第六章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)6.1引言

6.2

IIR濾波器設(shè)計(jì)方法

6.3

FIR濾波器設(shè)計(jì)

6.4

IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較

6.1引

言

所謂濾波，通常是指通過(guò)某種變換或運(yùn)算，用以改變輸入信號(hào)中所含頻率分量的相對(duì)比例，以達(dá)到選取或?yàn)V除某些頻率成分的一種手段。數(shù)字濾波器通常采用有限精度算法，它可以按照某種算法編寫(xiě)軟件，在計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字信號(hào)處理（DSP）芯片上實(shí)現(xiàn)，也可以按照算法選用硬件實(shí)現(xiàn)。與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性好、靈活性大、體積小且沒(méi)有苛刻的匹配要求等優(yōu)點(diǎn)。隨著計(jì)算機(jī)、超大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器的應(yīng)用愈加廣泛。

同樣，與模擬濾波器類(lèi)似，數(shù)字濾波器按頻率特性也有低通、高通、帶通和帶阻等之分，濾波器的性能指標(biāo)通常也習(xí)慣在頻域給出。常用數(shù)字濾波器的幅度特性示意圖如圖6.1所示。與模擬濾波器不同的是，由于序列的傅里葉變換具有以2π為周期的周期性，因此，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)也有這種周期性。低通濾波器的通帶處于0或2π的整數(shù)倍頻率附近，高通濾波器的通帶則處于π的奇數(shù)倍頻率附近。

圖6.1各種數(shù)字濾波器的幅度特性

圖6.1各種數(shù)字濾波器的幅度特性

圖6.1所示的理想濾波器的幅度特性有理想、陡截止的通帶和無(wú)窮大衰減的阻帶兩個(gè)范圍，這顯然是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝蝗禹憫?yīng)均是非因果和無(wú)限長(zhǎng)的。實(shí)踐中只能用一種因果可實(shí)現(xiàn)的濾波器去與之逼近，使其滿足給定的誤差容限。一個(gè)實(shí)際濾波器的幅度特性在通帶中允許有一定的波動(dòng)，阻帶衰減則應(yīng)大于給定的衰減要求，且在通帶與阻帶之間允許有一定寬度的過(guò)渡帶。

圖6.2示出了一個(gè)實(shí)際低通濾波器的幅度特性，特性曲線中有通帶、過(guò)渡帶和阻帶三個(gè)區(qū)間。通帶范圍是0≤ω≤ωp，在通帶內(nèi)，幅度特性以誤差δ1逼近于1，即（6-1）

ωp稱(chēng)為通帶截止頻率。阻帶范圍是ωs≤ω≤π，在阻帶內(nèi)，幅度特性以最大誤差δ2逼近于零，即稱(chēng)為阻帶起始頻率。ωp<ω<ωs的區(qū)域稱(chēng)為過(guò)渡帶，一般要求幅度特性在過(guò)渡帶內(nèi)單調(diào)下降。（6-2）

圖6.2實(shí)際低通濾波器的幅度特性通帶內(nèi)衰減（波動(dòng)）和阻帶衰減（波動(dòng)）通常用分貝表示，

對(duì)于圖6.2，

我們令

αp和αs分別稱(chēng)為通帶最大衰減和阻帶最小衰減。如果 ，則稱(chēng)ωc為3dB截止頻率。濾波器的頻率特性除了幅度特性外，還有相位特性θ(ω)。一般對(duì)θ(ω)并無(wú)過(guò)多要求，只要保證濾波器穩(wěn)定就可以了。但在有些場(chǎng)合要求θ(ω)具有一定的性質(zhì)，如線性相位特性，即要求θ(ω)=-τω（τ為延時(shí)常數(shù)）等。數(shù)字濾波器可用N階差分方程來(lái)描述，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為

（6-6）

數(shù)字濾波器按其單位采樣響應(yīng)長(zhǎng)度可分為無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器（IIR）和有限沖激響應(yīng)濾波器（FIR）兩類(lèi)。按照濾波器的實(shí)現(xiàn)方式則又可以分為遞歸濾波器和非遞歸濾波器兩類(lèi)。式(6-5)中若ak=0(k=1,…,N)，該濾波器為FIR濾波器；若ak≠0(k=1,…,N)，該濾波器為IIR濾波器。一般情況下遞歸濾波器對(duì)應(yīng)于IIR濾波器，而非遞歸濾波器對(duì)應(yīng)于FIR濾波器。6.2IIR濾波器設(shè)計(jì)方法

設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一般有以下三種方法：

(1)先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M波濾波器已很成熟，它有很多現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，并且設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表格化，

使用起來(lái)既方便又準(zhǔn)確。

(2)由式(6-6)知濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位置完全決定了濾波器的幅度和相位響應(yīng)。所以，通過(guò)合理設(shè)置數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)，即可得到符合要求的濾波特性。這種方法往往需要多次調(diào)整零、極點(diǎn)位置，稱(chēng)為零、極點(diǎn)累試法。

(3)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。它先確定一種最優(yōu)化準(zhǔn)則，例如設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度與理想頻率響應(yīng)的幅度的均方誤差最小準(zhǔn)則，或它們的最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后確定滿足該最佳準(zhǔn)則的濾波器系數(shù)ak、bi。這種設(shè)計(jì)一般不易得到濾波器系數(shù)的顯式表達(dá)式，而是需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，需用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)完成。6.2.1根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器目前IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中用得較多的是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。借用模擬濾波器設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法，可以給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大方便。該方法的設(shè)計(jì)步驟是：（1）若所需設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，按一定規(guī)則先將給出的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)。（3）再按一定規(guī)則將Ha(s)轉(zhuǎn)化成H(z)，完成低通濾波器的設(shè)計(jì)。

(4)若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或帶阻濾波器，那么還需將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按步驟（2）設(shè)計(jì)低通模擬濾波器Ha(s)，再將Ha(s)最終轉(zhuǎn)換為所需的H(z)。

1.選定模擬低通濾波器原型由濾波器理論可知(有的下面還會(huì)述及)，高通、帶通、帶阻濾波器均可以利用變量變換方法，分別由低通濾波器變換得到。于是我們先介紹模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬低通濾波器有巴特沃茲（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）和橢圓（Elliptic）濾波器等。

1)巴特沃茲濾波器巴特沃茲低通濾波器是一種全極點(diǎn)濾波器，

其平方幅度響應(yīng)為

（6-7）

式中的N是濾波器的階數(shù)，Ωc是3dB截止頻率。

由于N階巴特沃茲濾波器在Ω=0處，|Ha(jΩ)|2的前2N-1階導(dǎo)數(shù)為零，因此巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，又稱(chēng)最平幅度特性濾波器。隨著Ω的增加，|Ha(jΩ)|2單調(diào)下降，當(dāng)濾波器階數(shù)增加時(shí)，過(guò)渡帶會(huì)變窄。這些性質(zhì)由圖6.3中可見(jiàn)。圖6.3巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng)的幅度特性與階數(shù)N的關(guān)系

由于濾波器沖激響應(yīng)h(t)是實(shí)函數(shù)，則有Ha(jΩ)=Ha*(-jΩ)，因此（6-8）

將式（6-8）代入式（6-7），可得

（6-9）

所以，Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)sk(k=0,1,2,…,2N-1)等間隔地分布在半徑為Ωc的圓上，即k=0,1,…,2N-1（6-10）

且關(guān)于jΩ軸對(duì)稱(chēng)分布。

同時(shí)，Ha(s)Ha(-s)在S左半平面的N個(gè)極點(diǎn)組成系統(tǒng)函數(shù)為

（6-11）

從上式可知，只要確定了濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc，巴特沃茲濾波器的系統(tǒng)函數(shù)就確定了。下面我們來(lái)討論如何從濾波器的技術(shù)指標(biāo)來(lái)確定N和Ωc。由于（6-12a）

（6-12b）

將式（6-7）代入式（6-12a）和式（6-12b），可得

（6-13a）

（6-13b）

從而可得

（6-14）

若令

和

，則有

（6-15）

由上式求出的N可能不是整數(shù)，通常取大于等于N的最小整數(shù)。一般3dB截止頻率Ωc在技術(shù)指標(biāo)中給出，如果沒(méi)有給出，可以從式（6-13a）或（6-13b）求得。根據(jù)以上的討論，巴特沃茲濾波器的設(shè)計(jì)步驟大體可歸納為（1）根據(jù)濾波器技術(shù)指標(biāo)Ωp、Ωs、αp和αs，由式（6-15）計(jì)算和確定階數(shù)N。

（2）從式（6-13a）或式（6-13b）求出3dB截止頻率Ωc。若Ωc已在技術(shù)指標(biāo)中給出，則該部分內(nèi)容可省略。（3）根據(jù)式（6-10）求出2N個(gè)極點(diǎn)。將位于S左半平面的N個(gè)極點(diǎn)代入式（6-11），求得巴特沃茲濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。

2)切比雪夫?yàn)V波器巴特沃茲濾波器的頻率特性，在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)，因此，當(dāng)在通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有余量，即會(huì)高出指標(biāo)要求，并不經(jīng)濟(jì)。因此，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將精度要求均勻地分布在整個(gè)通帶或阻帶之內(nèi)，甚至同時(shí)分布于兩者之中，這樣顯然可以設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的濾波器可通過(guò)選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)。

切比雪夫?yàn)V波器的振幅特性具有這種等波紋性質(zhì)。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫Ⅰ型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的,在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫Ⅱ型濾波器。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。切比雪夫Ⅰ型濾波器是一種全極點(diǎn)濾波器,其振幅特性在通帶內(nèi)等波紋，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降。頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)為

（6-16）

式中N為濾波器階數(shù)，Ωp為通帶截止頻率，ε為控制通帶波動(dòng)幅度的參數(shù)，波紋隨ε的增加而加大。TN(x)是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為|x|≤1|x|>1

（6-17）

這些多項(xiàng)式可以通過(guò)迭代產(chǎn)生，

即

k≥1（6-18）

根據(jù)式（6-17）可以得出切比雪夫多項(xiàng)式的以下性質(zhì)：（1）|x|≤1，多項(xiàng)式的幅度值限定為1，即|TN(x)|≤1。T

N(x)在±1之間振蕩,切比雪夫多項(xiàng)式具有等波紋幅度特性；|x|>1，多項(xiàng)式隨x單調(diào)增加。（2）對(duì)所有的N，TN(1)=1。（3）N為偶數(shù)時(shí)，TN(0)=±1;N為奇數(shù)時(shí),TN(0)=0。（4）TN(x)的所有根都在區(qū)間-1≤x≤1內(nèi)。根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式的特性，由于|Ω|<Ωp時(shí),T2N(Ω/Ωp)在0～1之間變化，因此，|Ha(jΩ)|2在之間振蕩。濾波器的階數(shù)增加時(shí)，通帶內(nèi)的振蕩（波動(dòng)）次數(shù)增加，通帶和阻帶之間的過(guò)渡帶變窄。圖6.4中所示的是N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅度特性。圖6.4階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅度特性(通帶波紋2dB)按照式（6-16），切比雪夫?yàn)V波器有三個(gè)參數(shù)：ε、Ωp和N

。Ωp為通帶截止頻率，一般由技術(shù)指標(biāo)確定。下面我們討論如何確定ε和N。

ε與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋δ為

（6-19）

對(duì)于切比雪夫?yàn)V波器，通帶內(nèi)的

因此

（6-20）

這樣，給定通帶波紋δ后，就可確定出參數(shù)ε。設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率用Ωs表示，在Ωs處的頻率響應(yīng)為（6-21）

由于

，

有

由上式解得

（6-22）

下面求3dB截止頻率Ωc。根據(jù)定義

可得3dB截止頻率

（6-23）

上述Ωp、ε和N確定之后，即可求出濾波器的極點(diǎn)?？梢宰C明極點(diǎn)si=δi+jΩi，且（6-24）

其中 。用S左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成穩(wěn)定的濾波器Ha(s)，即

（6-25）

式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)式（6-16）可導(dǎo)出c=ε·2N-1/ΩNc，

將其代入式（6-25），

可得傳輸函數(shù)

（6-26）

按照以上分析，可以得出切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)步驟。它們大體是：（1）確定技術(shù)要求αp、Ωp、αs和Ωs。（2）求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε。由式（6-22）求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)；按照式（6-20）求ε，這里αp=δ。（3）確定傳輸函數(shù)Ha(s)?？上劝凑帐剑?-24）求出極點(diǎn)值，再將極點(diǎn)代入式（6-26），得到Ha(s)。

2.由模擬濾波器完成IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)利用模擬濾波器來(lái)完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，就是先確定模擬濾波器的Ha(s)進(jìn)而確定數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。它實(shí)際上是由S平面到Z平面間的一種映射轉(zhuǎn)換，此時(shí)必須滿足兩種基本要求：（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即S平面的虛軸必須映射到Z平面的單位圓上。（2）因果穩(wěn)定的模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，仍是因果穩(wěn)定的。也就是S平面左半平面（Re［s］<0）應(yīng)該映射到Z平面的單位圓以?xún)?nèi)（|z|<1）。將系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)從S平面映射到Z平面可以有多種方法，工程上常用的是沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法，下面我們對(duì)這兩種方法略作介紹。

1)沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位采樣響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器沖激響應(yīng)ha(t)。將模擬濾波器的沖激響應(yīng)加以等間隔（間隔為T(mén)）采樣，并使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即滿足（6-27）

因此沖激響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。

下面我們分析采用沖激響應(yīng)不變法時(shí)，S平面和Z平面之間的映射關(guān)系。若令Hz(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Ｚ變換，則利用已知的序列的Ｚ變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系，可得（6-28）

上式表明，沖激響應(yīng)不變法相當(dāng)于將Ha(s)沿虛軸按周期(2π)/T延拓后，再按映射關(guān)系

（6-29)將模擬濾波器的Ha(s)從S平面變換成Z平面的數(shù)字濾波器H(z)。若令s=σ+jΩ，z=rejω，代入式（6-29)得到rejω=eσTejΩT，

則有

（6-30a）

（6-30b）

上式表明，若σ=0，則r=1，即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；若σ<0，則r<1，即S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。因此，沖激響應(yīng)不變法可以滿足將因果、穩(wěn)定的Ha(s)轉(zhuǎn)換成因果、穩(wěn)定的H(z)以及H(ejω)能模仿Ha(jΩ)的基本要求。將式（6-28）示于圖6.5，S平面上每一條寬度為2π/T的橫向條帶區(qū)都將重疊地映射到整個(gè)Z平面上，而第一條橫向條帶的左半邊映射到Z平面單位圓內(nèi)，右半邊映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。當(dāng)模擬頻率Ω從-π/T變化到π/T

時(shí)，數(shù)字頻率ω則從-π變化到π，且由式（6-30b）可知，ω與Ω之間成線性關(guān)系。由于S平面每一橫條都要重疊地映射到Z平面上，這也反映了H(z)和Ha(s)的周期延拓之間有z=esT的變換關(guān)系，因此沖激響應(yīng)不變法并不等于從S平面到Z平面間的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。圖6.5沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系

由式（6-28）可知，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)的關(guān)系為

（6-31）

這就是說(shuō)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。因此正如第一章采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)帶限于二分之一的模擬采樣角頻率之內(nèi)時(shí)，即

（6-32）

才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以?xún)?nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真，

即

|ω|<π（6-33）

如果Ha(jΩ)不是帶限于±π/T之內(nèi)，則H(ejω)會(huì)在±π的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻譜混疊，如圖6.6所示。但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格帶限的，因此用沖激響應(yīng)不變法變換后就會(huì)產(chǎn)生因周期延拓造成的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)字濾波器無(wú)法滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。為此，常希望設(shè)計(jì)的濾波器是帶限濾波器，或要求模擬濾波器的頻率響應(yīng)在π/T以上的衰減很大、很快，變換后頻率響應(yīng)的混疊失真就比較小。

圖6.6沖激響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象

從式（6-31）可知，采樣時(shí)間間隔T減小時(shí)，系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而就有可能減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。但是，當(dāng)濾波器的指標(biāo)是用數(shù)字角頻率ω給定時(shí)，由式（6-30b）可以看到，Ω和T有同樣倍數(shù)的變化。如設(shè)計(jì)一截止頻率為ωc的低通濾波器，則要求相應(yīng)模擬濾波器的截止頻率為Ωc=ωc/T，T減小時(shí)，只有讓?duì)竎同倍增大，才能保證給定的ωc不變。因此T減小，雖然可以使帶域［-π/T,π/T］加寬，但Ωc同倍數(shù)加寬，所以若在帶域［-π/T,π/T］之外有非零的Ha(jΩ)值，即Ωc>π/T，則不論如何減小T，Ωc與T總是成同樣倍數(shù)變化，即總是Ωc>π/T。因此在沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)中，用減小采樣間隔T的方法并不能真正解決混疊問(wèn)題。由于沖激響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)以拉普拉斯反變換得到其沖激響應(yīng)ha(t)，然后采樣得到h(n)=ha(nT)，再取Ｚ變換得H(z)，因此過(guò)程較復(fù)雜。對(duì)于常用的部分分式表達(dá)的模擬系統(tǒng)函數(shù)，下面我們來(lái)討論沖激響應(yīng)不變法所造成的S平面和Z平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因?yàn)橹挥羞@樣才相當(dāng)于一個(gè)穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)）。此時(shí)可將Ha(s)展開(kāi)成部分分式表示式，即有（6-34）

其拉普拉斯反變換，

即相應(yīng)的沖激響應(yīng)

（6-35）

式中的u(t)是連續(xù)時(shí)間的單位階躍函數(shù)。在沖激響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位采樣響應(yīng)等于ha(t)的采樣，即（6-36）

對(duì)h(n)求Z變換，即可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（6-37）

將式（6-34）的Ha(s)和式（6-37）的H(z)作比較，不難看出：（1）S平面的單極點(diǎn)(s=sk)變換到Z平面上就是處的單極點(diǎn)。（2）Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。

（3）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，即所有極點(diǎn)sk位于S平面的左半平面，極點(diǎn)的實(shí)部Re［sk］<0，則 ，那么變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，因此數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。（4）雖然S平面的極點(diǎn)按照關(guān)系式 可映射成Z平面的極點(diǎn)，但是必須認(rèn)識(shí)到，沖激響應(yīng)不變法并不相當(dāng)于按照該關(guān)系將S平面映射成Z平面。尤其是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)，它們是隨部分分式展開(kāi)式中的極點(diǎn)和系數(shù)Ak一起變化的。根據(jù)以上分析，對(duì)于部分分式表達(dá)的模擬系統(tǒng)函數(shù)，沖激響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)步驟可不再經(jīng)歷Ha(s)→ha(t)→ha(nT)→H(z)的過(guò)程，而是直接將Ha(s)寫(xiě)成許多單極點(diǎn)的部分分式之和的形式，然后將各個(gè)部分分式用式（6-37）的關(guān)系進(jìn)行替代，從而得到所需的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。在式（6-33）中，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)的幅度特性與采樣間隔T成反比，當(dāng)T較小時(shí)，H(ejω)就會(huì)有很高的增益。為避免這一現(xiàn)象，常作以下修正，即令h(n)=Tha(nT)，于是它的幅度特性將不再與T成反比。此時(shí)的|ω|<π（6-38）

沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位采樣響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬角頻率Ω和數(shù)字角頻率ω之間呈線性關(guān)系，即ω=ΩT。因而一個(gè)線性相位的模擬濾波器可以映射成一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。但是，因?yàn)榇藭r(shí)有頻率響應(yīng)混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器，高通和帶阻濾波器則不宜采用沖激響應(yīng)不變法。對(duì)于帶通和低通濾波器，需充分限帶，阻帶衰減越大，混疊效應(yīng)就越小。

2)雙線性變換法由于從S平面到Z平面的映射關(guān)系z(mì)=esT是多值映射，會(huì)使沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生頻譜混疊。為了克服多值映射這一缺點(diǎn)，我們首先把整個(gè)S平面壓縮變換到一個(gè)中介的S1平面中的橫向帶條內(nèi)，其次再通過(guò)變換關(guān)系式將該橫帶變換到整個(gè)Z平面，這樣就使得S平面與Z平面之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，避免了多值映射。該過(guò)程如圖6.7所示。

圖6.7雙線性變換法的映射關(guān)系

將S平面整個(gè)jΩ虛軸壓縮變換到S1平面jΩ1虛軸上的段，通常采用式（6-39）所示的變換關(guān)系，

即

（6-39）

當(dāng)Ω1從經(jīng)過(guò)0變化到 時(shí)，其對(duì)應(yīng)的Ω由-∞經(jīng)過(guò)0再到∞，式（6-39）可寫(xiě)成

令jΩ=s，jΩ1=s1,可得

（6-40）

再將S1平面用下面的關(guān)系式映射到Z平面

（6-41）

以式（6-41）代入式（6-40）就可得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為

（6-42a）

及

（6-42b）

這種S平面和Z平面之間直接的單值映射，通常也稱(chēng)作雙線性變換。由于從S平面到S1平面進(jìn)行了非線性頻率壓縮，因此避免了頻率混疊現(xiàn)象。

將z=ejω代入式（6-42a），可得

（6-43）

即S平面的虛軸與Z平面的單位圓相對(duì)應(yīng)。將s=σ+jΩ代入式（6-42b），得

因此

（6-44）

由上式可以看出，當(dāng)σ<0時(shí),|z|<1；當(dāng)σ>0時(shí)，|z|>1；當(dāng)σ=0時(shí)，|z|=1。也就是說(shuō)，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射成Z平面的單位圓。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。雙線性變換法滿足前面介紹的以模擬濾波器到數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換的基本條件。同時(shí)雙線性變換還克服了采用沖激響應(yīng)不變法遇到的混疊問(wèn)題，因?yàn)樗鼘平面的整個(gè)虛軸映射成了Z平面的單位圓。下面我們?cè)俜治瞿M角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω之間的映射關(guān)系，

由式（6-43）得

（6-45）

上式表明S平面的Ω與Z平面的ω成非線性正切關(guān)系，如圖6.8所示。從圖6.8可以看到，在ω=0附近它們接近線性關(guān)系，當(dāng)ω增加時(shí)，Ω增加得愈來(lái)愈快，當(dāng)ω趨近π時(shí)，Ω趨向∞。其實(shí)也正因?yàn)檫@種非線性關(guān)系才使Z與S之間一一對(duì)應(yīng)并消除了頻率混疊現(xiàn)象。但是ω與Ω之間的非線性關(guān)系也是雙線性變換法的一個(gè)缺點(diǎn)，它直接影響了數(shù)字濾波器頻響逼真地模仿模擬濾波器的頻響程度，其幅度特性和相位特性失真的情況如圖6.9所示。

圖6.8雙線性變換中模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系

圖6.9雙線性變換法的非線性映射

這種頻率間的非線性關(guān)系又產(chǎn)生了新的問(wèn)題，它使得線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到的數(shù)字濾波器不再保持原有的線性相位性質(zhì)，其次這種非線性關(guān)系也要求模擬濾波幅度特性是分段常數(shù)型的（一般低通、高通、帶通濾波器的頻率響應(yīng)正持有這種特性），否則變換后的數(shù)字濾波器的幅度特性將會(huì)發(fā)生大的變異。不過(guò)此時(shí)特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)的頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)的頻率值成非線性關(guān)系，也就是說(shuō)，各分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了畸變，如圖6.9所示。這種頻率的畸變可以通過(guò)頻率的預(yù)畸變來(lái)校正，即將臨界頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后再映射回所需要的頻率點(diǎn)。例如，要求設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的截止頻率為ωc，利用式（6-45）預(yù)先得模擬濾波器的截止頻率Ωc=tanωc/2而不是Ωc=ωc/T，按畸變后Ωc設(shè)計(jì)出的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后的數(shù)字濾波器正是我們所希望的截止頻率。

3.數(shù)字濾波器之間的頻率變換上面介紹了數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)方法，若需設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器，如前所述，可以先設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，再用頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的濾波器。由于頻率變換可以在模擬域進(jìn)行，也可以在數(shù)字域進(jìn)行，因此有兩種設(shè)計(jì)方法，如圖6.10所示。第一種方法是設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器后，用模擬域的頻率變換將它轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的模擬濾波器，在模擬域從歸一化低通濾波器到其他類(lèi)型的轉(zhuǎn)換關(guān)系可參考表6.1。然后再將其從S平面轉(zhuǎn)換到Z平面得到所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器。

第二種方法是設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器后，首先將其從S平面轉(zhuǎn)換到Z平面，得到數(shù)字低通濾波器，然后用數(shù)字域的頻率變換將它變換成所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器，數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到其他類(lèi)型數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換關(guān)系如表6.2所示。從S平面轉(zhuǎn)換到Z平面可用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法，由于沖激響應(yīng)不變法可能會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，不適合于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，因此第一種方法適合用雙線性變換法，第二種則無(wú)此限制。

圖6.10數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

表6.13dB截止頻率為Ωp的模擬低通濾波器到其他類(lèi)型濾波器的轉(zhuǎn)換

表6.2截止頻率為ωc的數(shù)字低通濾波器到其他類(lèi)型的 數(shù)字濾波器的頻率

表6.2截止頻率為ωc的數(shù)字低通濾波器到其他類(lèi)型的 數(shù)字濾波器的頻率

4.總結(jié)和設(shè)計(jì)舉例

前面我們介紹了兩種映射關(guān)系：

(1)沖激響應(yīng)不變法。這種變換具有一定的物理含義，且容易理解。當(dāng)然沖激響應(yīng)經(jīng)采樣后，頻譜將發(fā)生周期性的重復(fù)。如果此時(shí)頻譜不出現(xiàn)混疊，而且模擬濾波器滿足技術(shù)指標(biāo)，那么以其沖激響應(yīng)的采樣值作為單位采樣響應(yīng)的數(shù)字濾波器也就滿足指標(biāo)要求。這時(shí)，模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的映射關(guān)系為ω=ΩT，即呈線性變換關(guān)系。該變換的缺點(diǎn)是有可能出現(xiàn)頻譜的混疊失真。

(2)雙線性變換法。它是純數(shù)學(xué)上的映射關(guān)系。此時(shí)的 ，其模擬角頻率Ω和數(shù)字角頻率ω之間的映射關(guān)系為：ω=2tan(ΩT/2)，即將模擬頻率的整個(gè)區(qū)間（無(wú)窮大）壓縮到數(shù)字頻率的一個(gè)區(qū)間［-π,π］，避免了沖激響應(yīng)不變法的頻譜混疊效應(yīng)，但同時(shí)也產(chǎn)生了頻率畸變的缺陷，

這使得該變換只能用于一些分段常數(shù)型（頻率選擇性）濾波器的設(shè)計(jì)。

當(dāng)用模擬低通濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器時(shí)，首先要把數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是將數(shù)字濾波器的邊界頻率ωk，如通帶頻率、3dB截止頻率、阻帶截止頻率等轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的相應(yīng)邊界頻率Ωk。對(duì)于沖激響應(yīng)不變法，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為ωk=ΩkT；對(duì)于雙線性變換法，則轉(zhuǎn)換關(guān)系為 。通帶及阻帶衰減與數(shù)字低通濾波器相仿。然后根據(jù)技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器,這可以用查表法，也可以用解析法。最后用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明有關(guān)步驟。

例6.1

設(shè)計(jì)一低通濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，幅度特性下降小于1dB。在頻率高于0.3πrad的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。（1）設(shè)采樣頻率fs=10kHz，用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃茲數(shù)字低通濾波器。（2）設(shè)fs=1kHz，用雙線性變換法，設(shè)計(jì)切比雪夫數(shù)字低通濾波器。

解方法一：用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃茲數(shù)字低通濾波器。（1）

數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為

（2）

將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，為

（3）

設(shè)計(jì)巴特沃茲低通濾波器，

此時(shí)的

N是濾波器的階數(shù)，必須取整數(shù)，為了滿足技術(shù)指標(biāo)要求，選取比求出的N大一點(diǎn)的整數(shù)，如取N=6，代入式（6-13a）或式（6-13b）中求得Ωc=7.032×10-3rad/s。根據(jù)式（6-10）求極點(diǎn)，

代入式（6-11），

化簡(jiǎn)后得模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)

其中分子系數(shù)是根據(jù)s=0時(shí)，Ha(s)=1得到的。

（4）將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。將上式Ha(s)按部分分式展開(kāi)，然后利用沖激響應(yīng)不變法修正式（6-37），得所需數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

當(dāng)z=ejω時(shí),得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)如圖6.11所示。由圖中可看出，在通帶截止頻率ωp=0.2π處，恰好滿足衰減小于1dB的要求，在阻帶起始頻率ωs=0.3π處，衰減大于15dB，超過(guò)指標(biāo)要求。圖6.11例6.1中六階巴特沃茲數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)

方法二：用雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫數(shù)字低通濾波器。（1）將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在雙線性變換中，ω與Ω之間呈非線性關(guān)系，

即

在T=1s時(shí)，將數(shù)字截止頻率按上式預(yù)畸變?yōu)槟M濾波器的截止頻率

（2）求ε。按照要求，

我們?cè)O(shè)計(jì)δ=1dB的等波紋切比雪夫?yàn)V波器，

則

（3）

根據(jù)式（6-22），計(jì)算濾波器的階數(shù)N故取N=4。

（4）計(jì)算濾波器的極點(diǎn)。根據(jù)式（6-24），可求出左半平面的兩對(duì)極點(diǎn)為

s1,2=-0.0906699±j0.6389997,s3.4=-0.2188969±j0.2646819

（5）求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)式（6-26），可求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

（6）求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。利用雙線性變換關(guān)系式及T=1可得：

所得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)如圖6.12所示。

圖6.12例6.1中四階切比雪夫數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)

6.2.2用零、極點(diǎn)累試法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器由第二章的討論知道，濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位置完全決定了濾波器的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)特性。因此，通過(guò)合理設(shè)置數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)，可得到符合要求的濾波器,這在工程實(shí)踐中用得較多。

1．低通濾波器設(shè)計(jì)考慮一低通濾波器，其頻率響應(yīng)在ω=π處為零，相當(dāng)于z＝-1處有一個(gè)零點(diǎn)，若在z=a處又有一個(gè)極點(diǎn)，且a為小于1的正實(shí)數(shù)，則其系統(tǒng)函數(shù)為

（6-46）

式中a可以根據(jù)通帶的要求來(lái)決定，a越大，帶寬越窄。其頻率響應(yīng)為

（6-47）

上式在ω=0時(shí)達(dá)到最大值，

即

（6-48）

下面根據(jù)濾波器技術(shù)指標(biāo)確定a。假設(shè)低通濾波器3dB帶寬為ωc，根據(jù)3dB帶寬定義（6-49）

由式（6-47）和式（6-49）可知

上式為a的二次方程，解之得

因a<1，

所以取

（6-50）

2．高通濾波器的設(shè)計(jì)把低通濾波器的零、極點(diǎn)位置互換，可以得到高通數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

（6-51）

如設(shè)高通濾波器的截止頻率為ω2，同樣可以推得（6-52）

3．帶阻濾波器的設(shè)計(jì)如果把低通和高通濾波器聯(lián)立起來(lái)，

即可得到相應(yīng)的帶阻濾波器，

其系統(tǒng)函數(shù)為

（6-53）

若ω1為帶阻濾波器起始頻率，ω2為帶阻濾波器截止頻率，據(jù)此可得（6-54a）

（6-54b）

阻帶的中心頻率ω0也可由下式?jīng)Q定：

（6-55）

前面給出了簡(jiǎn)單濾波器單個(gè)零、極點(diǎn)對(duì)的設(shè)置。單個(gè)零、極點(diǎn)得到的性能一般比較差，常常需要多個(gè)零、極點(diǎn)才能得到比較好的性能。另外，在確定零、極點(diǎn)位置時(shí)要注意：（1）極點(diǎn)必須位于Z平面單位圓內(nèi)，以保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；（2）

復(fù)數(shù)零、

極點(diǎn)必須共軛成對(duì)，

以保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。

例6.2阻帶濾波器（陷波器）設(shè)計(jì)。實(shí)際應(yīng)用中常要求濾除疊加在信號(hào)上的50Hz交流電干擾，同時(shí)不改變接收信號(hào)中的其他頻率分量，因此要求數(shù)字濾波器的希望的頻率響應(yīng)為

這里ω0=Ω0T=2πf0T，f0=50Hz是待濾去的干擾頻率。

要使某一頻率ω0處頻響幅值為零，只要在z1=ejω0和z2=e-jω0處各安排一個(gè)零點(diǎn),而要使其他頻率處頻響幅值為1，則必須在上述零點(diǎn)附近各配上一個(gè)極點(diǎn)p1和p2

。這樣，當(dāng)z=ejω離開(kāi)z1和z2在單位圓上移動(dòng)時(shí)，從它到z1（和z2）的距離與從它到相應(yīng)的極點(diǎn)p1（和p2）的距離近似相等，以滿足|H(z)|≈1的要求。該H(z)有兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)，因此是一個(gè)二階IIR數(shù)字濾波器。

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)二階IIR數(shù)字濾波器往往不能達(dá)到阻帶特性要求，必要時(shí)可采用幾個(gè)二階濾波器的級(jí)聯(lián)，例如采用三個(gè)二階濾波器級(jí)聯(lián)組成六階阻帶濾波器。此時(shí)三對(duì)零點(diǎn)重合，而三對(duì)極點(diǎn)的幾何位置分布在以零點(diǎn)為中心，△為半徑的小圓上。它的零、極點(diǎn)位置可取圖6.13所示的分布，

其傳輸函數(shù)

其中

i=1,2,3式中pi為圖6.13所示的極點(diǎn)，而pi*為其共軛極點(diǎn)。pi的數(shù)學(xué)表示式則為圖6.13阻帶濾波器的零、

極點(diǎn)配置

余下的問(wèn)題是如何選擇參數(shù)Δ、θ1和θ2。θ1和θ2的數(shù)值對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的頻響影響不大，這里的θ1、θ2可選為π/3左右。Δ對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響較大，Δ越小，頻率響應(yīng)越接近理想的情形，但Δ太小會(huì)對(duì)計(jì)算中的舍入誤差影響十分敏感，甚至?xí)a(chǎn)生發(fā)散情況。若用ε表示遞歸型濾波器ai和bi的計(jì)算精度，通常要求具體數(shù)值可以通過(guò)試驗(yàn)確定（例如Δ=10-2等）。

零、極點(diǎn)累試法可以直接完成零、極點(diǎn)的配置,也可以通過(guò)因式分解，將濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分解為一系列二階因式的乘積，先單獨(dú)對(duì)各個(gè)二階因式進(jìn)行零、極點(diǎn)配置（每一個(gè)二階因式對(duì)應(yīng)一個(gè)阻帶），然后將這些二階因式級(jí)聯(lián)起來(lái)就得到所需阻帶特性的數(shù)字帶通濾波器。后一種實(shí)現(xiàn)方法的性能可優(yōu)于前一種方法。通過(guò)二階因式的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，還可把二階因式做成標(biāo)準(zhǔn)單元，除了分子分母的系數(shù)不同以外，所有的單元都具有相同的結(jié)構(gòu)。根據(jù)所要的濾波器阻帶個(gè)數(shù)，只需級(jí)聯(lián)相應(yīng)的二階單元就可以設(shè)計(jì)出符合要求的濾波器。這不僅簡(jiǎn)化了零、極點(diǎn)的配置，也增加了整個(gè)設(shè)計(jì)的靈活性。因此對(duì)于要求較高的設(shè)計(jì)，一般選擇后一種設(shè)計(jì)方法。

6.2.3IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

設(shè)IIR濾波器由k個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示為

（6-56）

式中A,ai,bi,ci,di是待求的參數(shù)。

設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器頻率響應(yīng)為Hd(ejω)。如果在（0，π）區(qū)間取N點(diǎn)數(shù)字頻率ωi(i=1,2,…,N)，在這N點(diǎn)頻率上，實(shí)際濾波器與理想濾波器頻率響應(yīng)的幅度平方誤差為（6-57）

在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計(jì)IIR濾波器的思想是：選擇濾波器參數(shù)，在一組離散頻率點(diǎn)ωi(i=1,2,…,N)上，使所設(shè)計(jì)的濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)與希望得到的頻率響應(yīng)Hd(ejω)的均方誤差最小。由于共有k個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，因此共有4k+1個(gè)未知數(shù)，令為求出使E最小的未知參數(shù)A和θ，我們令E對(duì)這些參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于零，即可得4k+1個(gè)方程

(6.58)其中θk是θ的第k個(gè)分量。利用上式給出的4k+1個(gè)方程，可得系數(shù)A和θk(k=1,2,…,4k），從而得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)。求解這4k個(gè)非線性方程非常復(fù)雜，一般通過(guò)計(jì)算機(jī)迭代實(shí)現(xiàn)，步驟為：開(kāi)始假設(shè)一組初始值θ，按照公式（6-58）確定A和使E最小的θ，然后繼續(xù)迭代，直至E達(dá)到預(yù)定的要求時(shí)為止在上面的優(yōu)化求解中，對(duì)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)未作任何要求，因此最后得到的H(z)其零、極點(diǎn)可能位于單位圓外。我們可先對(duì)參數(shù)不加限制用上述方法求出系統(tǒng)的參數(shù)，然后檢驗(yàn)每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)，將位于單位圓外的極點(diǎn)ρ1用ρ1-1代替，則可將極點(diǎn)搬到單位圓內(nèi)而保持濾波器的幅度特性不變?？梢宰C明，對(duì)于不穩(wěn)定的極點(diǎn)作這樣的校正后，并不影響濾波器的幅度特性。將所有不穩(wěn)定的極點(diǎn)搬移到單位圓內(nèi)以后，還可再作最優(yōu)化計(jì)算，使均方誤差進(jìn)一步減小。

2.時(shí)域最小均方誤差設(shè)計(jì)我們接著討論利用時(shí)域方法來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)IIR濾波器，使它的單位采樣響應(yīng)逼近我們所要求的單位采樣響應(yīng)。設(shè)濾波器單位采樣響應(yīng)是因果的，即h(n)=0,n<0，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

（6-59）

將上式改寫(xiě)為

（6-60)設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器的單位采樣響應(yīng)為hd(n)，用hd(n)代替上式h(n),并令上式兩邊z-1的同冪項(xiàng)系數(shù)相等，有0≤n≤M

n>M

（6-61a）

（6-61b）

由于hd(n)是已知的，若由式（6-61b）先求出ai，再將ai代入式（6-61a），就可求出bi。但式（6-61b）有無(wú)窮多個(gè)方程，而未知數(shù)ai只有N個(gè),為了能夠求解，可以限制n最大取為L(zhǎng)，若L=N+M，則式（6-61b）有N個(gè)方程，即M+1≤n≤L

（6-62）

求解線性方程組式（6-62），可求出ai(i=1,2,…,N)。

如果L≥N+M+1，則方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。這時(shí)我們可求式（6-61b）的最小二乘解，

即選均方誤差為

（6-63）

我們以E最小為準(zhǔn)則來(lái)選取ai(i=1,2,…,N)。令有

i=1,2,…,N

（6-64）

令

則式（6-64）可寫(xiě)成

i=1,2,…,N

（6-65）

式中有N個(gè)方程，N個(gè)未知數(shù)，因此由式（6-65）可求出ai(i=1,2,…,N)。再由式（6-61a）求出bi(i=1,2,…,N)，這樣便得到了H(z)。上述方法實(shí)質(zhì)上是用一個(gè)有理函數(shù)去逼近一個(gè)冪級(jí)數(shù)的前L項(xiàng)。由于只考慮時(shí)域條件，因此當(dāng)濾波器阻帶衰減到40dB時(shí)，這種方法便難以達(dá)到要求。但由該方法得到的濾波器系數(shù)，可作為更完善的最優(yōu)化算法的初始估計(jì)值。6.3FIR濾波器設(shè)計(jì)

6.3.1利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器

1.設(shè)計(jì)方法設(shè)希望得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為Hd(ejω)，hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位采樣響應(yīng)。但在一般情況下，Hd(ejω)通常是逐段恒定的，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因此得到的hd(n)將是無(wú)限時(shí)寬及非因果的。例如理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為|ω|≤ωc

ωc

<ω≤π

（6-66）

其中α表示群延時(shí)，

其單位采樣響應(yīng)

（6-67）

從上式可以看出，理想低通濾波器的單位采樣響應(yīng)hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)的，且是非因果的。hd(n)的波形如圖6.14(a)所示，它是中心點(diǎn)在α的偶對(duì)稱(chēng)無(wú)限長(zhǎng)非因果序列。因?yàn)槲覀円O(shè)計(jì)的是FIR濾波器，其h(n)必須是有限長(zhǎng)的，所以我們的任務(wù)就是要用有限長(zhǎng)的h(n)來(lái)逼近無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)。

一種簡(jiǎn)單的方法是截取hd(n)的一段作為h(n)，或者說(shuō)用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗函數(shù)序列w(n)來(lái)截取hd(n)，

即

為了使截?cái)嗪蟮臑V波器響應(yīng)逼近理想低通濾波器，窗函數(shù)的形狀和長(zhǎng)度的選擇非常關(guān)鍵。為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，根據(jù)線性相位條件，h(n)應(yīng)滿足對(duì)稱(chēng)中心在(N-1)/2的偶對(duì)稱(chēng)要求(即我們熟悉的中心對(duì)稱(chēng)條件)。因?yàn)橐话愦昂瘮?shù)是滿足上述要求的，所以hd(n)也需滿足中心對(duì)稱(chēng)的要求，即hd(n)=hd(N-1-n)。對(duì)于前面的理想低通濾波器，取α=(N-1)/2。一種最簡(jiǎn)單的窗就是長(zhǎng)度為N的矩形窗RN(n)，波形如圖6.14(b)所示。截取后的濾波器的單位采樣響應(yīng)如圖6.14(c)所示，從圖中可以看出h(n)保持了關(guān)于(N-1)/2的偶對(duì)稱(chēng)形式，所以具有線性相位特性。這時(shí)FIR濾波器的頻率響應(yīng)為實(shí)際上這就是Hd(ejω)的傅里葉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)之和。從這一角度來(lái)說(shuō)，窗函數(shù)法也稱(chēng)傅里葉級(jí)數(shù)法。顯然，N越大，H(ejω)與Hd(ejω)差別越小,但所需的計(jì)算量越大。N的選擇既要使頻率響應(yīng)滿足精度要求，

又要盡量小。

圖6.14理想低通濾波器的單位采樣響應(yīng)及矩形窗

2.吉布斯效應(yīng)窗函數(shù)法實(shí)際上是將滿足技術(shù)要求的無(wú)限長(zhǎng)單位采樣響應(yīng)加窗截?cái)嘧鳛镕IR濾波器的單位采樣響應(yīng)，加窗后濾波器頻率響應(yīng)肯定會(huì)產(chǎn)生變化，下面我們來(lái)討論這種變化。對(duì)式（6-68）進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理可得（6-69）

式中的W(ejω)是窗函數(shù)w(n)的傅里葉變換?？梢?jiàn)實(shí)際FIR濾波器的頻率響應(yīng)由理想濾波器響應(yīng)與窗函數(shù)頻率響應(yīng)的卷積決定，因此窗函數(shù)的特性直接影響到FIR濾波器的頻率特性。下面我們以矩形窗為例進(jìn)行說(shuō)明。對(duì)于矩形窗，其w(n)=RN(n)，有

（6-70）

式中

。RN(ω)稱(chēng)為矩形窗的幅度響應(yīng)。幅度響應(yīng)范圍內(nèi)形成主瓣，兩側(cè)形成許多逐漸衰減的旁瓣，

如圖6.15（b）所示。圖6.15矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響

圖6.15矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響

對(duì)于理想低通濾波器

式中Hd(ω)為理想低通濾波器的幅度特性，如圖6.15（a）所示，即

為保證截取的h(n)中心對(duì)稱(chēng)，需保證其相移α滿足α=(N-1)/2的條件。將式（6-70）和式（6-71）代入式（6-69）可得

（6-72）

式中H(ω)是H(ejω)的幅度特性，

（6-73）

上式說(shuō)明加窗后濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)與矩形窗函數(shù)幅度特性RN(ω)的卷積。因此窗函數(shù)的形狀將直接影響實(shí)際FIR濾波器的頻率特性。不過(guò)，加窗后的濾波器頻率響應(yīng)仍是線性相位的。將理想低通濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejω)和矩形窗頻率響應(yīng)RN(ω)代入式（6-73）的卷積過(guò)程如圖6.15所示。我們來(lái)觀察幾個(gè)特殊的頻率點(diǎn)：（1）當(dāng)ω=0時(shí)，H(0)等于圖6.15(a)與圖6.15(b)兩函數(shù)乘積的積分，也就是RN(θ)在θ=±ωc內(nèi)的積分面積。由于一般情況下都滿足ωc>>2π/N，因此H(0)可以近似看成是θ從-π到π的RN(θ)的全部積分面積。我們將H(0)處的值歸一化為1。（2）當(dāng)ω=ωc時(shí)，如圖6.15(c)所示。Hd(θ)正好與RN(ω-θ)的一半重疊，積分近似等于RN(θ)波形面積的一半，

因此

。

（3）當(dāng)時(shí)，RN(ω-θ)的主瓣在Hd(θ)的通帶|ω|≤ωc之內(nèi)，如圖6.15(d)所示，這時(shí)卷積結(jié)果有最大值，即 為最大的正峰。（4）當(dāng) 時(shí)，RN(ω-θ)的主瓣在Hd(θ)的通帶之外，如圖6.15(e)所示。由于通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因此卷積結(jié)果形成最大的負(fù)峰。在正負(fù)兩峰之間形成一過(guò)渡帶，其寬度為Δω=(4π)/N，即等于RN(ω)的主瓣寬度。（5）當(dāng)時(shí)，隨著ω的增加，RN(ω-θ)左邊旁瓣的起伏部分將經(jīng)過(guò)通帶，卷積結(jié)果也將隨RN(ω-θ)的旁瓣在通帶內(nèi)的面積變化而變化，故H(ω)將圍繞H(0)波動(dòng)。當(dāng)ω由 向通帶內(nèi)減小時(shí)，RN(ω-θ)的右旁瓣將進(jìn)入Hd(θ)的通帶，右邊旁瓣的起伏也將使H(ω)形成圍繞H(0)的波動(dòng),卷積結(jié)果如圖6.15(f)所示。前面分析了理想低通濾波器經(jīng)過(guò)矩形窗加窗處理后給頻率響應(yīng)造成的影響，對(duì)于其他窗函數(shù)，加窗后對(duì)頻率響應(yīng)同樣具有以下影響：（1）在理想特性不連續(xù)點(diǎn)(ω=ωc)處的邊沿加寬，形成過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度近似等于窗函數(shù)頻率響應(yīng)W(ejω)的主瓣寬度Δω。（2）在截止頻率ωc的兩邊 處，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值。最大肩峰值的兩側(cè)形成一串余振，它們?nèi)Q于窗函數(shù)頻譜的旁瓣，旁瓣越多，余振也越多，旁瓣相對(duì)值越大，肩峰也愈大。（3）加窗后頻率響應(yīng)的肩峰值取決于窗函數(shù)的形狀，與窗函數(shù)的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。對(duì)于矩形窗，

在主瓣附近（當(dāng)ω較小時(shí)），

可見(jiàn)，改變N，可以改變窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度及改變?chǔ)刈鴺?biāo)的比例與RN(ω)的絕對(duì)大小，但是不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例（即主旁瓣比）。這個(gè)相對(duì)比例是由辛克函數(shù)(sinx)/x決定的，或者是由窗函數(shù)（辛克函數(shù)的反傅里葉變換為矩形窗）的形狀決定的。因此增加N可減小主瓣寬度，進(jìn)而減小過(guò)渡帶的寬度(4π)/N，而不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值。例如在矩形窗的情況下，最大肩峰相對(duì)值（相對(duì)于H(0)）為8.95%。N增加時(shí)，(2π)/N減小，起伏振蕩變密，而最大肩峰的相對(duì)值仍是8.95%，使阻帶最小衰減只有21dB。肩峰的大小影響濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)和阻帶的衰減，對(duì)濾波器的性能影響較大。以上分析說(shuō)明，調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可有效地控制過(guò)渡帶的寬度，減小通帶內(nèi)波動(dòng)，而加大阻帶衰減一般只能從窗函數(shù)形狀上尋找解決方法。前面討論的用窗函數(shù)直接截?cái)鄅d(n)引起的截?cái)嘈?yīng)在頻域的反應(yīng)，通常被稱(chēng)為吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象。為了改善濾波器的性能，通常要求窗函數(shù)具有一些好的特性，即（1）主瓣寬度窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶。（2）最大旁瓣相對(duì)主瓣值（簡(jiǎn)稱(chēng)為旁瓣電平）盡可能小，以改善通帶的平穩(wěn)度和增大阻帶中的衰減。但是，這兩者之間常常有矛盾，難以同時(shí)滿足。常用的窗函數(shù)在這兩個(gè)因素之間取得適度的折衷時(shí)，往往需要增加主瓣寬度來(lái)?yè)Q取旁瓣的抑制。如果選用一個(gè)窗函數(shù)的主要目的是為了得到較窄的過(guò)渡帶，就選用主瓣較窄的窗函數(shù)，但通帶和阻帶內(nèi)的振蕩將會(huì)較大。相反，如果主要目的是為了得到平坦的幅度響應(yīng)和較小的阻帶濾紋，這時(shí)選用的窗函數(shù)的旁瓣電平就要小，但所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的過(guò)渡帶就可能較寬。3.常用的窗函數(shù)1)矩形（Rectangle）窗

其頻率響應(yīng)

WR(ejω)的主瓣寬度為4π/N，第一旁瓣比主瓣低13dB

。

2)三角形（巴特利特Bartlett）窗

其頻率響應(yīng)

主瓣寬度為8π/N，

第一旁瓣約比主瓣低25dB。

3)漢寧（Hanning）窗，又稱(chēng)升余弦窗

其頻率響應(yīng)

當(dāng)N>>1時(shí)，頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)近似為

式中WR(ω)是矩形窗譜的幅度函數(shù)。WHn(ejω)的主瓣寬度為8π/N，第一旁瓣比主瓣低31dB。

4)海明（Hamming）窗，又稱(chēng)為改進(jìn)升余弦窗

其頻率響應(yīng)

當(dāng)N>>1時(shí)，頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)近似為

WHn(ejω)的主瓣寬度為8π/N，

第一旁瓣比主瓣低41dB。

5)布萊克曼（Blackman）窗，

又稱(chēng)二階升余弦窗

其頻率響應(yīng)

幅度函數(shù)

WB1(ejω)的主瓣寬度為12π/N，第一旁瓣比主瓣低57dB。

6)凱塞—貝塞爾（Kaiser—Basel）窗

0≤n≤N-1其中， ,I0(x)是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，可用下面的無(wú)窮級(jí)數(shù)表示

一般取級(jí)數(shù)的前15～25項(xiàng)便可滿足精度要求。控制參數(shù)α，可調(diào)整主瓣寬度與旁瓣電平。α越大，窗譜主瓣越寬，旁瓣越小。一般選擇4<α<9時(shí)，對(duì)應(yīng)于窗譜的旁瓣幅度與主瓣幅度的比值由3.1%變到0.047%。為了便于比較，供設(shè)計(jì)時(shí)參考，表6.3歸納了常用窗函數(shù)的基本參數(shù)，圖6.16示出了常用窗函數(shù)的時(shí)域波形的包絡(luò)，圖6.17示出了常用窗函數(shù)的幅度特性。表6.3常用窗函數(shù)基本參數(shù)

圖6.16常用窗函數(shù)的時(shí)域波形包絡(luò)

圖6.17常用窗函數(shù)的幅度特性矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；

(c)漢寧窗；(d)海明窗；

(e)布萊克曼窗

4.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器大體可分為以下幾個(gè)步驟：（1）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出了希望濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，則該單位取樣響應(yīng)可由傅里葉反變換確定，即此時(shí)的（6-74）

當(dāng)Hd(ejω)很復(fù)雜或不能用封閉公式表示時(shí)，則無(wú)法用上式直接計(jì)算積分。這時(shí)可用求和代替積分，將積分限分成M段，即（6-75）

上式是M點(diǎn)的逆DFT。根據(jù)頻域采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系，即（6-76）

由于hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)序列，因此M趨于無(wú)窮大時(shí)hM(n)才不產(chǎn)生混疊，即 。實(shí)踐中，由于hd(n)隨n增大衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N，就足夠了。上面的逆DFT用FFT來(lái)計(jì)算，可提高計(jì)算效率。如果給出通帶、阻帶衰減和邊界頻率要求，這時(shí)可用理想濾波器作為希望濾波器，從理想濾波器的頻率響應(yīng)做傅里葉反變換求出hd(n)。（2）根據(jù)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。濾波器的過(guò)渡帶Δω近似等于窗譜的主瓣寬度，與窗口長(zhǎng)度N成反比，可參考表6.3。在窗函數(shù)形式一定的情況下，增大N，可減小過(guò)渡帶，但也會(huì)使FIR濾波器的階次增大，濾波器的復(fù)雜程度及計(jì)算量均會(huì)增加。阻帶衰減取決于窗函數(shù)的形式，實(shí)踐中，應(yīng)根據(jù)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，

參考表6.3，適當(dāng)選擇窗函數(shù)的形式。

（3）

計(jì)算濾波器的單位采樣響應(yīng)

其中w(n)是（2）中選擇的窗函數(shù)。如果要求線性相位，則要求hd(n)和w(n)均保持中心對(duì)稱(chēng)(即關(guān)于(N-1)/2的偶對(duì)稱(chēng))性質(zhì)。（4）檢驗(yàn)設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器是否滿足技術(shù)指標(biāo)。計(jì)算H

(ejω)時(shí)可采用FFT算法。如果設(shè)計(jì)出的濾波器不滿足技術(shù)要求，可重復(fù)（2）、（3）、

（4）步驟，

直到滿足要求為止。

例6.3設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，給定采樣頻率fs=15kHz，通帶截止頻率Ωp=2π×1.5×103(rad/s)，阻帶起始頻率Ωs=2π×3×103(rad/s)，阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖6.18所示。

解（1）由于濾波器指標(biāo)用模擬頻率給出，先求各對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率：通帶截止頻率

阻帶起始頻率

圖6.18例6.3要求的低通濾波器特性（2）

求理想線性相位低通濾波器的頻率響應(yīng)Hｄ(ejω)

首先由所需低通濾波器的過(guò)渡帶求理想低通濾波器的截止頻率Ωc（由于Ωc為兩個(gè)肩峰值處的頻率的中點(diǎn)，而Ωp到Ωs之間的過(guò)渡帶寬并非兩個(gè)肩峰值間的頻率差，因而求出的Ωc有一定的近似。）其對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率

由此可得

式中α為線性相位所必須的位移，

我們已知需滿足

（3）由阻帶衰減δ2來(lái)確定窗形狀，由過(guò)渡帶寬確定N。由于δ2=50dB，查表6.3可選海明窗，其阻帶最小衰減-53dB滿足要求。所要求的過(guò)渡帶寬

由于海明窗過(guò)渡帶寬滿足Δω=(6.6π)/N，因此

（4）由海明窗表達(dá)式w(n)確定FIR濾波器的h(n)。海明窗的所以

（5）由h(n)求H(ejω)，檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求，如不滿足要求可改變N，或改變窗函數(shù)形狀（或兩者都改變）來(lái)重新計(jì)算。Hd(ejω)的圖形列于圖6.19中。當(dāng)然，窗函數(shù)法也可用于設(shè)計(jì)其他類(lèi)型的濾波器，例如高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。利用奇對(duì)稱(chēng)單位采樣響應(yīng)的特點(diǎn)還可以設(shè)計(jì)90°移相器（或稱(chēng)離散希爾伯特變換器）以及幅度響應(yīng)與ω成線性關(guān)系的線性微分器等。圖6.19例6.3設(shè)計(jì)出的線性相位FIR低通濾波器的幅度特性

6.3.2利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)，把希望的hd(n)用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長(zhǎng)的hd(n)，設(shè)計(jì)出FIR濾波器。頻率采樣法則是從頻域出發(fā)，由希望濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejω)的頻率采樣值Hd(k)設(shè)計(jì)FIR濾波器，并按此離散傅里葉變換Hd(k)來(lái)唯一確定有限長(zhǎng)序列hd(n)。對(duì)希望濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)在［0，2π］區(qū)間等角度間隔采樣N點(diǎn)得到Hd(k)，即

k=0,1,…,N-1（6-78）

以Hd(k)作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)H(k)，

即令

H(k)=Hd(k)

k=0,1,2,…,N-1（6-79）

對(duì)H(k)作IDFT可唯一確定有限長(zhǎng)序列h(n)，即

n=0,1,…,N-1（6-80）

h(n)就是我們實(shí)際設(shè)計(jì)出的FIR濾波器的單位采樣響應(yīng)。這就是頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本思路。設(shè)希望濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejω)對(duì)應(yīng)的單位采樣響應(yīng)為hd(n)，由頻率采樣定理知道，當(dāng)我們討論的H(k)是在頻域0～2π之間等間隔采樣所得N點(diǎn)的樣本時(shí)，由其IDFT得到的單位采樣響應(yīng)應(yīng)是hd(n)以N為周期的周期性延拓。此時(shí)若截取它的一個(gè)周期，則可得（6-81）

如果hd(n)是時(shí)限的，且持續(xù)時(shí)間小于N，則h(n)與hd(n)完全相同。但是若Hd(ejω)是分段連續(xù)的，存在著突變點(diǎn)，那么相應(yīng)的單位采樣響應(yīng)hd(n)應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。這樣，由于時(shí)域混疊，將使所設(shè)計(jì)的h(n)與hd(n)有偏差,因此，希望在頻域的采樣點(diǎn)數(shù)N加大。N愈大，設(shè)計(jì)出的濾波器愈逼近其Hd(ejω)。上面從時(shí)域角度分析了誤差來(lái)源,如果從頻域考慮，由頻率采樣定理的內(nèi)插公式可以得到實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

及其頻率響應(yīng)

（6-82）

式中φ(ω)是內(nèi)插函數(shù)， 。由內(nèi)插公式（6-82）可知，在各頻率采樣點(diǎn)上，實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng)與希望濾波器頻率響應(yīng)的數(shù)值嚴(yán)格相等。但在取樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的加權(quán)疊加形成的，因而存在一定的逼近誤差。誤差大小則取決于希望頻率響應(yīng)的曲線形狀和采樣點(diǎn)的密度。

希望頻率響應(yīng)變化越平緩，內(nèi)插值越接近希望值，逼近誤差越小。反之，如果采樣點(diǎn)之間的希望頻率特性變化越迅速，則內(nèi)插值與希望值的誤差就越大。因此，在希望頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)形成振蕩特性。采樣點(diǎn)數(shù)愈多，即采樣頻率越高，誤差越小。圖6.20表示所要求的頻率響應(yīng)Hd(ejω)及由頻率采樣的連續(xù)內(nèi)插所得到的H(ejω)，圖中實(shí)線為理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)，圓點(diǎn)表示其采樣值H(k),虛線表示H(k)的連續(xù)內(nèi)插，即H(ejω)。圖（b）為理想的梯形頻率響應(yīng)，變化較緩慢，H(ejω)對(duì)Hd(ejω)逼近較好。圖（a）為一理想矩形頻率響應(yīng)，在通帶和阻帶之間不連續(xù)，變化劇烈，H(ejω)對(duì)Hd(ejω)逼近較差，出現(xiàn)的肩峰和起伏比圖（b）要大。圖6.20頻率采樣的說(shuō)明

為了減小逼近誤差，也就是要減小在通帶邊緣由于采樣點(diǎn)的突變而引起的起伏振蕩。與窗函數(shù)法的平滑截?cái)嘁粯?，增加過(guò)渡帶，減小頻帶邊緣的突變，可減小起伏振蕩。這樣就需要在希望頻率響應(yīng)不連續(xù)點(diǎn)的邊緣增加一些過(guò)渡的采樣點(diǎn)，一般增加1～3個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，如圖6.21所示，即可得到滿意的效果。這些過(guò)渡采樣點(diǎn)取值不同，逼近的效果也不同，因?yàn)橛墒剑?－82）看出，每一個(gè)頻率采樣值，都將產(chǎn)生一個(gè)與常數(shù) 成正比,且在頻率上位移(2πk)/N的頻率響應(yīng)，而FIR濾波器的頻率響應(yīng)就是各H(k)與相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù) 相乘后的線性組合。如果精心設(shè)計(jì)過(guò)渡帶的采樣值，就有可能使有用頻帶（通帶、阻帶）的波紋得到減小，從而設(shè)計(jì)出較好的濾波器。在低通濾波器設(shè)計(jì)中，一般不加過(guò)渡采樣點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為20dB。采用一個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，阻帶最小衰減可提高到44～54dB左右；采用二個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)可達(dá)60～75dB；采用三個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)可達(dá)80～95dB左右。當(dāng)然阻帶衰減增大了，過(guò)渡帶也就加寬了。

圖6.21理想低通濾波器增加過(guò)渡點(diǎn)

如果要設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器，則采樣值H(k)的幅度、相位必須滿足一定的約束條件。第四章我們介紹了線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，根據(jù)這些特點(diǎn)可以推導(dǎo)出其幅度特性和相位特性應(yīng)滿足的約束條件，這里不再贅述。頻率采樣設(shè)計(jì)法特別適用于設(shè)計(jì)窄帶選頻濾波器,因?yàn)檫@時(shí)非零值的H(k)的個(gè)數(shù)很少，因而計(jì)算量也小。6.3.3利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器前介紹了兩種FIR濾波器設(shè)計(jì)方法，其中窗函數(shù)法是用窗函數(shù)直接截取希望設(shè)計(jì)的濾波器的hd(n)一段，作為濾波器的h(n)，這是時(shí)域逼近法。而頻率采樣法則是直接在頻域采樣，利用頻域采樣值逼近希望濾波器響應(yīng)，也稱(chēng)頻域逼近法。這兩種方法的結(jié)果在頻域不連續(xù)點(diǎn)附近誤差較大，且邊界頻率不易控制。因此，用以上兩種設(shè)計(jì)法使整個(gè)頻域滿足技術(shù)指標(biāo)要求，某些區(qū)域必然超過(guò)這個(gè)要求。下面介紹一種等波紋逼近法，它使誤差在整個(gè)頻帶均勻分布，面對(duì)同樣的技術(shù)指標(biāo)，這種逼近法需要的濾波器階數(shù)低。而對(duì)同樣的濾波器階數(shù)，這種逼近法的最大誤差最小。等波紋最佳一致逼近準(zhǔn)則是根據(jù)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，導(dǎo)出一組條件，在此條件下使整個(gè)逼近的頻率范圍內(nèi)（包括通帶和阻帶）逼近誤差絕對(duì)值的最大值為最小?？梢宰C明，用這種優(yōu)化準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的濾波器，在通帶和阻帶內(nèi)必然呈現(xiàn)等波紋幅度特性，所以稱(chēng)之為“等波紋最佳一致逼近”，也稱(chēng)為“切比雪夫逼近”。設(shè)希望濾波器的幅度函數(shù)為Hd(ω)，實(shí)際逼近濾波器的幅度函數(shù)為Hg(ω)，逼近誤差加權(quán)函數(shù)為W(ω)，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］（6-83）

不同頻帶中加權(quán)函數(shù)W(ω)的值可不同，在誤差要求小的頻帶內(nèi)它可取較大的值，而在誤差要求大的頻帶內(nèi)可取較小的值。設(shè)計(jì)過(guò)程中W(ω)為已知函數(shù)。