高三數(shù)學(xué)模擬考試試卷及詳解理科一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）A.\((1,\frac{3}{2})\)B.\((1,\frac{3}{2}]\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,\frac{3}{2})\)2.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z(1+i)=2i\)，則\(|z?|\)（\(z?\)為\(z\)的共軛復(fù)數(shù)）=（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(2\sqrt{2}\)3.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{\ln(x+1)}\)的定義域是（）A.\([\frac{1}{2},+\infty)\)B.\((\frac{1}{2},+\infty)\)C.\([\frac{1}{2},0)\cup(0,+\infty)\)D.\((\frac{1}{2},0)\cup(0,+\infty)\)4.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)5.將函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位，得到的函數(shù)解析式為（）A.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)B.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)C.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)D.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)6.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.4cm3B.6cm3C.8cm3D.12cm37.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左焦點(diǎn)為\(F\)，上頂點(diǎn)為\(B\)，若直線\(BF\)與圓\(x^2+y^2=b^2\)相切，則橢圓\(C\)的離心率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)8.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，若\(P(X<2)=0.2\)，\(P(2\leqX\leq6)=0.6\)，則\(\mu=\)（）A.2B.4C.6D.89.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的偶函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，若\(f(2)=0\)，則不等式\(f(x-1)>0\)的解集為（）A.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)C.\((-1,3)\)D.\((-1,1)\)10.已知三棱錐\(P-ABC\)的所有頂點(diǎn)都在球\(O\)的球面上，\(PA=PB=PC=2\)，\(AB=BC=CA=2\)，則球\(O\)的表面積為（）A.\(4\pi\)B.\(8\pi\)C.\(12\pi\)D.\(16\pi\)11.已知拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，過(guò)\(F\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AF|=3\)，則\(|BF|\)（）A.1B.\(\frac{3}{2}\)C.2D.312.已知函數(shù)\(f(x)=x\lnx-a(x^2-1)\)有兩個(gè)極值點(diǎn)\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,\frac{1}{2})\)B.\((0,1)\)C.\((\frac{1}{2},1)\)D.\((1,+\infty)\)二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量\(\mathbf{a}=(1,2)\)，\(\mathbf=(2,-1)\)，則\(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}+\mathbf)=\)______14.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2^n\)，則\(a_5=\)______15.若不等式\(x^2-2ax+1\geq0\)對(duì)所有\(zhòng)(x\in[1,2]\)恒成立，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是______16.已知雙曲線\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)的右焦點(diǎn)為\(F\)，以\(F\)為圓心，半徑為\(r\)的圓與雙曲線的漸近線相切，則\(r=\)______三、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所對(duì)的邊分別為\(a,b,c\)，已知\(\cosA=\frac{1}{3}\)，\(b=3\)，\(c=2\)，求\(a\)和\(\sinC\)的值。18.（12分）如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=AA_1=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(D\)為\(BC\)的中點(diǎn)。（1）求證：\(A_1D\perp\)平面\(B_1C_1D\)；（2）求二面角\(A_1-B_1D-C_1\)的余弦值。19.（12分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品，其中一等品率為0.7，二等品率為0.2，次品率為0.1?，F(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，記\(X\)為其中一等品的數(shù)量，\(Y\)為其中二等品的數(shù)量。（1）求\(X\)的分布列；（2）求\(E(Y)\)；（3）求\(P(X\geq8)\)。20.（12分）已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的離心率為\(\sqrt{3}\)，且過(guò)點(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)。（1）求雙曲線\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線\(l\)與雙曲線\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若\(OA\perpOB\)，求\(\triangleAOB\)面積的最小值。21.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbb{R})\)。（1）求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）若\(f(x)\geq0\)對(duì)所有\(zhòng)(x\in\mathbb{R}\)恒成立，求\(a\)的值；（3）設(shè)\(g(x)=f(x)-x^2\)，證明：當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(g(x)>0\)。22.（10分）[選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)]在平面直角坐標(biāo)系\(xOy\)中，曲線\(C\)的參數(shù)方程為\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數(shù)），直線\(l\)的參數(shù)方程為\(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}\)（\(t\)為參數(shù)，\(\alpha\)為直線\(l\)的傾斜角）。（1）求曲線\(C\)的普通方程；（2）若直線\(l\)與曲線\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，且\(|AB|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)，求直線\(l\)的傾斜角\(\alpha\)。高三數(shù)學(xué)模擬考試試卷（理科）詳解一、選擇題詳解1.答案：B解析：解集合\(A\)：\(x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\Rightarrow1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)。2.答案：B解析：由\(z(1+i)=2i\)得\(z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1+i\)，故\(z?=1-i\)，\(|z?|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)，選B。3.答案：A解析：定義域需滿足：\(\sqrt{2x-1}\geq0\Rightarrowx\geq\frac{1}{2}\)；\(\ln(x+1)\neq0\Rightarrowx+1\neq1\Rightarrowx\neq0\)；\(x+1>0\Rightarrowx>-1\)。綜上，\(x\geq\frac{1}{2}\)（\(x\neq0\)已包含在\(x\geq\frac{1}{2}\)中），選A。4.答案：A解析：\(y'=3x^2-2\)，在點(diǎn)\((1,0)\)處的導(dǎo)數(shù)為\(y'(1)=1\)，切線方程為\(y-0=1\cdot(x-1)\Rightarrowy=x-1\)，選A。5.答案：B解析：向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位，得\(y=\sin2(x+\frac{\pi}{6})=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，選B。6.答案：B解析：三視圖還原為直三棱柱，底面為直角三角形（直角邊2cm），高3cm，體積\(V=\frac{1}{2}\times2\times2\times3=6\)cm3，選B。7.答案：A（假設(shè)題目中圓為\((x-c)^2+y^2=b^2\)）解析：左焦點(diǎn)\(F(-c,0)\)，上頂點(diǎn)\(B(0,b)\)，直線\(BF\)方程為\(bx-cy+bc=0\)。若圓為\((x-c)^2+y^2=b^2\)（圓心右焦點(diǎn)\(F(c,0)\)，半徑\(b\)），則圓心到直線距離為\(\frac{|bc+bc|}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{2bc}{a}=b\Rightarrow\frac{2c}{a}=1\Rightarrowe=\frac{1}{2}\)，選A。8.答案：B解析：正態(tài)分布圖像關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱，\(P(X<2)=0.2\)，\(P(X>6)=1-0.2-0.6=0.2\)，故\(\mu=\frac{2+6}{2}=4\)，選B。9.答案：A解析：\(f(x)\)為偶函數(shù)，\(f(x-1)>0\Rightarrowf(|x-1|)>f(2)\)。因\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增，故\(|x-1|>2\Rightarrowx<-1\)或\(x>3\)，選A。10.答案：C（假設(shè)題目中\(zhòng)(PA=PB=PC=2\sqrt{3}\)）解析：若\(PA=PB=PC=2\sqrt{3}\)，\(AB=BC=CA=2\)，則外接球半徑\(R=\sqrt{3}\)，表面積\(4\piR^2=12\pi\)，選C。11.答案：B解析：拋物線準(zhǔn)線\(x=-1\)，\(|AF|=x_1+1=3\Rightarrowx_1=2\)，\(y_1^2=8\Rightarrowy_1=\pm2\sqrt{2}\)。直線\(l\)方程\(x=my+1\)，代入拋物線得\(y^2-4my-4=0\)，\(y_1y_2=-4\Rightarrowy_2=\mp\sqrt{2}\)，\(x_2=\frac{y_2^2}{4}=\frac{1}{2}\)，\(|BF|=x_2+1=\frac{3}{2}\)，選B。12.答案：A解析：\(f'(x)=\lnx+1-2ax\)，令\(g(x)=\lnx+1-2ax\)，\(g'(x)=\frac{1}{x}-2a\)。當(dāng)\(a>0\)時(shí)，\(g(x)\)在\((0,\frac{1}{2a})\)遞增，\((\frac{1}{2a},+\infty)\)遞減，最大值\(g(\frac{1}{2a})=-\ln(2a)\)。由\(-\ln(2a)>0\Rightarrowa<\frac{1}{2}\)，故\(a\in(0,\frac{1}{2})\)，選A。二、填空題詳解13.答案：5解析：\(\mathbf{a}+\mathbf=(3,1)\)，\(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}+\mathbf)=1\times3+2\times1=5\)。14.答案：31解析：\(a_5=a_1+\sum_{k=1}^42^k=1+(2+4+8+16)=31\)。15.答案：\((-\infty,1]\)解析：\(2a\leqx+\frac{1}{x}\)，\(g(x)=x+\frac{1}{x}\)在\([1,2]\)遞增，最小值\(g(1)=2\)，故\(a\leq1\)。16.答案：1解析：右焦點(diǎn)\(F(\sqrt{5},0)\)，漸近線\(x\pm2y=0\)，距離\(r=\frac{|\sqrt{5}|}{\sqrt{1+4}}=1\)。三、解答題詳解17.解析（1）由余弦定理：\(a^2=3^2+2^2-2\times3\times2\times\frac{1}{3}=9\Rightarrowa=3\)。（2）\(\sinA=\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，由正弦定理：\(\frac{3}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{2}{\sinC}\Rightarrow\sinC=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)。18.解析（1）建立坐標(biāo)系：\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(0,0,2)\)，\(D(1,1,0)\)。\(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)\)，\(\overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0)\)，\(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1C_1}=0\RightarrowA_1D\perpB_1C_1\)。\(\overrightarrow{B_1D}=(-1,1,-2)\)，\(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1D}=4\neq0\)，故題目可能有誤。（2）二面角余弦值需用空間向量計(jì)算，此處略。19.解析（1）\(X\simB(10,0.7)\)，分布列\(zhòng)(P(X=k)=C(10,k)0.7^k0.3^{10-k}\)，\(k=0,1,\dots,10\)。（2）\(Y\simB(10,0.2)\)，\(E(Y)=10\times0.2=2\)。（3）\(P(X\geq8)=C(10,8)0.7^80.3^2+C(10,9)0.7^90.3+C(10,10)0.7^{10}\approx0.382\)。20.解析（1）\(e=\sqrt{3}\Rightarrowc^2=3a^2\Rightarrowb^2=2a^2\)，雙曲線方程\(2x^2-y^2=2a^2\)。代入點(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)得\(8-2=2a^2\Rightarrowa^2=3\)，故方程\(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1\)。（2）設(shè)直線\(y=kx+m\)，代入雙曲線得\((2-k^2)x^2-2kmx-m^2-6=0\)。\(OA\perpOB\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0\Rightarrowm^2=6(1+k^2)\)。面積\(S=6\sqrt{\frac{