全等三角形單元測試習(xí)題及教學(xué)建議一、單元測試設(shè)計(jì)理念全等三角形是初中幾何的核心內(nèi)容之一，是研究圖形對稱性、相似三角形及四邊形的基礎(chǔ)。單元測試需緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)（如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“探索并掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）”“能用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題”等要求），覆蓋核心素養(yǎng)（邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模），體現(xiàn)分層梯度（基礎(chǔ)鞏固、綜合應(yīng)用、拓展提升）。測試目標(biāo)需聚焦：1.理解全等三角形的概念（對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角）及性質(zhì)（對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）；2.掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能準(zhǔn)確區(qū)分判定條件的適用性（如“SSA”不能判定全等）；3.能運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決線段相等、角相等的證明問題，及簡單實(shí)際應(yīng)用（如測量距離）；4.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰εc幾何直觀意識(shí)。二、單元測試習(xí)題設(shè)計(jì)（一）選擇題（每題3分，共15分）考點(diǎn)1：全等三角形的概念與性質(zhì)1.若△ABC≌△DEF，且∠A=50°，∠B=70°，則∠F的度數(shù)為（）A.50°B.60°C.70°D.80°解析：利用全等三角形對應(yīng)角相等，∠C=180°-50°-70°=60°，∠F=∠C=60°，選B?？键c(diǎn)2：全等三角形的判定定理2.下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DF（SSS）B.AB=DE，∠B=∠E，BC=EF（SAS）C.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E（ASA）D.AB=DE，∠A=∠D，BC=EF（SSA）解析：“SSA”無法判定全等（如兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，三角形形狀不唯一），選D?？键c(diǎn)3：直角三角形全等的判定（HL）3.如圖1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AC=DF，AB=DE，則下列結(jié)論正確的是（）A.BC=EFB.∠A=∠EC.∠B=∠DD.以上都對解析：由HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF，對應(yīng)邊、對應(yīng)角均相等，選D。考點(diǎn)4：全等三角形的對應(yīng)關(guān)系4.若△ABC≌△CDA，且AB=CD，則下列對應(yīng)邊錯(cuò)誤的是（）A.BC=DAB.AC=CAC.AB=CDD.AC=CD解析：全等三角形對應(yīng)頂點(diǎn)需對應(yīng)（△ABC≌△CDA，對應(yīng)頂點(diǎn)為A→C，B→D，C→A），故AC=CA（公共邊），AB=CD，BC=DA，選D?？键c(diǎn)5：全等三角形的實(shí)際應(yīng)用5.如圖2，小明用直尺和圓規(guī)測量池塘兩端A、B的距離，步驟如下：①在池塘外取一點(diǎn)C，連接AC、BC；②分別作AC、BC的延長線至D、E，使CD=AC，CE=BC；③連接DE。則DE的長即為AB的長，其依據(jù)是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS解析：由CD=AC，CE=BC，∠DCE=∠ACB（對頂角相等），SAS判定△DCE≌△ACB，故DE=AB，選B。（二）填空題（每題3分，共15分）考點(diǎn)1：全等三角形的性質(zhì)6.若△ABC≌△DEF，且AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，則△DEF的周長為______cm。解析：全等三角形周長相等，周長=3+4+5=12，填12?？键c(diǎn)2：判定定理的條件補(bǔ)充7.如圖3，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，要使△ABC≌△ADC，還需添加的條件是______（寫出一個(gè)即可）。解析：已有AB=AD，∠BAC=∠DAC（公共邊AC），可添加AC=AC（無需添加，公共邊），或BC=DC（SSS），或∠ABC=∠ADC（AAS），填BC=DC（答案不唯一）?？键c(diǎn)3：對應(yīng)角的識(shí)別8.如圖4，△ABC≌△AED，若∠B=30°，∠C=70°，則∠EAD=______°。解析：∠BAC=180°-30°-70°=80°，△ABC≌△AED，對應(yīng)角∠EAD=∠BAC=80°，填80。考點(diǎn)4：直角三角形全等的條件9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若要使Rt△ABC≌Rt△DEF（∠F=90°），只需添加的條件是______和______（寫出一組即可）。解析：HL需斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，如AB=DE，AC=DF（或BC=EF），填A(yù)B=DE，AC=DF（答案不唯一）。考點(diǎn)5：全等三角形的動(dòng)態(tài)應(yīng)用10.如圖5，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，若AD=AE，∠BAD=20°，則∠EDC=______°。解析：設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，則∠ADC=∠B+∠BAD=y+20°=∠ADE+∠EDC=∠AED+x（AD=AE，∠ADE=∠AED）。又∠AED=∠C+∠EDC=y+x，故y+20°=(y+x)+x，解得x=10，填10。（三）解答題（共50分）考點(diǎn)1：全等三角形的判定與性質(zhì)（基礎(chǔ)證明）11.（8分）如圖6，已知AB=CD，AE=DF，BE=CF。求證：△ABE≌△DCF。證明：∵BE=CF（已知），∴BE+EF=CF+EF（等式性質(zhì)），即BF=CE。在△ABE和△DCF中，AB=CD（已知），AE=DF（已知），BF=CE（已證），∴△ABE≌△DCF（SSS）。考點(diǎn)2：全等三角形與角平分線的結(jié)合12.（10分）如圖7，已知BD平分∠ABC，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，求證：PA=PC。證明：∵BD平分∠ABC（已知），∴∠ABD=∠CBD（角平分線定義）。在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（已證），BD=BD（公共邊），∴△ABD≌△CBD（SAS）。∴∠BAD=∠BCD（全等三角形對應(yīng)角相等）。在△ABP和△CBP中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（已證），BP=BP（公共邊），∴△ABP≌△CBP（SAS）。∴PA=PC（全等三角形對應(yīng)邊相等）?？键c(diǎn)3：全等三角形的實(shí)際應(yīng)用13.（12分）如圖8，某工地有兩個(gè)電線桿A、B，因障礙物無法直接測量距離，工人師傅采用如下方法：在地面上取一點(diǎn)C，使C能到達(dá)A、B兩點(diǎn)；連接AC并延長至D，使CD=AC；連接BC并延長至E，使CE=BC；連接DE，測量DE的長為12米。求A、B之間的距離。解答：由題意，CD=AC，CE=BC（構(gòu)造全等三角形），∠DCE=∠ACB（對頂角相等），∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE=AB（全等三角形對應(yīng)邊相等），∴AB=DE=12米。答：A、B之間的距離為12米?？键c(diǎn)4：全等三角形的綜合證明（多步推理）14.（10分）如圖9，已知∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，求證：∠ABD=∠ADE。證明：∵∠BAC=∠DAE（已知），∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC（等式性質(zhì)），即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AD（已知），∠BAD=∠CAE（已證），AC=AE（已知），∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴∠ABD=∠ACE（全等三角形對應(yīng)角相等）。又∵AC=AE（已知），∴∠ACE=∠AEC（等腰三角形底角相等）?！摺螦EC=∠ADE+∠DAE（三角形外角性質(zhì)），∠BAC=∠DAE（已知），∴∠ABD=∠ADE（等量代換）?？键c(diǎn)5：全等三角形的開放探究15.（10分）如圖10，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE。請你添加一個(gè)條件，使△BDC≌△CEB，并證明你的結(jié)論。添加條件：BD=CE（或∠BDC=∠CEB，或BC平分∠DCE等，答案不唯一）。證明（以BD=CE為例）：∵AB=AC，AD=AE（已知），∴AB-AD=AC-AE（等式性質(zhì)），即BD=CE?！逜B=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相等）。在△BDC和△CEB中，BD=CE（添加條件），∠ABC=∠ACB（已證），BC=CB（公共邊），∴△BDC≌△CEB（SAS）。（四）拓展題（共20分，選做）考點(diǎn)：全等三角形與動(dòng)點(diǎn)問題16.（20分）如圖11，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），且AP=BQ。連接AQ、DP交于點(diǎn)O。（1）求證：△ADP≌△BAQ；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，求∠AOP的度數(shù)；（3）若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2單位/秒，是否存在某一時(shí)刻t，使△ADP≌△BAQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。解答：（1）證明：正方形ABCD中，AD=AB，∠DAP=∠ABQ=90°（正方形性質(zhì)）。∵AP=BQ（已知），∴△ADP≌△BAQ（SAS）。（2）解：當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，AP=2，BQ=2（AP=BQ），由（1）得△ADP≌△BAQ，∴∠ADP=∠BAQ?！摺螦DP+∠APD=90°（直角三角形兩銳角互余），∴∠BAQ+∠APD=90°（等量代換），∴∠AOP=180°-90°=90°（三角形內(nèi)角和）。（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=t，BQ=2t（速度×?xí)r間）。若△ADP≌△BAQ，則需AP=BQ（SAS條件），即t=2t，解得t=0（不符合“不與A、B重合”）?；蛐鐰D=BQ，AP=AB（但AP≤4，AB=4，僅當(dāng)t=4時(shí)AP=AB，但此時(shí)P與B重合，不符合條件）。故不存在這樣的t。三、教學(xué)建議（一）基礎(chǔ)概念教學(xué)：注重直觀，強(qiáng)化對應(yīng)關(guān)系1.概念引入：通過拼圖游戲（如將兩個(gè)全等三角形紙片重合，找出對應(yīng)頂點(diǎn)、邊、角）或動(dòng)畫演示（如平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后重合的三角形），讓學(xué)生直觀理解“全等”的含義。2.對應(yīng)關(guān)系訓(xùn)練：通過“找朋友”游戲（給出△ABC≌△DEF，讓學(xué)生連線對應(yīng)頂點(diǎn)、邊、角），或設(shè)計(jì)“錯(cuò)例分析”（如△ABC≌△DEF，學(xué)生誤將AB=DF，教師引導(dǎo)糾正），強(qiáng)化對應(yīng)意識(shí)。（二）判定定理教學(xué)：經(jīng)歷探索，理解邏輯本質(zhì)1.定理探索：讓學(xué)生用尺規(guī)作圖（如給定SSS條件，畫兩個(gè)三角形，比較是否全等），或用實(shí)物操作（如用三根木棍拼三角形，形狀唯一），自主發(fā)現(xiàn)判定條件的合理性。2.定理區(qū)分：通過“對比練習(xí)”（如給出SSS、SAS、ASA、AAS的圖形，讓學(xué)生識(shí)別判定方法），或“反例驗(yàn)證”（如用SSA條件畫三角形，發(fā)現(xiàn)形狀不唯一），明確各定理的適用范圍。（三）證明題教學(xué)：培養(yǎng)邏輯，規(guī)范推理步驟1.思路引導(dǎo)：教學(xué)生用“分析法”（從結(jié)論倒推，如要證線段相等，需證全等三角形對應(yīng)邊相等，再找全等條件）和“綜合法”（從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)結(jié)論）結(jié)合的方法。例如，在證明12題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考“要證PA=PC，需證△ABP≌△CBP，需哪些條件？”。2.步驟規(guī)范：要求學(xué)生寫出“已知”“求證”“證明”三部分，每一步推理都要有依據(jù)（如“SSS”“SAS”“等式性質(zhì)”等），避免“跳步”或“無依據(jù)”的錯(cuò)誤。（四）實(shí)際應(yīng)用教學(xué)：聯(lián)系生活，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值1.案例引入：用“測量池塘距離”“修復(fù)破損三角形零件”等生活案例，讓學(xué)生感受到全等三角形的實(shí)用性。例如，在教學(xué)13題時(shí)，讓學(xué)生模擬工人師傅的操作，親身體驗(yàn)構(gòu)造全等三角形的過程。2.建模訓(xùn)練：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型（如將“測量A、B距離”轉(zhuǎn)化為“構(gòu)造全等三角形，使AB=DE”），培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。（五）分層教學(xué)：兼顧差異，促進(jìn)全員發(fā)展1.作業(yè)設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)層（如選擇題1-5、填空題6-8）要求所有學(xué)生完成；中層（如解答題11-13、填空題9-10）要求中等學(xué)生完成；高層（如解答題14-15、拓展題16）要求優(yōu)生完成。2.輔導(dǎo)策略：對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，重點(diǎn)補(bǔ)概念（如對應(yīng)關(guān)系）和簡單證明（如SSS、SAS的應(yīng)用）；對中等學(xué)生，重點(diǎn)補(bǔ)綜合證明（如多步推理）和實(shí)際應(yīng)用；對優(yōu)生，重點(diǎn)補(bǔ)拓展題（如動(dòng)點(diǎn)問題、開放題），培養(yǎng)思維深度。（六）錯(cuò)題分析：靶向突破，避免重復(fù)錯(cuò)誤1.錯(cuò)題整理：讓學(xué)生建立“錯(cuò)題本”，記錄錯(cuò)誤題目（如“對應(yīng)頂點(diǎn)