課時跟蹤檢測（三）排列與排列數(shù)公式層級一學(xué)業(yè)水平達標1．下面問題中，是排列問題的是()A．由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合解析：選A選項A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān)，選項B、C、D只需取出元素即可，與元素的排列順序無關(guān)．2．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144B．120C．72D．24解析：選D先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端有4個位置，再把三人帶椅子插放在四個位置，共有Aeq\o\al(3,)4＝24(種)方法，故選D.3．乘積m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示為()A．Aeq\o\al(2,m)B．Aeq\o\al(21,m)C．Aeq\o\al(20,m)＋20D．Aeq\o\al(21,m＋20)解析：選D因為m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的數(shù)為m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21個因式．所以m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)＝Aeq\o\al(21,)m＋20.4．計算：eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝()A．12B．24C．30D．36解析：選DAeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,)5，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝36.5．體操男隊共六人參加男團決賽，但在每個項目上，根據(jù)規(guī)定，只需五人出場，那么在鞍馬項目上不同的出場順序共有()A．6種B．30種C．360種D．Aeq\o\al(5,)6種解析：選D問題為6選5的排列即為Aeq\o\al(5,)6.6．計算：5Aeq\o\al(3,)5＋4Aeq\o\al(2,)4＝________.解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.答案：3487．從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成________個以b為首的不同的排列．解析：畫出樹形圖如下：可知共12個．答案：128．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有________種．解析：根據(jù)題意，由排列可得，從6名志愿者中選出4人分別從事四項不同工作，有Aeq\o\al(4,)6＝360種不同的情況，其中包含甲從事翻譯工作，有Aeq\o\al(3,)5＝60種，乙從事翻譯工作，有Aeq\o\al(3,)5＝60種，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有360－60－60＝240種．答案：2409．寫出下列問題的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)站成一排；(2)從編號為1,2,3,4,5的五名同學(xué)中選出兩名同學(xué)任正、副班長．解：(1)四名同學(xué)站成一排，共有Aeq\o\al(4,)4＝24個不同的排列，它們是：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)從五名同學(xué)中選出兩名同學(xué)任正、副班長，共有Aeq\o\al(2,)5＝20種選法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.10．(1)解關(guān)于x的方程：eq\f(A\o\al(7,)x－A\o\al(5,)x,A\o\al(5,)x)＝89；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,)9>6Aeq\o\al(x－2,)9.解：(1)法一：∵Aeq\o\al(7,)x＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Aeq\o\al(5,)x，∴eq\f((x－5)(x－6)A\o\al(5,)x－A\o\al(5,)x,A\o\al(5,)x)＝89.∵Aeq\o\al(5,)x>0，∴(x－5)(x－6)＝90.故x＝－4(舍去)，x＝15.法二：由eq\f(A\o\al(7,)x－A\o\al(5,)x,A\o\al(5,)x)＝89，得Aeq\o\al(7,)x＝90·Aeq\o\al(5,)x，即eq\f(x！,(x－7)！)＝90·eq\f(x！,(x－5)！).∵x！≠0，∴eq\f(1,(x－7)！)＝eq\f(90,(x－5)(x－6)·(x－7)！)，∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15.(2)原不等式即eq\f(9！,(9－x)！)>eq\f(6·9！,(9－x＋2)！)，由排列數(shù)定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤9，,0≤x－2≤9，))∴2≤x≤9，x∈N*.化簡得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0，即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.又2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*.故x＝2,3,4,5,6,7.層級二應(yīng)試能力達標1．從1,2,3,4中，任取兩個不同數(shù)字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組成不同點的個數(shù)為()A．2B．4C．12D．24解析：選C本題相當于從4個元素中取2個元素的排列，即Aeq\o\al(2,)4＝12.2．下列各式中與排列數(shù)Aeq\o\al(m,)n相等的是()A.eq\f(n！,(n－m＋1)！)B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.eq\f(nA\o\al(m,)n－1,n－m＋1)D．Aeq\o\al(1,)n·Aeq\o\al(m－1,)n－1解析：選D∵Aeq\o\al(m,)n＝eq\f(n！,(n－m)！)，而Aeq\o\al(1,)n·Aeq\o\al(m－1,)n－1＝n·eq\f((n－1)！,[(n－1)－(m－1)]！)＝eq\f(n！,(n－m)！)，∴Aeq\o\al(m,)n＝Aeq\o\al(1,)n·Aeq\o\al(m－1,)n－1，故選D.3．四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為()A．6B．9C．12D．24解析：選B構(gòu)成四位數(shù)，可從特殊元素0進行分類：第一類，0在個位有eq\x(2110)，eq\x(1210)，eq\x(1120)，共3個；第二類，0在十位有eq\x(2101)，eq\x(1201)，eq\x(1102)，共3個；第三類，0在百位有eq\x(2011)，eq\x(1021)，eq\x(1012)，共3個，故由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為9.4．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有()A．34種B．48種C．96種D．144種解析：選C程序A有Aeq\o\al(1,)2＝2(種)排法，將程序B和C看作元素集團與除A外的元素排列有Aeq\o\al(2,)2Aeq\o\al(4,)4＝48(種)，∴由分步乘法計數(shù)原理得，實驗編排共有2×48＝96(種)方法．5．滿足不等式eq\f(A\o\al(7,)n,A\o\al(5,)n)>12的n的最小值為________．解析：由排列數(shù)公式得eq\f(n！(n－5)！,(n－7)！n！)>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值為10.答案：106．在編號為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號為1,2,3,4的四個品種的小麥，但1號地不能種1號小麥，2號地不能種2號小麥，3號地不能種3號小麥，則共有______種不同的試種方案．解析：畫出樹形圖，如下：由樹形圖可知，共有11種不同的試種方案．答案：117．一條鐵路線原有n個車站，為了適應(yīng)客運需要，新增加了2個車站，客運車票增加了58種，問原有多少個車站？現(xiàn)有多少車站？解：由題意可得Aeq\o\al(2,)n＋2－Aeq\o\al(2,)n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.所以原有車站14個，現(xiàn)有車站16個．8．規(guī)定Aeq\o\al(m,)x＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m為正整數(shù)，且Aeq\o\al(0,)x＝1，這是排列數(shù)Aeq\o\al(m,)n(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣．(1)求Aeq\o\al(3,)－15的值；(2)確定函數(shù)f(x)＝Aeq\o\al(3,)x的單調(diào)區(qū)間．解：(1)由已知得Aeq\o\al(3,)－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4080.(2)函數(shù)f(x)＝Aeq\o\al(3,)x＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x，則f′(x)＝3x2－6x＋2.令f′(x)>0，得x>eq\f(3＋\r(3),3)或x<eq\f(3－\r(3),3