22.2.5直角三角形相似的判定方法第22章

相似形【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********22.2.5直角三角形相似的判定方法學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握直角三角形相似的特殊判定方法，并能與一般三角形相似的判定方法區(qū)分開(kāi)來(lái)。能夠運(yùn)用直角三角形相似的判定方法解決相關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題。進(jìn)一步體會(huì)直角三角形的特殊性在相似判定中的作用，提升幾何推理能力。課堂講解一、直角三角形相似的判定方法直角三角形是特殊的三角形，除了可以運(yùn)用一般三角形相似的判定定理（兩角分別相等、兩邊成比例且?jiàn)A角相等、三邊成比例）外，還有其特殊的判定方法：（一）方法一：一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似因?yàn)橹苯侨切蔚膬蓚€(gè)銳角互余，若兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么另一個(gè)銳角也必然對(duì)應(yīng)相等（因?yàn)閈(90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-\alpha\)）。根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，可得這兩個(gè)直角三角形相似。如圖1，在\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleA'B'C'\)中，\(\angleC=\angleC'=90^{\circ}\)，若\(\angleA=\angleA'\)，則\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)。（二）方法二：兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似在直角三角形中，直角是特殊的角，兩直角邊的夾角就是直角。若兩個(gè)直角三角形的兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”（這里的夾角為直角，必然相等），可判定這兩個(gè)直角三角形相似。如圖1，在\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleA'B'C'\)中，\(\angleC=\angleC'=90^{\circ}\)，若\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\)，則\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)。（三）方法三：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似這是直角三角形特有的相似判定方法。如圖1，在\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleA'B'C'\)中，\(\angleC=\angleC'=90^{\circ}\)，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)（或\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)），則\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)。推導(dǎo)：設(shè)\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，則\(AB=k\cdotA'B'\)，\(AC=k\cdotA'C'\)。由勾股定理可得：\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(k\cdotA'B')^2-(k\cdotA'C')^2}=k\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}=k\cdotB'C'\)因此，\(\frac{BC}{B'C'}=k\)，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\)。根據(jù)“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”，可得\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)。二、判定方法的應(yīng)用（一）利用特殊判定方法判定直角三角形相似例1：如圖2，在\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleDEF\)中，\(\angleC=\angleF=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，\(DF=6\)，\(EF=8\)，判斷這兩個(gè)直角三角形是否相似，并說(shuō)明理由。解：因?yàn)閈(\frac{AC}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)，所以\(\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)。又因?yàn)閈(\angleC=\angleF=90^{\circ}\)，根據(jù)“兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似”，可得\(Rt\triangleABC\simRt\triangleDEF\)。例2：如圖3，在\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleA'B'C'\)中，\(\angleC=\angleC'=90^{\circ}\)，\(AB=10\)，\(AC=6\)，\(A'B'=5\)，\(A'C'=3\)，判斷這兩個(gè)直角三角形是否相似，并說(shuō)明理由。解：計(jì)算斜邊和一條直角邊的比：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{5}=2\)，\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{6}{3}=2\)，所以\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)。又因?yàn)閈(\angleC=\angleC'=90^{\circ}\)，根據(jù)“斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似”，可得\(Rt\triangleABC\simRt\triangleA'B'C'\)。（二）利用相似性質(zhì)解決計(jì)算問(wèn)題例3：如圖4，已知\(Rt\triangleABC\simRt\triangleADE\)，\(\angleC=\angleE=90^{\circ}\)，\(\frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}\)，\(BC=6\)，求\(DE\)的長(zhǎng)。解：因?yàn)閈(Rt\triangleABC\simRt\triangleADE\)，所以\(\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}\)（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）。已知\(BC=6\)，則\(\frac{6}{DE}=\frac{3}{2}\)，解得\(DE=4\)。三、注意事項(xiàng)在運(yùn)用直角三角形特殊判定方法時(shí)，要明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，如斜邊對(duì)應(yīng)斜邊，直角邊對(duì)應(yīng)直角邊?！靶边吅鸵粭l直角邊對(duì)應(yīng)成比例”是直角三角形特有的判定方法，不適用于一般三角形，使用時(shí)要注意前提是直角三角形。當(dāng)判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，可根據(jù)題目條件靈活選擇判定方法，優(yōu)先考慮特殊方法，簡(jiǎn)化推理過(guò)程。課堂小結(jié)直角三角形相似的判定方法包括：一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例；斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，同時(shí)也可運(yùn)用一般三角形相似的判定定理。這些方法是基于直角三角形的特殊性（直角和兩銳角互余）推導(dǎo)得出的。應(yīng)用時(shí)要準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，根據(jù)不同條件選擇合適的判定方法，解決相關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題。作業(yè)提升如圖5，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(CD\perpAB\)于點(diǎn)\(D\)，求證：\(\triangleACD\sim\triangleABC\sim\triangleCBD\)。已知\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleDEF\)中，\(\angleC=\angleF=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleD=60^{\circ}\)，判斷這兩個(gè)直角三角形是否相似，并說(shuō)明理由。在\(Rt\triangleABC\)和\(Rt\triangleA'B'C'\)中，\(\angleC=\angleC'=90^{\circ}\)，\(AC=5\)，\(BC=12\)，\(A'C'=10\)，\(B'C'=24\)，求\(\frac{AB}{A'B'}\)的值，并判斷這兩個(gè)直角三角形是否相似。下列條件中，不能判定\(Rt\triangleABC\simRt\triangleA'B'C'\)的是（

）A.\(\angleA=\angleA'\)B.\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\)C.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)D.\(\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}\)5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入到目前為止我們總共學(xué)過(guò)幾種判定兩個(gè)三角形相似的方法？判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)

三角形相似.判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

思考兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？?jī)蓚€(gè)等邊三角形、兩個(gè)直角三角形呢？

新課探究（1）有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形是否相似？想一想ABCDEF

（2）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊和另一個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)直角三角形是否相似？ABCDEF

（3）如果把（2）中的條件改為一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例呢？ABCDEF

已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,.求證:Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.ACBB′A′C′

證明設(shè),則AB=kA′B′,

AC=kA′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.ACBB′A′C′

直角三角形相似的判定方法如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

例4如圖,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.問(wèn)當(dāng)BD

與a,b

之間滿足怎樣的函數(shù)表達(dá)式時(shí),以點(diǎn)A,B,C

為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C,D,B

為頂點(diǎn)的三角形相似？ABDCab解∵∠ABC=∠CDB=90°,當(dāng)時(shí),△ABC∽△CDB.即

又當(dāng)時(shí),△ABC∽△BDC.ABDCab即答:當(dāng)或時(shí),以點(diǎn)A,B,C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C,D,B為頂點(diǎn)的三角形相似.

隨堂演練1.銳角三角形ABC

的邊AB,AC

上的高CE,BF相交于點(diǎn)D,請(qǐng)寫(xiě)出圖中的兩對(duì)相似三角形.ABCEFD△BED

∽△CFD.△BED

∽△BFA.

2.在Rt△ABC

與△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,當(dāng)具有下列條件時(shí),這兩個(gè)直角三角形是否相似,為什么？（1）AB=10cm,AC=8cm,A′B′=15cm,B′C′=9cm;（2）AB=5cm,AC=4cm,A′C′=12cm,B′C′=9cm.

（1）AB=10cm,AC=8cm,A′B′=15cm,B′C′=9cm;解由勾股定理得A′C′=12cm,BAC∵∴∴△ABC

∽△A′B′C′.A′C′B′

（2）AB=5cm,AC=4cm,A′C′=12cm,B′C′=9cm.解由勾股定理得A′B′=15cm,BAC∵∴∴△ABC

∽△A′B′C′.A′C′B′

1星題

基礎(chǔ)練知識(shí)點(diǎn)1

斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似

102.一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分