1/43.1數(shù)系的擴(kuò)充【教學(xué)目標(biāo)】1．經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求．2．理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件．3．使學(xué)生感悟與體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)的引入與復(fù)數(shù)的分類．【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)概念的引入．【教學(xué)過(guò)程】一、問(wèn)題情境：?jiǎn)栴}的提出：將數(shù)字10分成兩部分，使他們的乘積等于40，求這兩部分？（讓學(xué)生展開討論，提出解決問(wèn)題的方案，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：由于負(fù)數(shù)不能開平方，從而該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解．）二、學(xué)生活動(dòng)被譽(yù)為最后一位數(shù)學(xué)通才的彭加勒曾說(shuō)：“若想預(yù)見數(shù)學(xué)的未來(lái)，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀”．現(xiàn)在，還是先讓我們沿著歷史的足跡，重溫?cái)?shù)的發(fā)展歷程即數(shù)系不斷擴(kuò)充的過(guò)程?。ò鍟n題）（與學(xué)生一起回顧數(shù)學(xué)史，經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程．）1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐與社會(huì)發(fā)展的需要．（1）計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)．（2）為了表示具有相反意義的量引入了負(fù)數(shù)，數(shù)集由自然數(shù)集擴(kuò)充為整數(shù)集．（3）為了測(cè)量與分配的需要，引入了分?jǐn)?shù)，數(shù)集由整數(shù)集擴(kuò)充為有理數(shù)集．（4）第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，使人們發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，數(shù)集由有理數(shù)集擴(kuò)充為實(shí)數(shù)集．2．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求．從數(shù)學(xué)內(nèi)部來(lái)看，數(shù)集是在按某種“規(guī)則”不斷擴(kuò)充的，不妨以解方程為例：?jiǎn)栴}1：在自然數(shù)集中方程有自然數(shù)解嗎？問(wèn)題2：在整數(shù)集中方程有自然數(shù)解嗎？問(wèn)題3：在整數(shù)集中方程有解嗎？問(wèn)題4：在有理數(shù)集中方程有解嗎？點(diǎn)評(píng)：從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集：（1）每一次數(shù)的概念的發(fā)展，新的數(shù)集都是在原來(lái)數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來(lái)的．（2）在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來(lái)數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾．三、意義建構(gòu)1．?dāng)?shù)集進(jìn)一步擴(kuò)充的必要性問(wèn)題5：方程有實(shí)數(shù)解嗎？說(shuō)明：面臨方程無(wú)解，負(fù)數(shù)不能開平方的問(wèn)題，表明數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展，實(shí)數(shù)集需要進(jìn)一步擴(kuò)充．2．實(shí)數(shù)集擴(kuò)充的方法（1）引入新數(shù)數(shù)集每一次的擴(kuò)充，都引入了一種新數(shù)，使得到的新的數(shù)集包含了擴(kuò)充前的舊數(shù)集．因此，實(shí)數(shù)集再擴(kuò)充，就要引入新數(shù)．（2）引入虛數(shù)=1\*GB3①歷史回顧：1545年，卡爾丹在《大衍術(shù)》中寫道：“要把10分成兩部分，使二者乘積為40，這是不可能的，不過(guò)我卻用下列方式解決了.”能作為“數(shù)”嗎？它表示什么意義呢？=2\*GB3②1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒給這樣的新數(shù)起名為虛數(shù)，即“虛的數(shù)”與“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)．（3）認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)=1\*GB3①引入虛數(shù)后，數(shù)系又?jǐn)U充為什么樣的數(shù)集呢？=2\*GB3②1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其論文中首次用符號(hào)“i”,它滿足：i，且稱為虛數(shù)單位．四、數(shù)學(xué)理論1．引入一個(gè)新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：（1）i；（說(shuō)明是方程的的一個(gè)根）（2）實(shí)數(shù)可以與進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．2．復(fù)數(shù)的定義：形如i的數(shù)叫復(fù)數(shù)，用字母C表示，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集．3．認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)集提出問(wèn)題：復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集有什么關(guān)系？師生互動(dòng)：對(duì)于復(fù)數(shù)i，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；特別地，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．點(diǎn)評(píng)：（1）實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，即RC．（2）引入虛數(shù)后，實(shí)數(shù)和虛數(shù)合稱為復(fù)數(shù)，數(shù)系又由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集了．五、數(shù)學(xué)運(yùn)用1．理解概念：（1）練習(xí)：說(shuō)明下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)：．（2）練習(xí)：判斷下列命題是否正確：①若a，b為實(shí)數(shù)，則必為虛數(shù)（F）②若b為實(shí)數(shù)，則必為純虛數(shù)（F）③若a為實(shí)數(shù)，則z=a一定不是復(fù)數(shù)（F）2．簡(jiǎn)單應(yīng)用：例1．實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？反思1：是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充分條件嗎？反思2：例1中，實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是6+2i?（引出復(fù)數(shù)相等的充要條件）3．復(fù)數(shù)相等問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生由反思2得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件．復(fù)數(shù)相等的充要條件：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，反之亦然．即：，．例2．已知，求x與y．解題反思：解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的一種基本方法——復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化．4．隨堂練習(xí)（學(xué)生板演）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)（4）（5）六、回顧反思與學(xué)生一起小結(jié)本課所學(xué)知識(shí)，并進(jìn)行歸納提煉，指出：1．?dāng)?shù)系的每一次擴(kuò)充，既是源于生產(chǎn)生活的需要，又是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的要求．2．?dāng)?shù)系的每一次擴(kuò)充，新的數(shù)集都是在原來(lái)數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來(lái)的．在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來(lái)數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾．3．?dāng)?shù)系的每一次擴(kuò)充，都是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，研究問(wèn)題，解決問(wèn)題的