高考函數(shù)專題重點復(fù)習資料引言函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是高考的重點與難點。從概念（定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系）到性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性），從圖像（變換、識別）到應(yīng)用（導(dǎo)數(shù)、方程、不等式、數(shù)列），函數(shù)貫穿于整個高中數(shù)學體系。高考中，函數(shù)題覆蓋選擇、填空、解答題，分值占比約20%-25%，且常與其他知識綜合考查（如導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式）。本資料以高考考點為線索，以解題方法為核心，梳理函數(shù)專題的重點內(nèi)容，旨在幫助考生構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，掌握解題技巧，提升應(yīng)試能力。一、函數(shù)的定義域與值域定義域與值域是函數(shù)的基本要素，也是解決函數(shù)問題的前提。高考中，定義域多以選擇題、填空題形式考查，值域則常與單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查。（一）定義域的求解定義域是函數(shù)自變量的取值范圍，需滿足所有限制條件的交集。1.常見類型及限制條件函數(shù)類型限制條件分式函數(shù)分母≠0根式函數(shù)（偶次）被開方數(shù)≥0對數(shù)函數(shù)真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1三角函數(shù)tanx的定義域為x≠kπ+π/2（k∈Z）復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的值域?外層函數(shù)的定義域2.復(fù)合函數(shù)定義域的求解復(fù)合函數(shù)\(f(g(x))\)的定義域需滿足：內(nèi)層函數(shù)\(g(x)\)的定義域；外層函數(shù)\(f(t)\)的定義域（即\(t=g(x)\)的值域?\(f(t)\)的定義域）。例1：求\(f(x)=\sqrt{\log_2(x-1)}+\frac{1}{x-2}\)的定義域。解：根號內(nèi)非負：\(\log_2(x-1)\geq0\Rightarrowx-1\geq1\Rightarrowx\geq2\)；分母≠0：\(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2\)；對數(shù)真數(shù)>0：\(x-1>0\Rightarrowx>1\)（已被上述條件覆蓋）。綜上，定義域為\((2,+\infty)\)。解題技巧：逐一列出所有限制條件，解不等式；復(fù)合函數(shù)定義域需“由內(nèi)到外”分析，或“由外到內(nèi)”反推（如求\(f(g(x))\)的定義域，需\(g(x)\inf(t)\)的定義域）。（二）值域的求解值域是函數(shù)值的集合，求解方法需根據(jù)函數(shù)類型選擇，常見方法如下：1.配方法（適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)）例2：求\(y=x^2-2x+3\)的值域。解：配方得\(y=(x-1)^2+2\)，因\((x-1)^2\geq0\)，故值域為\([2,+\infty)\)。2.換元法（適用于含根號、指數(shù)的函數(shù)）例3：求\(y=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解：令\(t=\sqrt{1-2x}\)（\(t\geq0\)），則\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\(y=\frac{1-t^2}{2}+t=-\frac{1}{2}(t-1)^2+1\)。因\(t\geq0\)，故\(y\leq1\)，值域為\((-\infty,1]\)。3.單調(diào)性法（適用于單調(diào)函數(shù)或分段單調(diào)函數(shù)）例4：求\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）的值域。解：求導(dǎo)得\(y'=1-\frac{1}{x^2}\)，當\(0<x<1\)時，\(y'<0\)，函數(shù)遞減；當\(x>1\)時，\(y'>0\)，函數(shù)遞增。故最小值為\(y(1)=2\)，值域為\([2,+\infty)\)。4.分離常數(shù)法（適用于分式函數(shù)）例5：求\(y=\frac{2x+1}{x-1}\)的值域。解：分離常數(shù)得\(y=2+\frac{3}{x-1}\)，因\(\frac{3}{x-1}\neq0\)，故\(y\neq2\)，值域為\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)。5.導(dǎo)數(shù)法（適用于復(fù)雜函數(shù)，如高次函數(shù)、超越函數(shù)）例6：求\(y=x^3-3x^2+2\)在\([-1,3]\)上的值域。解：求導(dǎo)得\(y'=3x(x-2)\)，極值點為\(x=0\)（極大值\(2\)）、\(x=2\)（極小值\(-2\)）。端點值：\(y(-1)=-2\)，\(y(3)=2\)。故值域為\([-2,2]\)。解題技巧：值域求解需“先定型，再定法”：二次函數(shù)→配方法；無理函數(shù)→換元法；分式函數(shù)→分離常數(shù)法或單調(diào)性法；復(fù)雜函數(shù)→導(dǎo)數(shù)法。二、函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）函數(shù)的基本性質(zhì)是高考的核心考點，常與圖像、導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查。（一）單調(diào)性單調(diào)性是函數(shù)值隨自變量變化的趨勢，判斷方法有定義法和導(dǎo)數(shù)法。1.定義法（適用于簡單函數(shù)）例7：判斷\(f(x)=x^3+2x\)的單調(diào)性。解：任取\(x_1<x_2\)，則\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3-x_1^3)+2(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2+2)\)。因\(x_2-x_1>0\)，\(x_2^2+x_1x_2+x_1^2+2>0\)，故\(f(x_2)>f(x_1)\)，函數(shù)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。2.導(dǎo)數(shù)法（適用于可導(dǎo)函數(shù)，高考常用）例8：求\(f(x)=x^2-4x+3\)的單調(diào)區(qū)間。解：求導(dǎo)得\(f'(x)=2x-4\)，令\(f'(x)>0\)，得\(x>2\)；令\(f'(x)<0\)，得\(x<2\)。故單調(diào)遞增區(qū)間為\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,2)\)。3.單調(diào)性的應(yīng)用比較大?。喝鏫(f(a)>f(b)\)（\(f\)遞增則\(a>b\)）；解不等式：如\(f(x)>f(2)\)（\(f\)遞增則\(x>2\)）；求值域：如單調(diào)函數(shù)的值域為端點值之間的區(qū)間。（二）奇偶性奇偶性是函數(shù)關(guān)于原點或y軸對稱的性質(zhì)，判斷步驟如下：1.檢查定義域是否關(guān)于原點對稱（若不對稱，則非奇非偶）；2.計算\(f(-x)\)，若\(f(-x)=f(x)\)，則為偶函數(shù)；若\(f(-x)=-f(x)\)，則為奇函數(shù)。1.常見奇偶函數(shù)奇函數(shù)：\(x^n\)（\(n\)為奇數(shù)）、\(\sinx\)、\(\tanx\)、\(\ln\frac{1+x}{1-x}\)；偶函數(shù)：\(x^n\)（\(n\)為偶數(shù)）、\(\cosx\)、\(|x|\)、\(e^x+e^{-x}\)。2.奇偶性的應(yīng)用簡化計算：如\(f(-a)=-f(a)\)（奇函數(shù)）；圖像對稱：奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；解不等式：如\(f(x)>0\)（奇函數(shù)可轉(zhuǎn)化為\(x>0\)時的情況）。例9：已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求\(f(x-1)>0\)的解集。解：\(f(0)=0\)，\((0,+\infty)\)上\(f(x)>0\Leftrightarrowx>0\)；因奇函數(shù)在\((-\infty,0)\)上遞增，故\((-\infty,0)\)上\(f(x)>0\Leftrightarrowx>0\)（矛盾）。綜上，\(x-1>0\Rightarrowx>1\)，解集為\((1,+\infty)\)。（三）周期性周期性是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)，定義為\(f(x+T)=f(x)\)（\(T>0\)，最小正周期）。1.常見周期函數(shù)三角函數(shù)：\(\sinx\)、\(\cosx\)周期為\(2\pi\)；\(\tanx\)周期為\(\pi\)；遞推周期：如\(f(x+2)=-f(x)\)，則周期為\(4\)（\(f(x+4)=f(x)\)）。2.周期的計算例10：已知\(f(x+1)=-f(x)\)，求\(f(x)\)的周期。解：\(f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x)\)，故周期為\(2\)。3.周期性的應(yīng)用簡化計算：如\(f(2023)=f(2023-kT)\)（\(k\)為整數(shù)）；圖像繪制：只需繪制一個周期內(nèi)的圖像，重復(fù)即可。三、函數(shù)的圖像與變換函數(shù)圖像是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，高考中常考查圖像識別（如根據(jù)性質(zhì)判斷圖像）、圖像變換（平移、伸縮、對稱）。（一）基本函數(shù)的圖像函數(shù)類型圖像特征一次函數(shù)\(y=kx+b\)直線，斜率\(k\)決定傾斜方向二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)拋物線，開口方向由\(a\)決定指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a>0\)且≠1）過\((0,1)\)，\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且≠1）過\((1,0)\)，\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減三角函數(shù)\(y=\sinx\)正弦曲線，周期\(2\pi\)，值域\([-1,1]\)（二）圖像變換規(guī)律圖像變換包括平移、伸縮、對稱，核心是“變量替換”。1.平移變換（左加右減，上加下減）向左平移\(h\)個單位：\(y=f(x)\toy=f(x+h)\)；向右平移\(h\)個單位：\(y=f(x)\toy=f(x-h)\)；向上平移\(k\)個單位：\(y=f(x)\toy=f(x)+k\)；向下平移\(k\)個單位：\(y=f(x)\toy=f(x)-k\)。2.伸縮變換橫向伸縮（橫坐標變?yōu)樵瓉淼腬(1/\omega\)倍）：\(y=f(x)\toy=f(\omegax)\)（\(\omega>0\)）；縱向伸縮（縱坐標變?yōu)樵瓉淼腬(A\)倍）：\(y=f(x)\toy=Af(x)\)（\(A>0\)）。3.對稱變換關(guān)于x軸對稱：\(y=f(x)\toy=-f(x)\)；關(guān)于y軸對稱：\(y=f(x)\toy=f(-x)\)；關(guān)于原點對稱：\(y=f(x)\toy=-f(-x)\)；關(guān)于直線\(y=x\)對稱：\(y=f(x)\toy=f^{-1}(x)\)（反函數(shù)）。例11：將\(y=\sinx\)變換為\(y=2\sin(3x+\pi/4)\)，步驟如下：向左平移\(\pi/4\)：\(y=\sin(x+\pi/4)\)；橫向壓縮為1/3：\(y=\sin(3x+\pi/4)\)；縱向拉伸為2倍：\(y=2\sin(3x+\pi/4)\)。解題技巧：平移變換是“針對x本身”，故若先伸縮再平移，平移量需除以伸縮倍數(shù)（如\(y=\sin3x\toy=\sin(3(x+\pi/12))=\sin(3x+\pi/4)\)，平移量為\(\pi/12\)）。（三）圖像的應(yīng)用判斷零點個數(shù)：通過圖像與x軸的交點數(shù)判斷；求參數(shù)范圍：如\(f(x)=ax+b\)與\(g(x)=\lnx\)有兩個交點，求\(a\)的范圍；比較大?。和ㄟ^圖像高低判斷函數(shù)值大小。四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)（重點與難點）導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，高考中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的結(jié)合是解答題的核心（如求切線方程、單調(diào)區(qū)間、極值、最值）。（一）導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)\(f'(x_0)\)表示函數(shù)在\(x_0\)處的切線斜率，切線方程為：\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)。例12：求\(f(x)=x^2+1\)在\(x=1\)處的切線方程。解：\(f(1)=2\)，\(f'(x)=2x\)，故斜率為\(f'(1)=2\)。切線方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(y=2x\)。（二）導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性若\(f'(x)>0\)在區(qū)間\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上遞增；若\(f'(x)<0\)在區(qū)間\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上遞減。例13：求\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間。解：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)，遞增；\(0<x<2\)時，\(f'(x)<0\)，遞減；\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)，遞增。故遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)，遞減區(qū)間為\((0,2)\)。（三）導(dǎo)數(shù)與極值極值是函數(shù)在局部區(qū)間的最大值或最小值，判斷步驟：1.求導(dǎo)得\(f'(x)\)；2.找極值點（\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\)不存在的點）；3.判斷極值點左右導(dǎo)數(shù)符號：左正右負→極大值；左負右正→極小值。例14：求\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值。解：由例13，極值點為\(x=0\)、\(x=2\)。\(x=0\)處：左正右負，極大值為\(f(0)=2\)；\(x=2\)處：左負右正，極小值為\(f(2)=-2\)。（四）導(dǎo)數(shù)與最值閉區(qū)間\([a,b]\)上的最值為端點值與極值中的最大值或最小值。例15：求\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在\([-1,3]\)上的最值。解：端點值：\(f(-1)=-2\)，\(f(3)=2\)；極值：\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)。故最大值為\(2\)（\(x=0\)或\(x=3\)），最小值為\(-2\)（\(x=-1\)或\(x=2\)）。五、函數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用函數(shù)是連接各知識點的橋梁，高考中常與方程、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)綜合考查。（一）函數(shù)與方程（零點問題）函數(shù)\(f(x)\)的零點即方程\(f(x)=0\)的解，判斷零點個數(shù)的方法：1.單調(diào)性+極值：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)，且\(f(a)f(b)<0\)，則有一個零點；2.圖像法：繪制\(f(x)\)的圖像，看與x軸的交點數(shù)；3.零點存在定理：若\(f(a)f(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)有零點。例16：判斷\(f(x)=x^3-3x+1\)的零點個數(shù)。解：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，極值點為\(x=1\)（極小值\(-1\)）、\(x=-1\)（極大值\(3\)）。\(x\to-\infty\)時，\(f(x)\to-\infty\)；\(x\to+\infty\)時，\(f(x)\to+\infty\)；極大值\(3>0\)，極小值\(-1<0\)，故有3個零點。（二）函數(shù)與不等式證明不等式\(f(x)>g(x)\)的常用方法：1.構(gòu)造函數(shù)\(h(x)=f(x)-g(x)\)，證明\(h(x)\geq0\)；2.利用函數(shù)的單調(diào)性，證明\(h(x)\)的最小值≥0。例17：證明當\(x>0\)時，\(x>\ln(x+1)\)。解：令\(h(x)=x-\ln(x+1)\)，\(h'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}\)。當\(x>0\)時，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)遞增；\(h(0)=0\)，故\(h(x)>0\)，即\(x>\ln(x+1)\)。（三）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)（定義域為正整數(shù)集），故可利用函數(shù)性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性、最值。例18：求數(shù)列\(zhòng)(a_n=n+\frac{100}{n}\)的最小值。解：令\(f(x)=x+\frac{100}{x}\)（\(x>0\)），\(f'(x)=1-\frac{100}{x^2}\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=10\)。\(x<10\)時，\(f'(x)<0\)，遞減；\(x>10\)時，\(f'(x)>0\)，遞增。故\(f(x)\)在\(x=10\)處取得最小值\(20\)，數(shù)列\(zhòng)(a_n\)的最小值為\(a_{10}=20\)