+2的解為（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝6 D．x＝219．（2021秋?南丹縣期末）在有理數(shù)范圍內定義運算“☆”：a☆b＝a+，如：1☆（﹣3）＝1+＝﹣1．如果2☆x＝x☆（﹣1）成立，則x的值是（）A．﹣1 B．5 C．0 D．220．（2021秋?嵐皋縣期末）把方程﹣＝2去分母，下列變形正確的是（）A．2x﹣x+1＝2 B．x﹣2（x+1）＝12 C．2x﹣x+1＝12 D．x﹣2（x+1）＝221．（2021秋?武昌區(qū)期末）小軍同學在解關于x的方程﹣1去分母時，方程右邊的﹣1沒有乘2，因而求得方程的解為3，則m的值和方程的正確解為（）A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，322．（2021秋?福田區(qū)校級期末）解方程：（1）7﹣3（x﹣1）＝﹣x；（2）．23．（2021秋?韶關期末）解方程：﹣＝1．24．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）解方程：（1）3（2﹣3x）＝x+1；（2）．25．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）解方程：（1）x+1＝6﹣3（x﹣1）；（2）﹣＝2．26．（2021秋?和平區(qū)校級期末）解下列方程：（1）7x+2（3x﹣3）＝20；（2）+＝2﹣．七．含絕對值符號的一元一次方程（共4小題）27．方程|2x﹣6|＝0的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝±3 D．28．（2021秋?江津區(qū)期末）已知關于x的方程＝3+k的解滿足|x|＝3，則符合條件的所有k的值的和為．29．（2021秋?岳陽期末）已知關于x的方程mx+3＝2的解滿足|x﹣2|＝0，則m的值是．30．（2020秋?自貢期末）閱讀下列問題：例．解方程|2x|＝5．解：當2x≥0，即x≥0時，2x＝5，∴x＝；當2x＜0，即x＜0時，﹣2x＝5，∴x＝﹣．∴方程|2x|＝5的解為x＝或x＝﹣．請你參照例題的解法，求方程||＝1的解．八．同解方程（共3小題）31．（2021秋?澄海區(qū)期末）下列方程中，與x﹣1＝﹣x+3的解相同的是（）A．x+2＝0 B．2x﹣3＝0 C．x﹣2＝2x D．x﹣2＝032．（2021秋?十堰期末）若方程2（2x﹣3）＝1﹣3x的解與關于x的方程8﹣m＝2（x+1）的解相同，則m＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣12 D．1233．（2021秋?臨湘市期末）已知方程7x+2＝3x﹣6與x﹣1＝k的解相同，則3k2﹣1的值為（）A．18 B．20 C．26 D．﹣26分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?九龍縣期末）將方程去分母，得（）A．4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2） B．4（2x﹣1）＝12﹣（x+2） C．（2x﹣1）＝6﹣3（x+2） D．4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2）2．（2021春?普陀區(qū)期中）下列各項中，一元一次方程是（）A．2x＝4 B．2﹣＝5 C．2x﹣y＝6 D．2x﹣y＝73．（2021春?普陀區(qū)校級月考）下列方程中，其解為﹣1的方程是（）A．2x﹣1＝4x+3 B．3x＝x+3 C． D．2（x﹣3）＝34．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）下列等式是一元一次方程的是（）A．3x＝0 B．3+5＝8 C．x2﹣4＝0 D．x﹣2y＝55．（2021春?奉賢區(qū)期末）如果關于x的方程ax＝b有無數(shù)個解，那么a、b滿足的條件是（）A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0二．填空題（共6小題）6．（2021春?楊浦區(qū)期中）已知x＝﹣3是關于x的方程k（x+4）＝x+5的解，則k＝．7．（2019春?奉賢區(qū)期中）方程+3＝0中，的次數(shù)是次．8．（2019春?松江區(qū)期中）如果方程x+1＝0與5+m＝2x的解相同，那么m＝．9．（2021春?嘉定區(qū)期末）將方程36x﹣2y＝56變形為用含x的式子表示y的形式是．10．（2015秋?鄂城區(qū)期中）如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范圍是．11．（2021秋?靜安區(qū)校級期中）如果＝，那么a＝．三．解答題（共7小題）12．（2021秋?西峰區(qū)期末）解方程：﹣＝1．13．（2021春?楊浦區(qū)校級期中）解方程：|x﹣|3x+2||＝4．14．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知2：（15﹣x）＝3：x，求x的值．15．（2021秋?閔行區(qū)期末）列方程求解：某數(shù)的是8的1，求這個數(shù)．16．（2017秋?雨花區(qū)期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，檢驗x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．

題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2019春?普陀區(qū)期中）某中學需要安排x名學生住宿，若8人一間則有50人無宿舍住，若12人一間則空余30張床位，求學生人數(shù)可列出方程（）A． B．8x+50＝12x﹣30 C．8x﹣50＝12x+30 D．2．（2019春?楊浦區(qū)期中）甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習跑步，已知環(huán)形跑道圈長400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米處同時同向出發(fā)，那么經過（）秒兩人首次相遇？A．208 B．204 C．200 D．196二．填空題（共3小題）3．（2021春?普陀區(qū)期中）在有理數(shù)范圍內定義一個新的運算法則“*”；當a≥b時，a*b＝ab；當a＜b時，a*b＝ab．根據這個法則，方程4*（4*x）＝256的解是x＝．4．（2020秋?饒平縣校級期末