第四章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)表示4.1引言

4.2數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖表示

4.3數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的矩陣表示

4.4無(wú)限沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

4.5轉(zhuǎn)置型

4.6有限沖激響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

4.1引

言

在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過(guò)程中，通?？偸歉鶕?jù)工程指標(biāo)，按一定的設(shè)計(jì)方法或技術(shù)，正確確定能夠滿足所需指標(biāo)要求的濾波器的數(shù)學(xué)模型，然后利用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ糜布右詫?shí)現(xiàn)。為了論述方便，我們把濾波器數(shù)學(xué)模型的確定放到第六章數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法中專門研究，而把數(shù)學(xué)模型的具體實(shí)現(xiàn)放在這里先作必要的介紹。而且在這一章中，我們只對(duì)該數(shù)學(xué)模型的硬件實(shí)現(xiàn)作必要的討論，利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的軟件設(shè)計(jì)則不再贅述。所謂結(jié)構(gòu)表示，在這里主要涉及框圖、流圖及矩陣等三種形式。特別是，我們以后采用的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)表示，本質(zhì)上就是實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖。4.2數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖表示

在第一、二章中我們?cè)孟铝胁罘址匠堂枋鼍€性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，

即

（4-1）

這里已設(shè)a0=1。

有時(shí)也用該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

（4-2）

直接表征。

為了討論方便，

我們將式（4-1）改寫成

（4-3）

并將式（4-2）表示成

這種改變只涉及常系數(shù)的定義，不影響問(wèn)題本質(zhì)。

在這里有必要重申一下，我們是在假定這樣的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)設(shè)計(jì)完成的基礎(chǔ)上，逐步展開(kāi)濾波器硬件實(shí)現(xiàn)的研討的。事實(shí)上，從式（4-3）不難發(fā)現(xiàn)，它可以方便地用加法、延遲并作不同的常系數(shù)加權(quán)運(yùn)算等具體實(shí)現(xiàn)，也即此時(shí)的輸出可以用輸入的延遲值乘以系數(shù)bk，并與輸出的延遲值乘以系數(shù)ak后累加求得。我們知道，用方框圖表示差分方程時(shí)需要某些基本單元，它們分別是加法器、延遲單元及常數(shù)乘法器，通?？梢杂脠D4.1的形式表示。圖4.1數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的框圖表示(a)兩序列相加；

（b）序列與常系數(shù)相乘；

（c）序列作單位延遲

圖4.2數(shù)字網(wǎng)絡(luò)框圖

對(duì)于最簡(jiǎn)單的一階差分方程

可以用圖4.2的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)框圖表示。圖4.2表明，利用專用數(shù)字硬件實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器時(shí)，必須設(shè)法存儲(chǔ)變量和常數(shù)，也必須提供相乘和相加的運(yùn)算手段。圖4.3給出了更一般的差分方程式（4-3）的框圖表示。其實(shí)這只是該差分方程的一種較為直觀的描述，按不同的安排，它還可以改畫成多種不同的框圖形式，其傳遞函數(shù)則保持不變。

圖4.3N階差分方程的框圖表示

在討論數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)時(shí)，采用線性信號(hào)流圖有時(shí)比框圖更加簡(jiǎn)便。線性信號(hào)流圖本質(zhì)上與框圖表示并無(wú)原則性差別。信號(hào)流圖的用途之一是便于以流圖的形式表示時(shí)域離散系統(tǒng)，有利于進(jìn)行圖上作業(yè)，而且網(wǎng)絡(luò)的特性又一目了然。我們知道，所謂信號(hào)流圖實(shí)際上是指節(jié)點(diǎn)間均有方向性支路連接的一種網(wǎng)絡(luò)。與每一個(gè)節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的是變量或節(jié)點(diǎn)值，節(jié)點(diǎn)k的節(jié)點(diǎn)值以wk表示。始于節(jié)點(diǎn)j止于節(jié)點(diǎn)k的支路則以圖4.4所示的箭頭方向由j至k的連線來(lái)描述。每個(gè)支路均有一個(gè)輸入信號(hào)及一個(gè)輸出信號(hào)。節(jié)點(diǎn)j傳遞給支路（jk）的信號(hào)為該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)值wj，它也是該支路的輸入信號(hào)。支路(jk)對(duì)該輸入信號(hào)作某種變換fjk［］，使wj經(jīng)變換后得vjk，并作為支路（jk）的輸出傳遞給節(jié)點(diǎn)k。這里的vjk可表示成vjk=fjk［wj

］。

圖4.4信號(hào)流圖中的節(jié)點(diǎn)和支路表示

另外，我們以源節(jié)點(diǎn)代表注入流圖的外部輸入，即通常的信號(hào)源。源節(jié)點(diǎn)只有輸出支路而無(wú)引入支路，如圖4.5所示。信號(hào)源當(dāng)然可以不止一個(gè)。為了方便，我們還將源節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的符號(hào)略加區(qū)別，例如習(xí)慣將源節(jié)點(diǎn)j的節(jié)點(diǎn)值寫作xj，并將由源節(jié)點(diǎn)j引向網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)k的支路的輸出表示為sjk

。

圖4.5源節(jié)點(diǎn)表示法

圖4.6吸收節(jié)點(diǎn)表示法

與從源節(jié)點(diǎn)得到注入流圖的輸入一樣，我們常把只從支路接受輸出的節(jié)點(diǎn)稱作吸收節(jié)點(diǎn)，如圖4.6所示。圖中也只畫了一個(gè)吸收節(jié)點(diǎn)，吸收節(jié)點(diǎn)k的節(jié)點(diǎn)值則以yk表示。另外，我們還將連接網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)j到吸收節(jié)點(diǎn)k的支路的輸出表示成rjk。按照規(guī)定，網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)值等于引向該節(jié)點(diǎn)的所有支路的輸出之和。有時(shí)為了符號(hào)上表示方便，還假定網(wǎng)絡(luò)中的每對(duì)節(jié)點(diǎn)之間，都有方向相反的兩個(gè)支路相連，而且每個(gè)源節(jié)點(diǎn)均有支路與每個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)相連（這時(shí)有些支路的加權(quán)系數(shù)實(shí)際為零就是）。此外，我們還假定源節(jié)點(diǎn)與吸收節(jié)點(diǎn)之間并無(wú)支路直接相連（如有，則可另加一個(gè)網(wǎng)路節(jié)點(diǎn)將它們分開(kāi)）。于是，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)具有M個(gè)源節(jié)點(diǎn)、N個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)及P個(gè)吸收節(jié)點(diǎn)時(shí)，可由式（4-5）所示的方程組來(lái)表示此網(wǎng)絡(luò)流圖，

即

k=1,2,…,N

(網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn))(源節(jié)點(diǎn))(4-5a)(吸收節(jié)點(diǎn))(4-5b)

我們以圖4.7（a）所示的一階數(shù)字濾波器框圖為例，圖4.7（b）則是與之對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。

圖4.7（a）一階數(shù)字濾波器的框圖表示;（b）

對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖

從方程組（4-5）可得此時(shí)的

解上述方程組，可知

事實(shí)上，式（4-5）所示的方程組也常以Z變換形式描述：

k=1,2,…,N

(4-6a)k=1,2,…,P

(4-6b)式中

(4-7)相應(yīng)的信號(hào)流圖如圖4.8所示。

圖4.8標(biāo)有支路傳輸比的Z變換形式的流圖

在圖4.8中，每一個(gè)支路的傳輸比均列于該支路的箭頭之側(cè)。對(duì)支路（2、4）而言，它所作的是單位延遲變換，此時(shí)的傳遞函數(shù)F24(z)=z-1。需要說(shuō)明的是，有時(shí)為了方便，像圖4.8中所示那樣，仍將節(jié)點(diǎn)變量用時(shí)域的序列表示，而不直接用Z變換表示，這時(shí)的z-1應(yīng)理解為把輸入序列作單位延遲而非簡(jiǎn)單地在時(shí)域作z-1加權(quán)。當(dāng)信號(hào)流圖中的所有支路均能以傳輸比表示時(shí)，它代表的方程組將是線性方程組，而線性方程組又可用相應(yīng)的矩陣描述。

4.3數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的矩陣表示

如前所述，以Z變換形式描述的信號(hào)流圖可用式（4-6）、（4-7）所示的方程組表示。當(dāng)有關(guān)網(wǎng)絡(luò)為線性移不變系統(tǒng)時(shí)，每個(gè)支路均可用一傳輸比表示。而且，為了方便，通常還假定各源節(jié)點(diǎn)至各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)以及各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)至各吸收節(jié)點(diǎn)之間的支路均不作延遲運(yùn)算，即此類支路的傳輸比都是一個(gè)與z無(wú)關(guān)的常數(shù),這并不失其普遍性，因?yàn)楸匾獣r(shí)可另外插入一個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，它與源節(jié)點(diǎn)或吸收節(jié)點(diǎn)之間相連的支路不作延遲運(yùn)算，而把與z有關(guān)的運(yùn)算歸于它與相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)相連的那類支路的傳輸中。于是，式（4-6）中的Sjk(z)、Rjk(z),可表示成(4-8)(4-9)把它們代入式（4-6），

即有

(4-10a)(4-10ｂ)這些方程可以方便地寫成矩陣表示式，

即

(4-11a)(4-11b)則是一個(gè)N×N方陣。對(duì)于流圖中不存在的支路（或者說(shuō)是傳輸比為零的支路），矩陣中的相應(yīng)元素Fjk等于零。BT是矩陣

（4-13）

的N×M轉(zhuǎn)置矩陣，CT則是矩陣

（4-14）

的P×N轉(zhuǎn)置矩陣。于是，通過(guò)求逆矩陣可從式（4-11a）解得W(z)，這時(shí)

（4-15a）

式中I為單位矩陣，

而

（4-15b）

常稱作系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。由式（4-15）描述的流圖中的第k個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信號(hào)Wk(z)可表示為

（4-16）

即每個(gè)節(jié)點(diǎn)變量可表示成諸源節(jié)點(diǎn)變量的線性組合。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)僅有一個(gè)源節(jié)點(diǎn)（例如源節(jié)點(diǎn)a）不等于零時(shí)，其值為Xa(z)，而且假設(shè)此時(shí)只有一個(gè)吸收節(jié)點(diǎn)，其值為Y(z)，則網(wǎng)絡(luò)的輸出

(4-17)因而系統(tǒng)可用如下的系統(tǒng)函數(shù)表征，即

(4-18)如果每一個(gè)支路的系統(tǒng)函數(shù)是一階的，而且經(jīng)常是乘一個(gè)常系數(shù)，或是作一次單位延遲，于是可把無(wú)延遲的矩陣元素與有延遲的元素分開(kāi)來(lái)，即將FT(z)表示為

(4-19)式中 均是N×N矩陣。于是矩陣方程式（4-11a）可表示成

(4-20)同樣，TT(z)的表示式可變成

（4-21）

考慮到是與z無(wú)關(guān)的常數(shù)，因此方程式（4-20）的Z反變換分別為

(4-22a)類似地，與式（4-11b）相應(yīng)的方程，將為

（4-22b）

無(wú)用贅言，方程式（4-22）可從流圖直接列出；反過(guò)來(lái)，直接從方程組也可以畫出相應(yīng)的信號(hào)流圖。

例我們不妨討論圖4.9所示的信號(hào)流圖。

圖4.9一個(gè)一階系統(tǒng)的信號(hào)流圖

由圖4.9，可知此時(shí)

從而可得

（4-23）

不難想象，矩陣的表示取決于節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，如將圖4.9的節(jié)點(diǎn)序號(hào)改成圖4.10的形式，則此時(shí)的方程組將為

圖4.10圖4.9節(jié)點(diǎn)序號(hào)改變后的信號(hào)流圖

從圖4.9可以看到，我們并不能按順序求得諸節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)變量（即先得到w1，再求出w2等等），因?yàn)樵谇體1時(shí)，它要用到w4?？墒?，如果將該流圖的節(jié)點(diǎn)編號(hào)改成圖4.10所示，則節(jié)點(diǎn)變量就可按順序求得。這在用計(jì)算機(jī)以簡(jiǎn)單的遞推方式求解其結(jié)果時(shí)十分必要，此時(shí)，則要求矩陣FcT中對(duì)角線及對(duì)角線以上的元素都要為零。順便說(shuō)明一下，在不能按節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序求解節(jié)點(diǎn)變量的場(chǎng)合，利用N個(gè)方程求解N個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)變量本身，應(yīng)該是同樣可能的。4.4無(wú)限沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

4.4.1直接型

我們先研究具有下列有理系統(tǒng)函數(shù)形式的離散系統(tǒng)，

其

（4-25）

該系統(tǒng)的輸入和輸出滿足差分方程

（4-26）

利用式（4-26）可以直接畫出由式（4-25）表示的離散系統(tǒng)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),如圖4.11所示。為了方便，假設(shè)M=N。如果M<N，只要把圖中某些支路的傳輸比改為零即可。當(dāng)然，當(dāng)M＞N時(shí)，則應(yīng)以下標(biāo)M為基準(zhǔn)另作標(biāo)志。圖4.11實(shí)現(xiàn)N階差分方程的直接Ⅰ型流圖

由于式（4-25）中系數(shù)組bk對(duì)應(yīng)于H(z)的分子多項(xiàng)式，而系數(shù)組ak對(duì)應(yīng)于H(z)的分母多項(xiàng)式,因此可將圖4.11理解為由兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成(第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，第二個(gè)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn))。對(duì)一個(gè)線性移不變系統(tǒng)，圖4.13所示的直接Ⅱ型流圖就是基于這樣的思路構(gòu)成的。因?yàn)?，此時(shí)如先考慮實(shí)現(xiàn)H(z)的極點(diǎn)（相當(dāng)于圖4.11的右半部分），后實(shí)現(xiàn)H(z)的零點(diǎn)（即圖4.11的左半部分），就可以得到如圖4.12所示的網(wǎng)絡(luò)。圖4.12將圖4.11的子系統(tǒng)前后次序互換的網(wǎng)絡(luò)

我們不難看到，在圖4.12中兩列傳輸比為z-1的支路有著同樣的輸入，因而實(shí)際上只需保留其中的一列就可以了。于是，圖4.12所示的網(wǎng)絡(luò)可以重畫為圖4.13所示的形式。它通常被稱作直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。圖4.13將圖4.12中兩列延遲支路合并成一列的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)

4.4.2級(jí)聯(lián)型從上面的討論我們知道，直接型結(jié)構(gòu)可以從式（4-25）所示的系統(tǒng)函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的差分方程（4-26）直接獲得。事實(shí)上，如果將系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式作因式分解，可將式（4-25）寫成

（4-27）

其中M=M1+2M2及N=N1+2N2。一階因式中的gk為實(shí)零點(diǎn)，ck為實(shí)極點(diǎn)；二階因式表示復(fù)共軛零點(diǎn)hk與h*k及復(fù)共軛極點(diǎn)dk與dk*。當(dāng)式（4-25）中的系數(shù)ak和bk均為實(shí)數(shù)時(shí)，式（4-27）代表了最一般的零、極點(diǎn)分布情況。它實(shí)際上是一種由一階和二階子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的結(jié)構(gòu)形式。在要求采用盡量少的存儲(chǔ)單元并用一種時(shí)分復(fù)用的二階環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)，還可將級(jí)聯(lián)型表示成（4-28）

式中代表中的最大整數(shù)，而且假定M≤N。在上式中我們已將實(shí)數(shù)零點(diǎn)及實(shí)數(shù)極點(diǎn)也各自配成共軛對(duì)的形式。當(dāng)具有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)時(shí)，相當(dāng)于系數(shù)β2k中有一個(gè)為零;而具有奇數(shù)個(gè)極點(diǎn)時(shí)，則α2k中將有一個(gè)為零。于是，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)也考慮用前面討論的直接Ⅱ型來(lái)實(shí)現(xiàn)的話，就可得到所用存儲(chǔ)器很少的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。圖4.14列出了一個(gè)級(jí)聯(lián)型的六階系統(tǒng)。

圖4.14每個(gè)二階子系統(tǒng)均以直接Ⅱ型實(shí)現(xiàn)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)

4.4.3并聯(lián)型如果將式（4-25）表示的H(z)分解成另一種形式，

如（4-29）

當(dāng)式（4-25）中的ak、bk為實(shí)數(shù)時(shí)，這里的Ak、Bk、ck、ek及sk均為實(shí)數(shù)。若M＜N，則式（4-29）中將不含項(xiàng)。式（4-29）可以理解為一階與二階系統(tǒng)的并聯(lián)組合，如將實(shí)數(shù)極點(diǎn)也以成對(duì)的形式表示，則有（4-30）

當(dāng)M=N時(shí)，對(duì)應(yīng)于式（4-30）的典型的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖4.15所示。

圖4.15實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)各按成對(duì)組合的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

4.5轉(zhuǎn)

置

型

我們知道，在線性信號(hào)流圖理論中存有許多種運(yùn)算處理方法，可用以將信號(hào)流圖變換成許多不同的形式，而將輸入輸出間的傳輸關(guān)系保持不變。這里我們介紹一種稱作流圖轉(zhuǎn)置的方法，以及由它導(dǎo)出的一種轉(zhuǎn)置型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。所謂轉(zhuǎn)置定理，就是把所有支路全部反向，對(duì)只有單一輸入和單一輸出的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，再將其輸入和輸出互換，則轉(zhuǎn)置后的流圖與原流圖的傳遞函數(shù)不變。利用轉(zhuǎn)置定理，

可將圖4.11的直接Ⅰ型流圖改畫成圖4.16的形式。

圖4.16圖4.11所示的直接Ⅰ型網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)置

為了與輸入列于左邊，輸出列于右邊的習(xí)慣保持一致，我們可將圖4.16改畫成圖4.17

的形式。

圖4.17按習(xí)慣改畫的圖4.16網(wǎng)絡(luò)，

它是轉(zhuǎn)置后的直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)

4.6有限沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

前面討論的無(wú)限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般都涉及到遞歸計(jì)算算法。但是，對(duì)有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)而言，用的通常是非遞歸算法。有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)?？捎檬剑?－31）所列的多項(xiàng)式表示，

即

(4-31)

上式表明，當(dāng)單位采樣響應(yīng)h(n)由有限長(zhǎng)的N個(gè)樣本組成時(shí)，其H(z)將是z-1的N-1個(gè)多項(xiàng)式之和。這意味著此時(shí)的H(z)將有N-1個(gè)極點(diǎn)和N-1個(gè)零點(diǎn)。并且，該H(z)的所有極點(diǎn)均在Z平面的原點(diǎn)，而系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)可分布于有限Z平面內(nèi)的相應(yīng)位置。跟無(wú)限沖激響應(yīng)系統(tǒng)一樣，有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)也可有多種實(shí)現(xiàn)方式，這一節(jié)討論它最主要的網(wǎng)絡(luò)形式。4.6.1直接型與無(wú)限沖激響應(yīng)系統(tǒng)相類似，有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)可從式（4-32）所示的卷積和表示式直接獲得，

即可由

(4-32)直接畫出圖4.18所示的信號(hào)流圖。

圖4.18有限沖激響應(yīng)的直接型結(jié)構(gòu)

圖4.18最直觀地體現(xiàn)了式（4-32）的乘加次序。當(dāng)然，我們同樣可以列出不少其他形式。例如可將上一節(jié)討論過(guò)的轉(zhuǎn)置定理用于圖4.18，

即可得到圖4.19所示的轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)。

圖4.19圖4.18網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)置

4.6.2級(jí)聯(lián)型若將寫成二階因子的連乘形式，

即

（4-33）

式中，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，確定具體數(shù)值。另外，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)β2k中有一個(gè)系數(shù)將為零，相當(dāng)于此時(shí)H(z)具有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。與式（4-33）對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)如圖4.20所示。圖中每一個(gè)二階因子均可用圖4.18所示的直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。

圖4.20一種有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)

4.6.3線性相位有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在不少場(chǎng)合，常會(huì)對(duì)某個(gè)系統(tǒng)或?yàn)V波器提出線性相位的要求。例如，對(duì)一個(gè)具有線性相位的選頻濾波器，當(dāng)處于其通帶內(nèi)的信號(hào)經(jīng)該濾波器選通并傳至輸出端時(shí)，除了有某一延遲（該延遲等于其相位特性的斜率）之外，輸出與輸入信號(hào)將是一致的。有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，特別是數(shù)字FIR系統(tǒng)的主要特點(diǎn)之一就是它可以比較方便地做到嚴(yán)格的線性相位特性。

我們以一個(gè)理想的最簡(jiǎn)單的線性相位低通濾波器為例來(lái)說(shuō)明。假設(shè)該濾波器通帶內(nèi)的H(ejω)=e-jωk。當(dāng)輸入信號(hào)x(n)的頻譜X(ejω)的能量全部落在H(ejω)的通帶之內(nèi)時(shí)，它的輸出將滿足(4-34)的關(guān)系。該式表明，此時(shí)濾波器輸出的時(shí)域表示式將會(huì)是

這就意味著一個(gè)線性相位濾波器的輸出將不改變輸入信號(hào)的形狀，它只在時(shí)域上對(duì)輸入信號(hào)作k個(gè)采樣間隔的延遲。

為了實(shí)現(xiàn)線性相位特性，我們不妨先考慮這樣一個(gè)系統(tǒng)，此系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，即

(4-36)在第一章的討論中已經(jīng)知道，這時(shí)它的頻率響應(yīng)應(yīng)滿足式（4-37），即其

(4-37)上式表明該頻率響應(yīng)為實(shí)函數(shù)。我們?cè)倏矗绻到y(tǒng)的單位采樣響應(yīng)還是實(shí)數(shù)序列，

即此時(shí)的

(4-38)則該實(shí)序列更是一個(gè)偶對(duì)稱序列。為繼續(xù)討論方便，這里先假定該序列的樣本數(shù)N為奇數(shù)，如圖4.21所示。上述序列的頻率響應(yīng)H1(ejω)仍應(yīng)是實(shí)函數(shù)。另外，這時(shí)的h1(n)顯然并非因果序列，不是傳統(tǒng)意義下的可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。但是，如果我們將該序列右移,就可以構(gòu)成如圖4.22所示的因果序列。圖4.21N為奇數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱實(shí)序列示意圖

圖4.22把圖4.21右移構(gòu)成的新序列圖

這里的

其頻率響應(yīng)(4-40)(4-39)式(4-40)表明，如果把N為奇數(shù)的偶對(duì)稱序列右移構(gòu)成新的中心對(duì)稱序列h(n)，則與之對(duì)應(yīng)的有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)將具有嚴(yán)格的線性相位特性。

一個(gè)中心對(duì)稱的序列的表達(dá)式可用式（4-41）表示，

即

(4-41)我們?nèi)砸詧D4.22所示的N為奇數(shù)的h(n)為例。該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（4-42)將式（4-41）代入上式等號(hào)右邊的第二項(xiàng)，

并作r=N-1-n的變量替換，

將有

（4-43）

于是式（4-42）可表示成

（4-44）

圖4.23具有線性相位且N為奇數(shù)的有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)

采用圖4.23所示的結(jié)構(gòu)之后，雖然所需的單位延遲z-1仍需N-1個(gè)，但其乘法次數(shù)可減少為(N+1)/2次，不再像圖4.18所示的一般情況那樣需作N次乘法。如令z=ejω，式（4-44）將為（4-45）

考慮到h(n)為實(shí)序列，式（4-45）中括號(hào)內(nèi)的和式應(yīng)是實(shí)數(shù)，因而上式標(biāo)志著一種線性相移，它相當(dāng)于延遲(N-1)/2個(gè)采樣間隔。類似地，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，滿足（4-41）關(guān)系式的h(n)的示意圖如圖4.24所示。其對(duì)h(N-1-n)作變量替換后即可得

（4-46）

圖4.24N為偶數(shù)的中心對(duì)稱的實(shí)序列示意圖

圖4.25有線性相位且N為偶數(shù)的有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)

這里的延遲單元仍為N-1個(gè)，而乘法次數(shù)需要N/2次。其頻率響應(yīng)為

（4-47）

上式表明，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，滿足中心對(duì)稱條件的有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)也具有嚴(yán)格控制的線性相位特性。

4.6.4線性相位有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)的零點(diǎn)對(duì)稱性線性相位有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)在工程上很有實(shí)用價(jià)值,其系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)分布還具有很好的對(duì)稱性質(zhì)。為了論述方便，我們?nèi)詮呐c圖4.21相似的情況討論起，此時(shí)的單位采樣響應(yīng)為偶對(duì)稱的實(shí)數(shù)序列，

即

其

上式表明，如果z=|z|ejθ是H(z)的零點(diǎn)，則也應(yīng)是H(z)的零點(diǎn)，即此時(shí)的零點(diǎn)呈鏡像對(duì)稱的形式出現(xiàn)。

當(dāng)單位采樣響應(yīng)滿足式（4-41）的條件，即

其系統(tǒng)函數(shù)

作r=N-1-n的變量替換后，

可得

(4-49)所以，對(duì)于具有線性相位特性的有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，

其H(z)的零點(diǎn)也構(gòu)成鏡像關(guān)系。

再考慮