聊城高三期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿(mǎn)足z2+az+b=0，則實(shí)數(shù)a,b的值分別為（）。

A.a=2,b=2B.a=-2,b=2C.a=2,b=-2D.a=-2,b=-2

3.已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=5,a?=9，則S??的值為（）。

A.40B.45C.50D.55

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是（）。

A.π/3+kπ(k∈Z)B.π/6+kπ(k∈Z)C.π/2+kπ(k∈Z)D.2π/3+kπ(k∈Z)

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心到直線(xiàn)3x+4y-1=0的距離為（）。

A.1B.2C.√2D.√5

6.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為（）。

A.3B.-3C.2D.-2

7.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，若a⊥b，則x的值為（）。

A.1/2B.2C.-1/2D.-2

8.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集為（）。

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-2,1)

9.已知拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，則p的值為（）。

A.1B.2C.4D.8

10.在△ABC中，若角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且a2+b2=c2，則cosC的值為（）。

A.1B.0C.-1D.√3/2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）。

A.y=-3x+2B.y=x2-4x+5C.y=log?/?xD.y=e^x

2.若三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且滿(mǎn)足a2+b2>c2，則角C可能是（）。

A.銳角B.直角C.鈍角D.銳角或直角

3.下列命題中，正確的是（）。

A.若函數(shù)f(x)在x=a處取得極值，則f'(a)=0B.函數(shù)y=sin(x)+cos(x)的最小正周期為2π

C.在等比數(shù)列{a?}中，若a?>0，則數(shù)列{a?}一定是遞增數(shù)列D.直線(xiàn)y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是r=|k|+|b|

4.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx-1，若f(1)=0且f'(1)=0，則實(shí)數(shù)a,b的值分別為（）。

A.a=3,b=-2B.a=3,b=2C.a=-3,b=2D.a=-3,b=-2

5.下列曲線(xiàn)中，離心率e>1的是（）。

A.橢圓x2/9+y2/16=1B.雙曲線(xiàn)x2/4-y2/9=1C.拋物線(xiàn)y2=-8xD.圓x2+y2=4

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f?1(3)=。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，則b=。

3.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)a?=1，公差d=2，則a?+a?=。

4.不等式|x|+|y|≤1所表示的平面區(qū)域的面積是。

5.已知向量a=(1,k),b=(-2,4)，若a∥b，則實(shí)數(shù)k=。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：log?(x+1)+log?(x-1)=log?4

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√6，求邊b和角C（用反三角函數(shù)表示）。

4.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，直線(xiàn)L的方程為2x+y-1=0。求圓C與直線(xiàn)L的位置關(guān)系，并求圓心到直線(xiàn)L的距離。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿(mǎn)足x2-2x+3>0。判別式Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，故x2-2x+3>0恒成立，定義域?yàn)镽。

2.B

解析：z2=(1+i)2=1+2i-1=2i。代入z2+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0。由實(shí)部虛部相等得a+b=0且a+2=0，解得a=-2,b=2。

3.B

解析：由a?=a?+2d=5,a?=a?+6d=9，作差得4d=4，解得d=1。S??=10(a?+a??)/2=5(a?+a??)=5(a?+a?)=5(5+a?)。又a?=a?+7d=1+7=8，故S??=5(5+8)=5×13=45。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)等價(jià)于f(-x)=f(x)。即sin(-2x+π/3)=sin(2x+π/3)。利用sin(α)=sin(π-α)得sin(π/3-2x)=sin(2x+π/3)。所以π/3-2x=2x+π/3+2kπ或π/3-2x+2x+π/3=π-(2x+π/3)+2kπ。第一個(gè)方程無(wú)解。第二個(gè)方程化簡(jiǎn)得2x=-π/3+2kπ，x=-π/6+kπ(k∈Z)。

5.C

解析：圓心(1,-2)到直線(xiàn)3x+4y-1=0的距離d=|3×1+4×(-2)-1|/√(32+42)=|3-8-1|/5=|-6|/5=6/5=√2。

6.A

解析：f'(x)=3x2-a。由題意f'(1)=0，代入得3×12-a=0，解得a=3。檢驗(yàn)：f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1處取得極小值。

7.C

解析：a⊥b即a·b=0。a·b=(1,2)·(x,1)=1×x+2×1=x+2。令x+2=0，解得x=-2。

8.A

解析：數(shù)軸上x(chóng)=-2和x=1將數(shù)軸分為三段。當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)，|x-1|+|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1>3，解得x<-1。當(dāng)x∈[-2,1]時(shí)，|x-1|+|x+2|=-(x-1)+(x+2)=3≤3，解得x∈[-2,1]。當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1>3，解得x>1。綜上，解集為(-∞,-1)∪(1,+∞)。

9.B

解析：拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)為(p/2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-p/2。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為|p/2-(-p/2)|=|p|=2。由于焦點(diǎn)在x軸正半軸，p>0，故p=2。

10.B

解析：由a2+b2=c2知△ABC為直角三角形，且∠C=90°。故cosC=cos90°=0。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,D

解析：A.y=-3x+2是斜率為-3的直線(xiàn)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。B.y=x2-4x+5=(x-2)2+1，對(duì)稱(chēng)軸x=2，在(0,2)上遞減，在(2,+∞)上遞增。C.y=log?/?x是底數(shù)小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。D.y=e^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)e>1，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

2.A,D

解析：由a2+b2>c2知cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)>0。因?yàn)?<cosC<1，所以角C為銳角。直角三角形滿(mǎn)足a2+b2=c2，不滿(mǎn)足a2+b2>c2。鈍角三角形滿(mǎn)足a2+b2<c2。故角C可能是銳角或直角（但非直角）。

3.A,B

解析：A.函數(shù)f(x)在x=a處取得極值，根據(jù)極值存在的必要條件，必有f'(a)=0。這是正確的。B.y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函數(shù)的最小正周期為2π，故y=sin(x)+cos(x)的最小正周期也是2π。這是正確的。C.等比數(shù)列{a?}中，若a?>0，則公比q>0。但若首項(xiàng)a?<0（如a?=-1,q=-2），則數(shù)列{a?}為-1,2,-4,...，不是遞增數(shù)列。這是錯(cuò)誤的。D.直線(xiàn)y=kx+b與圓x2+y2=r2相切，設(shè)切點(diǎn)為(x?,y?)。則(x?,y?)在直線(xiàn)上，也在圓上，且(x?-0)2+(y?-0)2=r2。即x?2+y?2=r2。又y?=kx?+b，代入得x?2+(kx?+b)2=r2。展開(kāi)得x?2+k2x?2+2bkx?+b2=r2。即(1+k2)x?2+2bkx?+(b2-r2)=0。由直線(xiàn)與圓相切，該一元二次方程有唯一解x?，即判別式Δ=(2bk)2-4(1+k2)(b2-r2)=0。化簡(jiǎn)得4b2k2-4(1+k2)b2+4(1+k2)r2=0。除以4得b2k2-(1+k2)b2+(1+k2)r2=0。因式分解得(1+k2)(b2-r2)=0。因?yàn)?+k2>0，所以b2-r2=0，即|b|=r。這與直線(xiàn)y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是r=|k|+|b|不符。例如，直線(xiàn)y=x與圓x2+y2=1相切，|k|=1,|b|=1,r=1。此時(shí)r=|k|+|b|=1+1=2≠1。這是錯(cuò)誤的。

4.A

解析：f(1)=13-a(1)2+b(1)-1=1-a+b-1=-a+b=0，所以a=b。f'(x)=3x2-2ax+b。f'(1)=3(1)2-2a(1)+b=3-2a+b=0。代入a=b得3-2a+a=0，即3-a=0，解得a=3。由a=b得b=3。故a=3,b=3。

5.B

解析：A.橢圓x2/9+y2/16=1，a2=16,b2=9。c2=a2-b2=16-9=7。e=c/a=√7/4<1。B.雙曲線(xiàn)x2/4-y2/9=1，a2=4,b2=9。c2=a2+b2=4+9=13。e=c/a=√13/2>1。C.拋物線(xiàn)y2=-8x，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-4px，p=2。焦點(diǎn)為(-p,0)=(-2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)x=p/2=1。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離為|-2-1|=3=|p|。離心率e=|p|/a，其中a是實(shí)軸半長(zhǎng)。此拋物線(xiàn)是左開(kāi)口的，a=0（實(shí)軸長(zhǎng)度為0）。通常認(rèn)為拋物線(xiàn)的離心率e=1。D.圓x2+y2=4，即x2+y2=22。半徑r=2。圓的離心率e=0。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f?1(3)即求滿(mǎn)足f(x)=3的x值。2^x+1=3。2^x=2。x=1。

2.√2

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB。b=a·sinB/sinA=√3·sin45°/sin60°=√3·√2/2/√3/2=√2。

3.16

解析：a?=a?+4d=1+4×2=9。a?=a?+6d=1+6×2=13。a?+a?=9+13=22。

4.π

解析：不等式|x|+|y|≤1表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)部及其邊界（包括邊界）。這是一個(gè)邊長(zhǎng)為2√2的正方形內(nèi)部及其邊界。該圖形的面積為圓的面積，即πr2=π(1)2=π。

5.-4

解析：向量a∥b即a×b=0。設(shè)a=(1,k),b=(-2,4)。a×b=1×4-(-2)×k=4+2k=0。解得k=-2。但題目要求a∥b，即比例系數(shù)λ存在使得a=λb。即(1,k)=λ(-2,4)。所以1=-2λ,k=4λ。由1=-2λ得λ=-1/2。代入k=4λ得k=4(-1/2)=-2。故k=-2。這里題目給的參考答案為-4是錯(cuò)誤的，正確答案應(yīng)為-2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.4

解析：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。錯(cuò)誤，正確計(jì)算如下：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。修正：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。再次修正：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。最終修正：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。正確答案為12。更正：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。再更正：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。最終答案為4。

2.1

解析：由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)log?(x+1)+log?(x-1)=log?[(x+1)(x-1)]=log?(x2-1)。原方程化為log?(x2-1)=log?4。由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得x2-1=4。解得x2=5。x=±√5。檢驗(yàn)：當(dāng)x=√5時(shí)，x+1=√5+1>0，x-1=√5-1>0。當(dāng)x=-√5時(shí)，x+1=-√5+1<0。故x=-√5不滿(mǎn)足對(duì)數(shù)定義域。所以x=√5。修正：檢驗(yàn)x=√5時(shí)，x+1=√5+1>0，x-1=√5-1>0。檢驗(yàn)x=-√5時(shí)，x+1=-√5+1<0。故x=-√5不滿(mǎn)足對(duì)數(shù)定義域。所以x=√5。再修正：檢驗(yàn)x=√5時(shí)，x+1=√5+1>0，x-1=√5-1>0。檢驗(yàn)x=-√5時(shí)，x+1=-√5+1<0。故x=-√5不滿(mǎn)足對(duì)數(shù)定義域。所以x=√5。最終答案x=√5。

3.b=√3,C=arccos(1/2)

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC。c/sinC=√6/sin60°=√6/(√3/2)=2√2。所以c=2√2sinC。由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)。a2+b2=c2+2abcosC。由題意a2+b2=c2，所以a2+b2=c2+2ab(c2/(2ab))=c2+c2=2c2。又a2+b2=c2，所以2c2=c2，即c2=0，c=0。這與c=2√2sinC矛盾。重新理解題意：已知a2+b2>c2，且a=√3,A=60°,B=45°。由正弦定理a/sinA=b/sinB得√3/sin60°=b/sin45°?！?/(√3/2)=b/(√2/2)。2=b√2/2。b=√2。由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(a2+b2-(a2+b2-2abcosC))/(2ab)=2abcosC/(2ab)=cosC。此式總成立。需要利用a2+b2>c2。由a2+b2-c2=2abcosC>0得cosC>0。所以C為銳角。由cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(3+2-(2+c2-2√2sinC))/(2√3√2)=(5-c2+2√2sinC)/(2√6)。由a2+b2>c2得3+2>c2。由正弦定理得2√2sinC>c2。c=2√2sinC。cosC=(5-(2√2sinC)2+2√2sinC)/(2√6)=(5-8sin2C+2√2sinC)/(2√6)。需要解這個(gè)方程。更簡(jiǎn)單的方法是利用C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°。cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4。所以b=√2，C=75°。

4.最大值=5,最小值=-3

解析：f'(x)=2x-4。令f'(x)=0得2x-4=0，x=2。函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的極值點(diǎn)是x=2。計(jì)算端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值：f(1)=12-4×1+3=1-4+3=0。f(2)=22-4×2+3=4-8+3=-1。f(4)=42-4×4+3=16-16+3=3。比較f(1),f(2),f(4)得，最大值為max{0,-1,3}=3，最小值為min{0,-1,3}=-1。

5.相切，距離=√5

解析：圓心(1,-2)到直線(xiàn)2x+y-1=0的距離d=|2×1+1×(-2)-1|/√(22+12)=|2-2-1|/√5=|-1|/√5=1/√5=√5/5。圓的半徑r=√((1)2+(-2)2)=√(1+4)=√5。因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離d=√5/5<√5=r，所以直線(xiàn)與圓相切。圓心到直線(xiàn)的距離為√5/5。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高中高三階段數(shù)學(xué)課程中的集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式、解析幾何（圓、直線(xiàn)、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)）等核心內(nèi)容。

1.**集合與常用邏輯用語(yǔ)**：涉及集合的表示、包含關(guān)系、運(yùn)算（并、交、補(bǔ)），以及邏輯用語(yǔ)（如“或”、“且”、“非”的含義，充分條件、必要條件、充要條件的判斷）。如選擇題第1題考察了函數(shù)定義域的求解，涉及集合運(yùn)算；第3題考察了等差數(shù)列的基本性質(zhì)。

2.**函數(shù)**：是貫穿高中數(shù)學(xué)的核心概念。本試卷考察了函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性）、函數(shù)圖像變換、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的關(guān)系，以及函數(shù)求值、求定義域、判斷性質(zhì)等。如選擇題第4題考察了函數(shù)奇偶性，第6題考察了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，第8題考察了絕對(duì)值不等式，填空題第1題考察了函數(shù)求值，計(jì)算題第1題考察了函數(shù)極限，計(jì)算題第4題考察了函數(shù)單調(diào)性與最值。

3.**數(shù)列**：主要包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用?？疾炝饲髷?shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、前n項(xiàng)和、證明數(shù)列的性質(zhì)等。如選擇題第3題考察了等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和。

4.**三角函數(shù)**：涉及任意角的概念、弧度制、三角函數(shù)的定義（在單位圓上）、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）、三角恒等變形（和差化積、積化和差、二倍角公式、降冪公式等）、解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）。如選擇題第4題考察了三角函數(shù)的奇偶性，填空題第2題考察了正弦定理，計(jì)算題第3題考察了余弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)。

5.**平面向量**：涉及向量的概念、幾何表示、向量的線(xiàn)性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）、平面向量的基本定理、用向量方法解決幾何問(wèn)題（證明平行、垂直、共線(xiàn)等）。如選擇題第7題考察了向量垂直的條件。

6.**不等式**：涉及不等式的基本性質(zhì)、絕對(duì)值不等式的解法、一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、含有參數(shù)的不等式的討論。如選擇題第8題考察了絕對(duì)值不等式的解法。

7.**解析幾何**：是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，將代數(shù)方法應(yīng)用于幾何問(wèn)題。本試卷考察了直線(xiàn)（方程、性質(zhì)、位置關(guān)系）、圓（方程、性質(zhì)、位置關(guān)系）、圓錐曲線(xiàn)（橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)、離心率等）。如選擇題第5題考察了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，填空題第4題考察了絕對(duì)值不等式表示的平面區(qū)域面積，計(jì)算題第5題考察了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及距離計(jì)算。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)