專(zhuān)題11解三角形綜合壓軸小題歸類(lèi)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：三角形幾解求參 1題型二：判斷三角形形狀：化角為邊型 2題型三：判斷三角形形狀：化邊為角型 3題型四：面積公式的應(yīng)用 3題型五：求邊長(zhǎng)或者周長(zhǎng) 4題型六：解三角形求角度 5題型七：范圍與最值：知角和邊求周長(zhǎng) 6題型八：范圍與最值：知角和邊求面積 7題型九：范圍與最值：判斷角型 8題型十：范圍與最值：無(wú)長(zhǎng)度求比值型 9題型十一：范圍與最值：正切型最值 9題型十二：正余弦定理與三角形外心 10題型十三：正余弦定理與角平分線(xiàn) 11題型十四：正余弦定理與中線(xiàn) 12題型十五：正余弦定理與三角形高 14題型十六：解三角形綜合應(yīng)用 15題型一：三角形幾解求參判斷判斷三角形解的個(gè)數(shù)有2種：畫(huà)圖法：以已知角的對(duì)邊為半徑畫(huà)弧，通過(guò)與鄰邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷解的個(gè)數(shù)。①若無(wú)交點(diǎn)，則無(wú)解；②若有一個(gè)交點(diǎn)，則有一個(gè)解；③若有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩個(gè)解；④若交點(diǎn)重合，雖然有兩個(gè)交點(diǎn)，但只能算作一個(gè)解。公式法：運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解。①a＝bsinA，△＝0，則一個(gè)解；②a＞bsinA，△＞0，則兩個(gè)解；③a＜bsinA，△＜0，則無(wú)解。1．（23-24高三·陜西榆林·）在中，角的對(duì)邊分別為，，，若，，只有一個(gè)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·江蘇南通·）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若滿(mǎn)足條件，的有兩個(gè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）命題：“若與滿(mǎn)足：，則”．已知命題是真命題，則的值不可以是（

）A．1 B．2 C． D．4．（23-24高三下·浙江·）在中，，且滿(mǎn)足該條件的有兩個(gè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（22-23高三·北京）已知在中，，若滿(mǎn)足條件的三角形有且只有一個(gè)，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或題型二：判斷三角形形狀：化角為邊型正余弦定理：化角為邊型正余弦定理：化角為邊型若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；1．（2021高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形2．（20-21高三·上海浦東新·）已知的三條邊和與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角滿(mǎn)足等式則此三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形3．（18-19高三·四川雅安·階段練習(xí)）在△ABC中，，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形但一定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但一定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形4．（23-24高三·江蘇徐州）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．（23-24高三·安徽蕪湖·）已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，下列關(guān)于的形狀判斷一定正確的為（

）A．，則為直角三角形B．，則為等腰三角形C．，則為直角三角形D．，則為等腰三角形題型三：判斷三角形形狀：化邊為角型正余弦定理：化邊為角型正余弦定理：化邊為角型（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；1．（22-23高三·上海青浦·階段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）若，則是等腰三角形；（2）若，則是直角三角形；（3）若，則是鈍角三角形；（4）若，則是等邊三角形．A．1 B．2 C．3 D．42．（22-23高三·福建福州·）中三個(gè)角的對(duì)邊分別記為a、b、c，其面積記為S，有以下命題：①；②若，則是等腰直角三角形；③；④，則是等腰或直角三角形.其中正確的命題是A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3．（23-24高三·重慶·）中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形4．（23-24高三·廣東廣州·）在中，角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2024·山東·二模）在中，設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)甲：，設(shè)乙：是直角三角形，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件題型四：面積公式的應(yīng)用三角形面積三角形面積，不僅僅有常見(jiàn)的“底乘高”，還有以下：①S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R) ②S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圓的半徑)1．（23-24高三·重慶·）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，設(shè)角、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．23．（2023·海南·二模）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知,,,則的面積A． B． C． D．4．（21-22高三上·江西宜春·）在ΔABC中,角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，且，則ΔABC的面積為A． B． C．或 D．或5．（23-24高三·廣西百色）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則的面積為（

）A． B． C． D．題型五：求邊長(zhǎng)或者周長(zhǎng)解三角形，主解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，還考查三角形面積公式，兩角差的正弦公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，正切函數(shù)性質(zhì)等等．注意正弦定理在進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換時(shí)等式必須是齊次，關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換．求范圍問(wèn)題，通常是把量表示為三角形某個(gè)角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論．1．（23-24高三·湖北黃岡·）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，，為鈍角，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（23-24高三·江蘇淮安·）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．63．（23-24高三·山西長(zhǎng)治·）在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，，則（

）A． B． C．2 D．4．（23-24高三·四川成都）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．55．（23-24高三·江蘇南京）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．6 B．3 C． D．題型六：解三角形求角度求三角形角度，要涉及到角的銳鈍的判斷，可以通過(guò)余弦值的正負(fù)判斷。如果不能直接判斷，那么借助其他角來(lái)判斷。如涉及到銳角三角形，則三個(gè)角都要轉(zhuǎn)化判斷銳鈍。求三角形角度，要涉及到角的銳鈍的判斷，可以通過(guò)余弦值的正負(fù)判斷。如果不能直接判斷，那么借助其他角來(lái)判斷。如涉及到銳角三角形，則三個(gè)角都要轉(zhuǎn)化判斷銳鈍。1．（23-24高三下·江蘇南京）在中，已知分別為角的對(duì)邊．若，且，則（

）A． B． C． D．或2．（23-24高三·青海西寧）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則的大小為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三·安徽蚌埠）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高三·江蘇·假期作業(yè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，則（

）A．或 B． C．或 D．或題型七：范圍與最值：知角和邊求周長(zhǎng)解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值1．（23-24高三·江蘇淮安）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·黑龍江大慶）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，若，且，則能取到的值有（

）A．5 B．4 C． D．34．（22-23高三·福建福州）設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（22-23高三上·福建泉州·開(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型八：范圍與最值：知角和邊求面積三角形面積三角形面積，不僅僅有常見(jiàn)的“底乘高”，還有以下：①S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R) ②S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圓的半徑)1．（23-24高三·山東淄博）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·山東聊城）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則面積的最大值為（

）A． B．1 C． D．3．（23-24高三·陜西渭南·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．4．（22-23高三下·山西·階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．5．（20-21高三·安徽·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，且.若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．題型九：范圍與最值：判斷角型求復(fù)合型角，求復(fù)合型角，以給了函數(shù)值的角度為基角來(lái)拆角。討論基角的范圍，確認(rèn)基角的正余弦值符號(hào)所求復(fù)合型角的范圍，以及對(duì)應(yīng)的正（或者余）弦符號(hào)，確認(rèn)對(duì)應(yīng)復(fù)合型角度1．（23-24高三·廣東湛江·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，若為銳角三角形，則角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·湖南株洲·期末）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三·江蘇連云港）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角的最大值是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三·上海）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿(mǎn)足，則角的范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知角的對(duì)邊分別為滿(mǎn)足，則角的最大值為（

）A． B． C． D．題型十：范圍與最值：無(wú)長(zhǎng)度求比值型解三角形：最值范圍解三角形：最值范圍1、可以用余弦定理+均值不等式來(lái)求解。2、可以利用正弦定理，結(jié)合角與角所對(duì)應(yīng)的邊，轉(zhuǎn)化為角的形式，再進(jìn)行三角恒等邊形，化一，求解最值與范圍，要注意三角形是否有“銳角、鈍角”三角形的角度范圍限制1．（23-24高三·江蘇南京·階段練習(xí)）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·吉林）已知銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三·陜西商洛）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高三·湖北·階段練習(xí)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（23-24高三·江蘇南通）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十一：范圍與最值：正切型最值1.正切主要恒等式：1.正切主要恒等式：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))正切和差公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.2.在三角形中，1．（23-24高三上·四川南充·階段練習(xí)）的周長(zhǎng)為18，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．42．（2022·黑龍江哈爾濱·二模）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為.4．（22-23高三下·四川南充·開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為5．（21-22高三上·江蘇南通·）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則的最小值是．題型十二：正余弦定理與三角形外心三角形所在的外接圓的處理方法：三角形所在的外接圓的處理方法：1.外接圓的圓心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑1．（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，D為邊AC上一點(diǎn)，，若的外心恰在線(xiàn)段BD上，則．2．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）在鈍角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A＞，a＝2，點(diǎn)O為△ABC的外心，△OBC的面積為，則△OAB與△OAC的面積之和的最大值為．3．（17-18高三·湖南·開(kāi)學(xué)考試）若點(diǎn)是等腰的外心，且，底邊，則的面積是．4．（22-23高三·四川達(dá)州）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足，，若M為的外心，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于D，且，則=；的面積為.5．（22-23高三·湖北·階段練習(xí)）在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，則的余弦值為.題型十三：正余弦定理與角平分線(xiàn)內(nèi)切圓圓心，是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心，是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則.1．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若AD是的角平分線(xiàn)，則，該結(jié)論由英國(guó)數(shù)學(xué)家斯庫(kù)頓發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)之為斯庫(kù)頓定理，常用于解決三角形中的一些角平分線(xiàn)問(wèn)題．若圖中，在內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好落在內(nèi)的概率為（

）

A． B． C． D．2．（2023·青海玉樹(shù)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，為的角平分線(xiàn)，且，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（22-23高三·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分線(xiàn)，，，E是AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．4．（21-22高三上·浙江·階段練習(xí)）已知內(nèi)接于半徑為2的，內(nèi)角A，B，C的角平分線(xiàn)分別與相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，若，則A．1 B．2 C．3 D．45．（21-22高三·河北保定）在ΔABC中，，為邊上的一點(diǎn)，且，若為的角平分線(xiàn)，則的取值范圍為A．B．C． D．題型十四：正余弦定理與中線(xiàn)中線(xiàn)的處理方法中線(xiàn)的處理方法1.向量法：補(bǔ)全為平行四邊形。再轉(zhuǎn)而在新三角形中用正余弦定理2.余弦定理法（補(bǔ)角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)?，所以所以?②式即可3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線(xiàn)，補(bǔ)形為平行四邊形中線(xiàn)分割的倆三角形面積相等1．（23-24高三·海南海口）中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，邊上的中線(xiàn)為，則的面積為（

）A． B． C．3 D．42．（23-24高三·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，若邊上的中線(xiàn)，則的外接圓面積是（

）A． B． C． D．3．（22-23高三·四川成都）如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線(xiàn)，相交于點(diǎn)P，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．4．（20-21高三四川自貢·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，為中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在等腰中，，邊上的中線(xiàn)