第2課時(shí)正方形的判定教學(xué)設(shè)計(jì)課題正方形的判定授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.用類比方法歸納正方形的判定方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力．2．探究并證明正方形的判定定理，理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的判定方法之間的區(qū)別和聯(lián)系．3．靈活運(yùn)用正方形的判定方法進(jìn)行證明或計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.教學(xué)重點(diǎn)正方形判定方法的理解與應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)正方形判定方法的探究及證明.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：知識(shí)回顧，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖通過(guò)擬人化的自我介紹調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，思考該怎樣判定正方形.【回顧導(dǎo)入】正方形的自我介紹：在四邊形的大家庭中，我有四個(gè)兄弟．老大是平行四邊形，它性格溫和；老二是矩形，它穩(wěn)重大方，江湖上人稱長(zhǎng)方形；老三是菱形，它活潑可愛(ài)．我就是正方形老四，我集三位大哥的優(yōu)點(diǎn)于一身，人見(jiàn)人愛(ài)．到目前為止，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了四邊形大家庭的成員，前一課時(shí)，我們大致介紹了矩形、菱形、平行四邊形與正方形的關(guān)系，并給出了下面的結(jié)構(gòu)圖．可以看到矩形、菱形各添加一個(gè)條件都能得到正方形，那么這個(gè)是否可以證明呢？我們這節(jié)課來(lái)看下.【教學(xué)建議】讓學(xué)生根據(jù)上一課時(shí)介紹的平行四邊形、矩形、菱形與正方形的關(guān)系，引發(fā)如何進(jìn)行證明的思考.活動(dòng)二：動(dòng)手驗(yàn)證，探究新知設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)正方形的判定定理.探究點(diǎn)正方形的判定1．有一組鄰邊相等的矩形是正方形我們來(lái)看下面這個(gè)問(wèn)題：把一張矩形的紙片按圖中那樣折一下，是否可以截出正方形紙片？答案是肯定的，它的依據(jù)就是有一組鄰邊相等的矩形是正方形．下面我們進(jìn)行證明：已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝BC.求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是正方形．歸納總結(jié)：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.【教學(xué)建議】(1)讓學(xué)生猜測(cè)并驗(yàn)證正方形的判定定理，教師進(jìn)行總結(jié)．(2)告訴學(xué)生必須在平行四邊形或矩形或菱形的基礎(chǔ)上判定正方形．一般先證明其是矩形或菱形，再?gòu)倪?、角、教學(xué)步驟師生活動(dòng)2.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題：把能活動(dòng)的菱形木框的一個(gè)角變?yōu)橹苯?如圖)，能否得到正方形？可以看到,這個(gè)變化過(guò)程中只要改變菱形的一個(gè)角，就能得到正方形．下面我們進(jìn)行證明：已知：如圖，在菱形ABCD中，∠A＝90°.求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＝90°，∴易得∠B＝∠C＝∠D＝∠A＝90°，∴四邊形ABCD是正方形．歸納總結(jié)：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．在上面的證明過(guò)程中，是分別從矩形、菱形出發(fā)，添加邊或角的條件后得到正方形，那么還有沒(méi)有通過(guò)添加邊、角、對(duì)角線的條件可以得到其他判定正方形的方法呢？大家想一想．歸納總結(jié)：思考：上面給出了正方形的一些判定方法，這也蘊(yùn)含了他們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，那么正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間有什么關(guān)系呢？與同學(xué)們討論交流，并列表或用框圖表示這些關(guān)系．進(jìn)一步地，四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形有什么關(guān)系？有興趣的同學(xué)可以整理下．(結(jié)構(gòu)圖可參見(jiàn)后面的“【知識(shí)結(jié)構(gòu)】”欄目)【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，D，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.(1)四邊形AEDF是平行四邊形；(2)如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；(3)如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；(4)如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是正方形．2．教材P60練習(xí)第3題．,對(duì)角線的方向證明其是正方形，或者直接由一組鄰邊相等且一內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形，對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形等來(lái)判定.教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)三：綜合運(yùn)用，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖鞏固學(xué)生對(duì)正方形的判定的認(rèn)識(shí).例如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別是F，G.判斷四邊形EFBG的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形EFBG是正方形.證法1：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝∠BGE＝90°，∴四邊形EFBG是矩形.∵BE為∠ABC的平分線，∴EF＝EG，∴矩形EFBG是正方形.證法2：如圖．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵BE為∠ABC的平分線，EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠1＝∠2＝45°，EF＝EG.∴∠3＝∠4＝45°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴BF＝EF，BG＝EG.∴BF＝EF＝EG＝BG，∴四邊形EFBG是菱形.又∠FBG＝90°，∴菱形EFBG是正方形.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，Rt△ABC的兩條外角平分線相交于點(diǎn)D，∠B＝90°，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥BA于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形BFDE是正方形；(2)若BF＝6，C為BF的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng).(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，∴四邊形BFDE是矩形.∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，DH⊥AC，∴DE＝DH.同理，DH＝DF，∴DE＝DF，∴矩形BFDE是正方形.(2)解：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠DHC＝90°.由(1)知∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°.在Rt△AED和Rt△AHD中，AD＝AD，DE＝DH，∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL)，∴AE＝AH.同理，CH＝CF.∵BF＝6，C為BF的中點(diǎn)，∴BC＝CF＝CH＝3.∵四邊形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6.設(shè)AE＝AH＝x，則AB＝BE－AE＝6－x，AC＝AH＋CH＝x＋3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即(6－x)2＋32＝(x＋3)2，解得x＝2，∴AE的長(zhǎng)為2.【教學(xué)建議】提醒學(xué)生：(1)正方形的判定要從邊、角或?qū)蔷€三個(gè)方面把握，判定時(shí)可根據(jù)先判定平行四邊形或矩形或菱形，再根據(jù)相應(yīng)條件判定得到正方形.(2)判定正方形后往往又需要利用其性質(zhì)，并且經(jīng)常綜合三角形全等與勾股定理的知識(shí)來(lái)解題.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：正方形的判定有哪幾種方法？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P62習(xí)題18.2第13題.2．《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．教學(xué)步驟師生活動(dòng)板書設(shè)計(jì)18.2.3正方形第2課時(shí)正方形的判定1.有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.3.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.教學(xué)反思本節(jié)課對(duì)正方形判定的探究?jī)?nèi)容依舊集中在邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面，教學(xué)中運(yùn)用逆向推理引導(dǎo)學(xué)生思索，并通過(guò)展示例題的方式使學(xué)生掌握正方形判定的結(jié)論，同時(shí)還是要強(qiáng)調(diào)平行四邊形、矩形、菱形與正方形的關(guān)系.課堂以詼諧擬人化的介紹為開(kāi)端，吸引學(xué)生的注意，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性.注意：由于正方形的判定方法一般都是在平行四邊形、矩形、菱形的基礎(chǔ)上判定的，所以在判定正方形時(shí)，一定要仔細(xì)考慮題目中的條件，靈活選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒▉?lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題．例1如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC的平分線交于點(diǎn)G，GE⊥BC于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形GECF是正方形；(2)若AC＝4，BC＝3，求四邊形GECF的面積．(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GD⊥AB于點(diǎn)D.∵∠BAC，∠ABC的平分線交于點(diǎn)G，GE⊥BC，GF⊥AC，∴DG＝EG，DG＝FG，∴EG＝FG.∵∠ACB＝90°，GE⊥BC，GF⊥AC，∴∠ACB＝∠CEG＝∠CFG＝90°，∴四邊形GECF是矩形．又EG＝FG，∴四邊形GECF為正方形．(2)解：如圖，連接CG.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(32＋42)＝5.設(shè)EG＝x，則DG＝FG＝x.∵S△ABC＝S△AGB＋S△AGC＋S△BCG，∴eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)·5x＋eq\f(1,2)·4x＋eq\f(1,2)·3x，∴x＝1.∴EG＝1，∴四邊形GECF的面積＝EG2＝1.例2如圖，將矩形紙片ABCD折疊(AD>AB)，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，AE為折痕，然后將矩形紙片展開(kāi)鋪在一個(gè)平面上，點(diǎn)E不動(dòng)，將BE折起，使點(diǎn)B落在AE上的點(diǎn)G處，連接DE.若DE＝EF，CE＝2，求AD的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AB′，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，且四邊形ABEB′是正方形，∴AB＝BE，∴BE＝CD.又DE＝EF，∴Rt△BEF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝CE＝2.由折疊得GF＝BF＝2，BE＝GE，∠FGE＝∠B＝90°.設(shè)AB＝x，則易得AE＝eq\r(2)x，∴AG＝AE－GE＝AE－BE＝AE－AB＝(eq\r(2)－1)x.∵AE是正方形ABEB′的對(duì)角線，∴∠GAF＝45°，∴∠AFG＝45°，∴AG＝FG.∴(eq\r(2)－1)x＝2，解得x＝2eq\r(2)＋2.∴AB＝BE＝2eq\r(2)＋2.∴AD＝BC＝BE＋EC＝2eq\r(2)＋2＋2＝2eq\r(2)＋4.例1如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，則EF的長(zhǎng)是(C)A．7B．8C．7eq\r(2)D．7eq\r(3)解析：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAE＋∠DAG＝90°.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,AE＝CF，,BE＝DF，))∴△ABE≌△CDF(SSS)，∴∠ABE＝∠CDF.∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF.∴∠DAG＋∠ADG＝∠CDF＋∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°.在△ABE和△DAG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠DAG，,∠AEB＝∠DGA＝90°，,AB＝DA，))∴△ABE≌△DAG(AAS)．∴AE＝DG，BE＝AG.同理，AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12.∴EG＝GF＝FH＝HE＝12－5＝7.∴四邊形EGFH是菱形．∵∠GEH＝180°－90°＝90°，∴四邊形EGFH是正方形，∴易得EF＝eq\r(2)EG＝7eq\r(2).故選C.例2如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是邊BC上的中線，以AD，CD為邊作ADCF，連接BF分別與AD，AC相交于點(diǎn)E，G.(1)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF為正方形？并說(shuō)明理由；(2)在(1)的條件下，若AB＝6eq\r(2)，求EF的長(zhǎng)．解：(1)當(dāng)△ABC滿足AC＝AB時(shí)，四邊形ADCF為正方形．理由如下：∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是邊BC上的中線，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC.∵四邊形ADCF是平行四邊形，且AD＝CD，∴ADCF是菱形．∵AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴菱形ADC