第16講余角和補角【教材精講】教學(xué)目標(biāo)：1、在具體情境中了解余角與補角，方位角的意義。2、懂得等角的余角相等，等角的補角相等，并能運用這些性質(zhì)解決一些簡單的實際問題。3、掌握方位角的判別與應(yīng)用。4、經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力。教學(xué)重難點：余角與補角的性質(zhì).方位角的判別與應(yīng)用.教學(xué)過程：一、提出問題用量角器量出圖中的兩個角的度數(shù)，并求出這兩個角的和.說出一副三角尺中各個角的度數(shù).30°，60°，90°；45°，45°，90°；60°,60°,60°。二、探究新知1.余角與補角的概念在一副三角尺中，每塊都有一個角是90度，而其它兩個角的和是90度.一般情況下，如果兩個角的和等于90度(直角)，我們就說這兩個角互為余角，即其中每一個角是另一個角的余角.例如，∠1與∠2互為余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.同樣，如果兩個角的和等于180度(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角.2.余角與補角的性質(zhì)問題1：如果∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎?為什么?問題2：如果∠1與∠2互補，∠3與∠4互補，并且∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎?為什么?學(xué)生分組討論、交流，說出各自的理由，最后師生共同歸納余角與補角的性質(zhì)：余角性質(zhì)：等角的余角相等；補角性質(zhì)：等角的補角相等?！敬鸢浮浚?）∠2與∠4相等（2）∠2與∠4相等【解析】（1）∵∠1與∠2互余，∠3與∠4互余∴∠1+∠2=90°∠3+∠4=90°又∠1=∠3∴∠2=∠4（2）∵∠1與∠2互補，∠3與∠4互補∴∠1+∠2=180°∠3+∠4=180°又∠1=∠3∴∠2=∠4鞏固新知【例1】比一比，看誰填得快.角αα的余角α的補角5°30°42°54°62°23′78°23′8″【答案】角αα的余角α的補角5°85°175°30°60°150°42°48°138°54°36°126°62°23′27°37′117°37′78°23′8″11°36′52″101°36′52″【解析】試題分析：根據(jù)余角、補角的定義直接計算。α的余角=90°角α；α的補角=180°角α。【例2】已知一個角的補角是這個角的余角的3倍，求這個角。【答案】45°【解析】試題分析：根據(jù)該角的余角和補角的數(shù)量關(guān)系，列出等量關(guān)系式，即可取得該角的度數(shù)。設(shè)這個角為α，180°α=（90°α)×3，求出來α=45°3.方位角在航行、測繪等工作以及生活中，我們經(jīng)常會碰到上述類似問題，即如何描述一個物體的方位.方位的表示通常用“北偏東多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏東多少度”、“南偏西多少度”來表示?！氨逼珫|45度”、“北偏西45度”、“南偏東45度”、“南偏西45度”，分別稱為“東北方向”、“西北方向”，“東南方向”、“西南方向”。說明：用量角器畫射線要注意兩點：一是先從正南或正北方向作角的始邊，二要分清東南西北，理解偏東、偏西的意義.4.已知點O在點A的南偏東30°方向，那么，點A應(yīng)在點O的()A.南偏東60°方向B.北偏東30°方向C.北偏西60°方向D.北偏西30°方向【答案】D【解析】試題分析：畫出點O和點A的相對位置，不難發(fā)現(xiàn)點A應(yīng)在點O的北偏西30°方向。三、課堂小結(jié)：這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、選擇題（每題3分）1．若∠A=64°，則它的余角等于（）A．116°B．26°C．64°D．50°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)余角定義，列出等量關(guān)系式，直接計算求得。余角=90°64°=26°故選B?？键c：余角的定義。2．甲看乙的方向是北偏東30°，那么乙看甲的方向是（）A．南偏東60°B．南偏西60°C．南偏東30°D．南偏西30°【答案】D【解析】試題分析：這是方位角的問題。方法是：先以甲為中心，畫十字，建立坐標(biāo)?！耙业姆较驗楸逼珫|30°”，畫出乙的位置；然后以乙為中心，畫十字，建立坐標(biāo)去看甲就可以了。從而確定乙看甲的方向是南偏西30°。故選D。考點：方位角。3．如果∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正確的有（）A．4個B．3個C．2個D．1個【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題中的等量關(guān)系，驗證每個式子是否為∠β的余角，即90°∠β。∵90°∠β表示∠β的余角，∴①正確；∵∠α90°=180°∠β90°=90°∠β，∴②正確；∵（∠α+∠β）=·180°=90°，∴③錯誤；∵（∠α∠β）=（180°∠β∠β）=90°∠β，∴④正確。正確的式子有3個。故選B。考點：余角和補角的定義。4．如圖，南偏東15°和北偏東25°的兩條射線組成的角（即∠AOB）等于（）度．A．40°B．80°C．50°D．140°【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)方位角的定義，找到其與∠AOB的數(shù)量關(guān)系。南偏東15°和北偏東25°的兩條射線組成的角=180°15°25°=140°。故選D?？键c：方位角。5．如圖，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，則∠AOD的度數(shù)為（）A．52°B．38°C．64°D．26°【答案】C【解析】試題分析：先找到∠AOD的等量關(guān)系式，再確定未知角的度數(shù)，即可計算得出最終結(jié)果。∵∠AOD=∠AOC+∠DOC又OD平分∠BOC，∠AOB是直角得∠DOC=∠BOC=（90°∠AOC）∴∠AOD=（90°+∠AOC）=（90°+38°）=64°故選C?？键c：角度的計算，角平分線，余角的定義。6．下列說法中正確的個數(shù)是（）①銳角的補角一定是鈍角；②一個角的補角一定大于這個角；③如果兩個角是同一個角的補角，那么它們相等；④銳角和鈍角互補：⑤如果互補的兩個角相等，那么這兩個角都是90°．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)余角和鈍角的概念，可以正面驗證，也可以反面舉例，來判斷每條說法的正誤。銳角<90°，則銳角的補角=180°銳角>90°，為鈍角，說法①正確；鈍角的補角為銳角，小于其本身，說法②錯誤；同角的補角相等，③正確；只有銳角+鈍角=180°，二者才互補，④錯誤；α+β=180°，且α=β，得α=β=90°，⑤正確。正確的說法為①③⑤。故選C?？键c：余角和鈍角的概念。7.已知∠A=75°，則∠A的補角等于（）A．125°B．105°C．15°D．95°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)鈍角的概念，得∠A+∠A的補角=180°，進而算出∠A的補角?！螦的補角=180°∠A=180°75°=105°考點：鈍角的概念。8．一個角的度數(shù)比它的余角的度數(shù)大20°，則這個角的度數(shù)是（）A．20°B．35°C．45°D．55°【答案】D【解析】試題分析：求誰設(shè)誰，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出等式，進行求解。設(shè)這個角是α，則余角是90°α∵該角比其余角大20°∴α(90°α)=20°α90°+α=202α=90°+20°=110°∴α=55°故選D。考點：角度的計算，余角的定義。9．如果一個角的補角是120°，那么這個角的余角是（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)補角和余角的概念，直接計算即可。這個角為180°120°=60°這個角的余角為90°60°=30°故選D。考點：余角和補角的概念。二、填空題（每題3分）10．∠1的余角是50°，∠2的補角是150°，則∠1與∠2的大小關(guān)系是__________．【答案】∠1＞∠2【解析】試題分析：根據(jù)補角和余角的概念，求出∠1與∠2的度數(shù)，直接比較即可?！摺?余角是50°，∠2的補角是150°∴∠1=90°50°=40°∠2=180°150°=30°∴∠1＞∠2故答案為∠1＞∠2。考點：余角和補角的概念。11．若一個角的余角比它的補角的還多1°，則這個角的大小是__________．【答案】63°【解析】試題分析：求誰設(shè)誰，根據(jù)補角和余角的概念，列出所求角的等量關(guān)系式，直接計算即可。設(shè)這個角為α，則它的余角為（90°﹣α），補角為（180°﹣α），根據(jù)題意得，解之得，α=63°故答案為63°。考點：余角和補角的概念，角度的計算。12．一個角的余角是54°38′，則這個角的補角是__________．【答案】144°38′【解析】試題分析：根據(jù)余角和補角的概念，確定所求角的等量關(guān)系式，直接計算即可。由題，這個角的補角=180°這個角又這個角=90°這個角的余角∴這個角的補角=180°（90°這個角的余角）=180°（90°54°38′）=144°38′故答案為144°38′?？键c：余角和補角的概念，角度的計算。13．南偏東25°和北偏東35°的兩條射線組成的角等于__________度．【答案】120【解析】試題分析：根據(jù)題目中射線的角度關(guān)系，可以畫出方位角的位置，直觀求出兩條射線組成的角度。所求角的度數(shù)=180°（25°+35°）=120°。故答案為120?？键c：方位角，補角的概念。14．如果一個角的補角是142°，那么這個角的余角是__________．【答案】52°【解析】試題分析：根據(jù)余角和補角的概念，確定所求角的等量關(guān)系式，直接計算即可。由題，這個角的余角=90°這個角又這個角=180°這個角的補角∴這個角的余角=90°（180°這個角的補角）=90°（180°142°）=52°故答案為52°。考點：余角和補角的概念。三、解答題（每題10分）15．若一個角的余角與這個角的補角之比是2：7，求這個角的鄰補角．【答案】126°【解析】試題分析：根據(jù)余角和補角的概念，確定所求角的等量關(guān)系式。需要說明的是鄰補角是補角的一種，其定義為：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，叫做鄰補角。直接按照補角的計算公式求解即可。解：設(shè)這個角為α，則這個角的余角為90°α，這個角的補角為180°α．依照題意，這兩個角的比為：（90°α）：（180°α）=2：7．即360°2α=630°7α5α=270°α=54°∴這個角的鄰補角為：180°54°=126°故答案為126°?？键c：余角和補角的概念，角度的計算。16．如圖，O是直線AB上一點，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出圖中∠AOD與∠BOE的補角；（2）試判斷∠COD與∠COE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）∠AOD的補角為∠BOD，∠BOE的補角為∠AOE（2）∠COD與∠EOC互余，理由見解析【解析】（1）由題， ∠AOD+∠BOD=180°∠BOE+∠AOE=180°∴∠AOD的補角為∠BOD，∠BOE的補角為∠AOE。（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC

∴∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC

又∠COD+∠EOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°=90°

∴∠COD與∠EOC互余。考點：余角和補角的概念【闖關(guān)測驗】一、選擇題（每題3分）1．已知∠A=37°，則∠A的余角等于（）A．37°B．53°C．63°D．143°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)余角的概念，直接計算即可?！螦的余角=90°37°=53°故選B?？键c：余角的概念。2．若∠α=30°，則∠α的補角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)補角的概念，直接計算即可?！夕恋难a角=180°30°=150°故選D?？键c：補角的概念。3．已知∠α的補角為125°12′，則它的余角為（）A．35°12′B．35°48′C．55°12′D．55°48′【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)余角和補角的概念，直接計算即可?！夕恋难a角為125°12′則∠α=180°125°12′∴∠α的余角的度數(shù)是90°∠α=90°（180°125°12′）=35°12′故選A。考點：余角和補角的概念。4．若∠A，∠B互為補角，且∠A<∠B，則∠A的余角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)余角、補角的概念，找出題中已知各角的數(shù)量關(guān)系?！螦+∠B=180∠A的余角=90∠A=（∠A+∠B）∠A=（∠B∠A）故選C。考點：余角和補角的概念。5．若∠α與∠β互為余角，∠β是∠α的2倍，則∠α為()（A）20°（B）30°（C）40°（D）60°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意列方程的：∠β=90°∠α=2∠α

∴∠α=30°

故選B。考點：余角的概念，角度的計算。6．如圖，小明A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西20°方向行走至C處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致，則方向的調(diào)整應(yīng)是（）A．右轉(zhuǎn)80°B．左轉(zhuǎn)80°C．右轉(zhuǎn)100°D．左轉(zhuǎn)100°【答案】A【解析】試題分析：因為此時方向與出發(fā)方向相同，也就是要北偏東60度，而現(xiàn)在是北偏西20度，所以向右轉(zhuǎn)80度就是北偏東60度了，也就和出發(fā)方向相等了，也就和AB平行了。故選A?？键c：方位角。7．在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠AOB的大小為（）A．69°B．111°C．141°D．159°【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)方位角的概念、補角的概念，列出∠AOB的等量關(guān)系式，計算求出結(jié)果?！螦OB＝180°－54°+15°＝141°故選C?？键c：方位角的概念、補角的概念。8．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中∠α與∠β互余的是（）A．圖①B．圖②C．圖③D．圖④【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)互余、互補的定義結(jié)合圖形判斷即可。圖①：擺放的三角尺中有一個直角，所以∠α+∠β=90°，即∠α與∠β互余，符合題意；

圖②：兩個直角擺放在一起，則重合的角與∠α、∠β都互余，所以∠α=∠β，不選；

圖③：∠α、∠β分別是等腰直角三角形的兩個鄰補角，因為等腰三角形的兩個底角相等，所以∠α=∠β，不選；

圖④：由圖可以看出：∠α+∠β=180°，所以∠α與∠β互補，不選。故選A。考點：互余和互補的定義。二、填空題（每題3分）9．若∠1和∠2互為余角，且∠1＝40°，則∠2＝_____°．【答案】50 【解析】試題分析：根據(jù)互余的概念，和為90°的兩個角互為余角，直接計算即可?！?度數(shù)=90°∠1=90°40°=50°故答案為50?？键c：互余的定義。10．已知一個角的補角是128°37′，那么這個角的余角是_______.【答案】38°37′【解析】試題分析：根據(jù)余角和補角的定義，可先求出該角，再求出其余角。也可以列出余角的等量關(guān)系式，直接求。由題，這個角=180°128°37′=51°23′∴其余角為：90°51°23′=38°37′故答案為38°37′?？键c：余角和補角的定義。11．若一個角的補角是這個角的余角的3倍，則這個角的度數(shù)為_______.【答案】45°【解析】試題分析：求誰設(shè)誰，根據(jù)余角、補角的定義，列出所求角的等量關(guān)系式。設(shè)這個角的度數(shù)是α，由題，180°α=3（90°α）解得α=45°故答案為45°?？键c：余角和補角的定義。12．已知∠α與∠β互余，且∠α=40°，則∠β的補角為_______度．【答案】1307【解析】試題分析：根據(jù)余角、補角的定義，列出所求角的等量關(guān)系式。∵∠α與∠β互余，且∠α=40°∴∠β=90∠α=90°40°=50°∴∠β的補角=180°50°=130°故答案為130?？键c：余角和補角的定義。13．若∠α的余角為72°，則∠α的補角大小為_______度。【答案】162【解析】試題分析：根據(jù)余角、補角的定義，列出所求角的等量關(guān)系式。由題，∠α的補角=180°∠α又∠α=90°∠α的余角∴∠α的補角=180°∠α=180°（90°∠α的余角）=90°+72°=162°故答案為162?？键c：余角和補角的定義。14．若∠A=62°48′，則∠A的余角=_______?！敬鸢浮?7°12′【解析】試題分析：根據(jù)余角定義，∠A的余角=90°∠A=90°62°48′=27°12′．故答案為27°12′?？键c：余角定義。15．已知點A在點B的北偏東62°，則點B在點A的_______．【答案】南偏西62°【解析】試題分析：這是方位角的問題。方法是：先以B為中心，畫十字，建立坐標(biāo)。“A的方向為北偏東62°”，畫出A的位置；然后以A為中心，畫十字，建立坐標(biāo)去看B就可以了。從而確定A看B的方向是南偏西62°。故答案為南偏西62°?？键c：方位角。16．一個角是67°35′50″，則它的補角是_______．【答案】112°24′10″【解析】這個角的補角=180°67°35′50″=179°59′60″67°35′50″=112°24′10″故答案為112°24′10″?？键c：補角的概念，度分秒的換算。17．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是_______．【答案】北偏東70°【解析】∵OA的方向是北偏東15°，OB的方向是北偏西40°∴∠AOB=40°+15°=55°∵∠AOC=∠AOB∴OC的方向是北偏東15°+55°=70°故答案為北偏東70°。考點：方位角。三、解答題（每題1