重慶市中考數(shù)學(xué)不定方程專題復(fù)習(xí)一、引言：不定方程在重慶中考中的地位與考情分析不定方程是重慶中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，常以選擇題、填空題（4-5分）或解答題小問(wèn)（3-4分）形式出現(xiàn)，分值占比約5%-8%。其考查核心是方程思想與分類討論能力，要求學(xué)生能根據(jù)未知數(shù)的限制條件（如整數(shù)、正整數(shù)）求解方程，或結(jié)合實(shí)際問(wèn)題建立不定方程模型。從近5年真題看，考查類型集中在三類：二元一次不定方程的整數(shù)解、含參數(shù)的不定方程（組）、不定方程與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合。其中，含參數(shù)的不定方程是難點(diǎn)，易失分；實(shí)際問(wèn)題建模是重點(diǎn)，需聯(lián)系生活場(chǎng)景。二、核心概念界定：什么是不定方程？不定方程是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受整數(shù)、正整數(shù)等限制條件的方程（組）。例如：二元一次不定方程：\(ax+by=c\)（\(a,b,c\)為整數(shù)，\(a,b\neq0\)）；含參數(shù)的不定方程組：\(\begin{cases}2x+y=k\\x+2y=1\end{cases}\)（\(k\)為參數(shù)，解為整數(shù)）；實(shí)際問(wèn)題中的不定方程：購(gòu)買兩種商品，總價(jià)固定，求購(gòu)買方案數(shù)。關(guān)鍵性質(zhì)：二元一次不定方程\(ax+by=c\)有整數(shù)解的充要條件是\(a,b\)的最大公約數(shù)（gcd）整除\(c\)（如\(3x+2y=17\)，gcd(3,2)=1，1整除17，故有整數(shù)解）。三、重慶中考?？疾欢ǚ匠填愋图敖夥ㄉ疃冉馕觯ㄒ唬┒淮尾欢ǚ匠痰恼麛?shù)解問(wèn)題：基礎(chǔ)題型，務(wù)必掌握考查形式：求正整數(shù)解個(gè)數(shù)、求特定范圍內(nèi)的整數(shù)解。解法步驟：1.變形：用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)（如\(y=\frac{c-ax}\)）；2.確定范圍：根據(jù)正整數(shù)限制（\(x\geq1,y\geq1\)），得到未知數(shù)的取值范圍；3.枚舉驗(yàn)證：代入范圍內(nèi)的整數(shù)，驗(yàn)證另一個(gè)未知數(shù)是否為整數(shù)。技巧：優(yōu)先枚舉系數(shù)較大的未知數(shù)（減少枚舉次數(shù)）；若系數(shù)與常數(shù)奇偶性不同，可縮小范圍（如\(3x+2y=17\)，\(3x\)必為奇數(shù)，故\(x\)為奇數(shù)）。例題（2021重慶A卷）：求方程\(3x+2y=17\)的正整數(shù)解個(gè)數(shù)。解析：變形得\(y=\frac{17-3x}{2}\)，要求\(y>0\)，故\(17-3x>0\)，即\(x<\frac{17}{3}\approx5.67\)，\(x\)為正整數(shù)；枚舉奇數(shù)\(x=1,3,5\)：\(x=1\)時(shí)，\(y=\frac{17-3}{2}=7\)（正整數(shù)，有效）；\(x=3\)時(shí)，\(y=\frac{17-9}{2}=4\)（有效）；\(x=5\)時(shí)，\(y=\frac{17-15}{2}=1\)（有效）；共3組正整數(shù)解，答案為3。（二）含參數(shù)的不定方程（組）：難點(diǎn)題型，考查分類討論能力考查形式：已知方程（組）有整數(shù)解，求參數(shù)的值或范圍。解法策略：1.消元化簡(jiǎn)：將方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程（如用代入法消去\(y\)，得到\(x=f(k)\)）；2.參數(shù)分離：將參數(shù)表示為關(guān)于未知數(shù)的整數(shù)式（如\(k=ax+b\)，\(x\)為整數(shù)）；3.枚舉驗(yàn)證：根據(jù)未知數(shù)的整數(shù)限制，枚舉可能的參數(shù)值，驗(yàn)證解的合理性。例題（2022重慶B卷）：已知方程組\(\begin{cases}2x+y=k\\x+2y=1\end{cases}\)的解為整數(shù)，求\(k\)的整數(shù)值。解析：解方程組：用①×2-②得\(3x=2k-1\)，故\(x=\frac{2k-1}{3}\)；代入②得\(y=\frac{1-x}{2}=\frac{1-\frac{2k-1}{3}}{2}=\frac{4-2k}{6}=\frac{2-k}{3}\)；要求\(x,y\)為整數(shù)，故\(2k-1\)必為3的倍數(shù)，\(2-k\)也必為3的倍數(shù)；設(shè)\(2k-1=3m\)（\(m\)為整數(shù)），則\(k=\frac{3m+1}{2}\)，代入\(2-k=3n\)（\(n\)為整數(shù)）得：\(2-\frac{3m+1}{2}=3n\)→\(4-3m-1=6n\)→\(3-3m=6n\)→\(m=1-2n\)；因此\(k=\frac{3(1-2n)+1}{2}=\frac{4-6n}{2}=2-3n\)；枚舉\(n\)為整數(shù)，得\(k=2,-1,5,-4,\dots\)（結(jié)合選項(xiàng)取具體值）。（三）不定方程與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合：應(yīng)用題型，強(qiáng)調(diào)建模與實(shí)際意義考查形式：分配問(wèn)題、購(gòu)物問(wèn)題、工程問(wèn)題等，要求求“方案數(shù)”或“最優(yōu)解”。解法步驟：1.審題設(shè)元：設(shè)未知數(shù)（如購(gòu)買\(A\)商品\(x\)件，\(B\)商品\(y\)件）；2.列方程（組）：根據(jù)總價(jià)、數(shù)量等條件列方程（如\(x+y=10\)，\(50x+30y\leq400\)）；3.求整數(shù)解：結(jié)合實(shí)際意義（\(x,y\)為非負(fù)整數(shù)），枚舉或化簡(jiǎn)求解。例題（2023重慶A卷）：某商店銷售\(A\)、\(B\)兩種商品，\(A\)每件50元，\(B\)每件30元。購(gòu)買共10件，總費(fèi)用不超過(guò)400元，求購(gòu)買方案數(shù)。解析：設(shè)買\(A\)商品\(x\)件，\(B\)商品\(y\)件，則\(\begin{cases}x+y=10\\50x+30y\leq400\end{cases}\)；由\(y=10-x\)，代入不等式得\(50x+30(10-x)\leq400\)→\(20x\leq100\)→\(x\leq5\)；\(x\)為非負(fù)整數(shù)（\(x\geq0\)），故\(x=0,1,2,3,4,5\)，對(duì)應(yīng)\(y=10,9,8,7,6,5\)；共6種購(gòu)買方案（注意：\(x=0\)時(shí)僅買\(B\)商品，符合實(shí)際意義）。四、解題技巧總結(jié)：快速突破不定方程的關(guān)鍵方法1.枚舉法優(yōu)化：優(yōu)先枚舉系數(shù)大的未知數(shù)（如\(5x+3y=23\)，先試\(x\)，因?yàn)閈(x\)范圍?。焕闷媾夹?、倍數(shù)關(guān)系縮小范圍（如\(4x+5y=27\)，\(5y\)必為奇數(shù)，故\(y\)為奇數(shù)）。2.參數(shù)分離法：將參數(shù)表示為整數(shù)式（如\(k=\frac{2x+1}{3}\)，則\(2x+1\)必為3的倍數(shù)），避免遺漏參數(shù)值。3.二次方程整數(shù)根技巧：若遇到二次不定方程（如\(x^2+mx+n=0\)有整數(shù)根），可利用韋達(dá)定理（設(shè)根為\(a,b\)，則\(a+b=-m\)，\(ab=n\)）或判別式（\(\Delta=m^2-4n\)為完全平方數(shù)）。五、易錯(cuò)點(diǎn)提醒：避免丟分的核心注意事項(xiàng)1.忽略解的限制條件：如“正整數(shù)解”與“整數(shù)解”的區(qū)別（\(x=0\)不是正整數(shù)）；實(shí)際問(wèn)題中“人數(shù)、物品數(shù)量”必為非負(fù)整數(shù)。2.參數(shù)討論不全面：如含參數(shù)的方程組，需枚舉所有可能的整數(shù)參數(shù)值，避免漏掉（如\(k=2-3n\)，\(n\)為整數(shù)，需考慮正負(fù)）。3.計(jì)算錯(cuò)誤：枚舉時(shí)需仔細(xì)驗(yàn)證，避免計(jì)算錯(cuò)誤（如\(3x+2y=17\)，\(x=2\)時(shí)\(y=\frac{17-6}{2}=5.5\)，不是整數(shù)，應(yīng)舍去）。六、實(shí)戰(zhàn)演練：重慶中考真題與模擬題訓(xùn)練1.（2020重慶A卷）方程\(2x+3y=12\)的正整數(shù)解有（）A.1組B.2組C.3組D.4組解析：變形得\(y=\frac{12-2x}{3}\)，\(x\)為正整數(shù)且\(12-2x>0\)，即\(x<6\)。枚舉\(x=3\)（\(12-2x\)必為3的倍數(shù)），得\(y=2\)；\(x=0\)（非正整數(shù)，舍去）；\(x=6\)（\(y=0\)，舍去）。故只有1組正整數(shù)解，選A。2.（模擬題）已知方程\(x^2+(k-1)x+k=0\)有整數(shù)根，求\(k\)的整數(shù)值。解析：設(shè)整數(shù)根為\(m\)，則\(m^2+(k-1)m+k=0\)，整理得\(k=\frac{-m^2+m}{m+1}\)（\(m\neq-1\)）?；?jiǎn)：\(k=-m+2-\frac{2}{m+1}\)，故\(m+1\)必為2的約數(shù)（\(\pm1,\pm2\)）。枚舉得：\(m+1=1\)→\(m=0\)→\(k=0\)；\(m+1=-1\)→\(m=-2\)→\(k=(-4-2)/(-1)=6\)；\(m+1=2\)→\(m=1\)→\(k=(-1+1)/2=0\)；\(m+1=-2\)→\(m=-3\)→\(k=(-9-3)/(-2)=6\)；故\(k=0\)或6。七、結(jié)語(yǔ)：復(fù)習(xí)建議與備考策略1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握二元一次不定方程的整數(shù)解求法，多做基礎(chǔ)題（如求正整數(shù)解個(gè)數(shù)）。2.突破難