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文檔簡介
2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式(2)人教A版(2019)選擇性必修第一冊第一章
空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)探索并掌握點到直線的距離公式01會求兩平行直線間的距離02知識引入工程建設(shè)中,我們常常遇到這樣的決策問題:如在某鐵路的附近,有一大型倉庫,現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來,從經(jīng)濟和時間投入上來看,我們當(dāng)然應(yīng)該修一條從倉庫垂直于鐵路方向的公路.將鐵路看作一條直線l,倉庫看作點P,那么怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢?探索新知探
究如圖,已知點
P(x0,y0),直線
l:Ax+By+C=0,怎樣求出點
P到直線
l的距離呢?PQxyOl過點
P作直線
l的垂線,記垂足為
Q,則垂線段
PQ的長度就是點
P到直線
l的距離.因此,求出垂足
Q的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式求出
|PQ|,就可以得到點
P到直線
l的距離.探索新知如圖,已知點
P(x0,y0),直線
l:Ax+By+C=0,怎樣求出點
P到直線
l的距離呢?探
究PQxyOl直線l的方程直線PQ
的方程兩點之間的距離|PQ|直線PQ
的斜率點Q
的坐標(biāo)
直線l的斜率點P
的坐標(biāo)直線l的方程點P
的坐標(biāo)點P
到直線l
的距離探索新知如圖,已知點
P(x0,y0),直線
l:Ax+By+C=0,怎樣求出點
P到直線
l的距離呢?探
究PQxyOl設(shè)
A≠0,B≠0.由
PQ⊥l,以及直線
l的斜率為
,可得
l的垂線
PQ的斜率為.
因此,垂線
PQ的方程為
,
探索新知如圖,已知點
P(x0,y0),直線
l:Ax+By+C=0,怎樣求出點
P到直線
l的距離呢?探
究PQxyOl解方程組:
得直線
l與
PQ
的交點坐標(biāo),即垂足
Q的坐標(biāo)為探索新知如圖,已知點
P(x0,y0),直線
l:Ax+By+C=0,怎樣求出點
P到直線
l的距離呢?探
究利用兩點間距離公式
探索新知
探
究PQxyOl當(dāng)
A=0時,直線
l:By+C=0,
|PQ|=|y0-yQ|=探索新知
探
究當(dāng)
B=0時,直線
l:Ax+C=0,
|PQ|=|x0-xQ|=PQxyOl所以當(dāng)
A=0或
B=0時,上述公式仍然成立.探索新知點到直線的距離公式
點
P(x0,y0)到直線
l:Ax+By+C=0的距離公式:公式特征:(1)點到直線的距離公式中,直線的方程要轉(zhuǎn)化為一般式
Ax+By+C=0;(2)公式中,分子是將點
P(x0,y0)的坐標(biāo)代入一般式左邊所得值的絕對值,分母是一般式一次項系數(shù)平方和的算術(shù)平方根;(3)點到直線的距離是直線上的點與直線外一點的連線的最短距離.探索新知
思
考上述方法中,我們根據(jù)點到直線距離的定義,將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離,思路自然但運算量較大.反思求解過程,你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運算的原因了嗎?原因在于,求出的點
Q坐標(biāo)比較復(fù)雜,再代入兩點間距離公式造成了運算的復(fù)雜.能否不求出點
Q的坐標(biāo),推得點到直線的距離公式?探索新知
思
考能否不求出點
Q的坐標(biāo),推得點到直線的距離公式?
由得將(1)、(2)兩邊分別平方后相加可得
所以從而探索新知我們知道,向量是解決距離、角度問題的有力工具.能否用向量方法求點到直線的距離?探
究
探索新知
思
考
把
Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0兩式相減,得
A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.由平面向量的數(shù)量積運算可知,向量(A,B)與向量
(x2-x1,y2-y1)垂直.
向量
(A,B)就是與直線
l
的方向向量垂直的一個單位向量.
探索新知
思
考
探索新知
思
考
因為點
M(x,y)在直線
l上,所以
Ax+By+C=0.所以
Ax+By=-C,代入上式,得
因此探索新知比較上述推導(dǎo)點到直線距離公式的“坐標(biāo)法”和“向量法”兩種方法,它們各有什么特點?“坐標(biāo)法”是通過尋找所求量的坐標(biāo)表示,再經(jīng)過一系列運算最終得到點到直線距離公式.坐標(biāo)法運算量較大,所以我們還要尋求簡化運算的方法.這里我們用到了設(shè)而不求,整體代換的手段.“向量法”抓住了點到直線距離是點與直線上點的最短長度這一幾何特征,借助投影向量、直線方向向量的概念,將向量用坐標(biāo)表示,再運算求解.這種方法體現(xiàn)了解析幾何形與數(shù)、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,技巧性強,但是大大降低了運算量.典型例題
例5求點
P(-1,2)到直線
l:3x=2的距離.解:點
P(-1,2)到直線
l:3x-2=0的距離分析:將直線
l的方程寫成
3x-2=0,再用點到直線的距離公式求解.典型例題例6已知△ABC的三個頂點分別是
A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面積.
分析:由三角形面積公式可知,只要利用距離公式求出邊
AB的長和邊
AB上的高即可.典型例題例6已知△ABC的三個頂點分別是
A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面積.
探索新知若已知兩條平行直線
l1,l2的方程,如何求l1與l2間的距離?
思
考兩條平行直線間的距離:是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.根據(jù)兩條平行直線間距離的含義,在直線
l1上任取一點
P
(x0,y0),點
P
(x0,y0)到直線
l2的距離就是直線
l1與直線
l2間的距離.這樣,求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離.Oxyl2l1P
(x0,y0)典型例題例7已知兩條平行直線
l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,求
l1與
l2間的距離.
分析:在
l1上選取一點,如
l1與坐標(biāo)軸的交點,用點到直線的距離公式求這點到
l2的距離,即
l1與
l2間的距離.如何取點,可使計算簡單?把點取在
x軸或
y軸上,會使計算簡單典型例題
分析:兩條平行直線間的距離即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點到另一條直線的距離.例8求證:兩條平行直線
Ax+By+C1=0與
Ax+By+C2=0間的距離為
.
探索新知兩條平行直線間的距離
已知兩條直線
l1:Ax+By+C1=0與
l2:Ax+By+C2=0(A,B不同時為0,C1≠C2)平行,則它們之間的距離為(1)兩條平行直線間的距離公式適用于兩
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