第十章二元一次方程組二元一次方程組的工程問題講義人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊一、知識點(diǎn)回顧1.1工程問題中的基本量關(guān)系（教材核心內(nèi)容）：

1.工作量：通常將總工作量視為單位1；

2.工作效率：單位時(shí)間完成的工作量，公式為效率=工作量時(shí)間；

3.工作時(shí)間：完成工作量所需的時(shí)間，公式為1.2合作問題模型：

若甲單獨(dú)完成需a天，乙單獨(dú)完成需b天，則：

甲的工作效率為1a，乙為1b；

合作完成時(shí)間t滿足二、重難點(diǎn)講解2.1從實(shí)際問題抽象出方程組

關(guān)鍵步驟：

1.設(shè)兩個(gè)未知數(shù)（如甲、乙的工作時(shí)間或人數(shù)）；

2.根據(jù)“總工作量”或“時(shí)間差”建立方程。示例（教材改編）：

甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)管道需12天，乙隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需8天。若甲隊(duì)先工作3天后兩隊(duì)合作，還需幾天完成？

解析：

1.設(shè)合作時(shí)間為x天，總工作量為1；

2.甲完成312+x12，乙完成x8；

3.方程：2.2效率變化問題

題型特點(diǎn)：工作過程中效率因人數(shù)、設(shè)備等發(fā)生改變，需分段分析。

示例：

某工程原計(jì)劃10天完成，若增加2人后效率提升50%，結(jié)果提前2天完成。求原計(jì)劃人數(shù)。

解析：

1.設(shè)原計(jì)劃人數(shù)為x，原效率為110x；

2.增加人數(shù)后效率為1.510x，時(shí)間8天；

3.方程：1.5×1三、易錯(cuò)點(diǎn)與解題方法3.1常見易錯(cuò)點(diǎn)

1.單位混淆：

錯(cuò)誤：將“甲隊(duì)工作3天”誤寫為工作量13（正確為3a）。

2.總工作量設(shè)定錯(cuò)誤：

錯(cuò)誤：未將總工作量設(shè)為1，導(dǎo)致方程復(fù)雜化。

3.忽略效率與人數(shù)關(guān)系：

錯(cuò)誤：認(rèn)為“增加2人”后效率變?yōu)樵瓉淼?倍（實(shí)際為3.2解題技巧與方法

1.表格分析法：

列出“工作效率”“工作時(shí)間”“工作量”三列，明確各量關(guān)系。示例：

甲、乙兩隊(duì)合作6天完成工程，若甲隊(duì)單獨(dú)做5天后乙隊(duì)加入，再合作4天完成，求兩隊(duì)單獨(dú)完成時(shí)間。方程組：

1四、典型例題解析例1（合作問題）：

甲、乙兩人粉刷房間，甲單獨(dú)做需4小時(shí)，乙單獨(dú)做需6小時(shí)。若甲先做1小時(shí)后乙加入，求完成剩余工作的時(shí)間。

解：

1.設(shè)乙加入后工作時(shí)間為t小時(shí)；

2.方程：14×1+14例2（效率變化問題）：

某工程原計(jì)劃由8人15天完成，現(xiàn)需提前3天完成，求需增加多少人（假設(shè)每人效率相同）。

解：

1.總工作量為8×15=120人天；

2.設(shè)增加x人，方程：五、鞏固練習(xí)甲、乙兩隊(duì)合修公路需20天，甲隊(duì)單獨(dú)修需50天，求乙隊(duì)單獨(dú)修需多少天。

某工程原計(jì)劃12人10天完成，實(shí)際工作2天后調(diào)走4人，求實(shí)際完成天數(shù)。

甲、乙兩人加工零件，甲每小時(shí)比乙多加工2個(gè)，甲加工100個(gè)與乙加工80個(gè)時(shí)間相同，求甲的工作效率。

某水池有進(jìn)水管和出水管，單開進(jìn)水管3小時(shí)注滿，單開出水管4小時(shí)放空。若同時(shí)打開兩管，求注滿水池的時(shí)間。一、選擇1.(單選)（四川成都龍泉驛區(qū)期末）若輛板車與輛卡車一次能運(yùn)噸貨，輛板車與輛卡車一次能運(yùn)噸貨．設(shè)每輛板車每次可運(yùn)噸貨，每輛卡車每次可運(yùn)噸貨，則可列方程組為（

）．A.B.C.D.2.(單選)甲、乙兩個(gè)工人按計(jì)劃一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)680個(gè)零件，結(jié)果甲超額完成計(jì)劃的20%，乙超額完成計(jì)劃的15%，兩人一共多生產(chǎn)118個(gè)零件，則原計(jì)劃甲、乙各生產(chǎn)零件數(shù)為（

）A.320，360B.360，320C.300，380D.380，3803.(單選)某家具廠設(shè)計(jì)的餐桌椅套裝，1張桌子配4把椅子．該廠一天能生產(chǎn)桌子12張或椅子32把，決定用20天時(shí)間生產(chǎn)一批這樣的餐桌椅．如果要使生產(chǎn)的桌子和椅子正好配套，設(shè)安排x天生產(chǎn)桌子，y天生產(chǎn)椅子，根據(jù)題意可列方程組為（

）A.B.C.D.4.(單選)世界地球日（）即每年的月日，是一項(xiàng)世界性的環(huán)境保護(hù)活動(dòng)日．某工廠計(jì)劃生產(chǎn)個(gè)地球日徽章，若甲機(jī)器和乙機(jī)器同時(shí)運(yùn)作天后，甲機(jī)器再單獨(dú)運(yùn)作天，還有個(gè)未完成．若乙機(jī)器先運(yùn)作天后，甲再加入后共同運(yùn)作天，則可超產(chǎn)個(gè)．設(shè)甲機(jī)器每天生產(chǎn)個(gè)，乙機(jī)器每天生產(chǎn)個(gè)，則可列方程組為（

）．A.B.C.D.5.(單選)我市為爭創(chuàng)“全國文明城市”，對城區(qū)主干道進(jìn)行綠化，如圖所示，計(jì)劃把某一段公路的側(cè)全部栽上梧桐樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等，如果每隔米栽棵，則樹苗缺棵；如果每隔米栽棵，則樹苗正好用完．甲：設(shè)共需樹苗x棵，根據(jù)題意，得；乙：設(shè)公路長為y米，依題意，得其中正確的是A.甲對，乙不對B.甲不對，乙對C.兩人都對D.兩人都不對6.(單選)羊城某工程公司下屬的甲工程隊(duì)、乙工程隊(duì)分別承包了白云區(qū)人和鎮(zhèn)的工程、工程，甲工程隊(duì)晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程隊(duì)晴天需天完成，雨天工作效率下降，實(shí)際上兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開工，同時(shí)完工，兩個(gè)工程隊(duì)各工作了（

）天．A.B.C.D.7.(單選)在課題學(xué)習(xí)《用繩子測量木頭長》中，若用一根繩子去量一根木頭的長，則繩子還剩余米；若將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余米，問木頭長多少米？若設(shè)木頭長為米，繩子長為米，則所列方程組正確的是（

）．A.B.C.D.8.(單選)在月日是植樹節(jié)這天，小剛和小敏積極踴躍地參加植樹活動(dòng)，小剛平均每小時(shí)比小敏多植棵樹，小剛植樹小時(shí)，小敏植樹小時(shí)，兩人一共植樹棵樹．設(shè)小剛平均每小時(shí)植樹棵，小敏平均每小時(shí)植樹棵，那么根據(jù)題意，下列所列方程組中，正確的是（

）．A.B.C.D.二、填空1.（實(shí)驗(yàn)班原創(chuàng)）某校計(jì)劃對校園廣場和道路改造，該項(xiàng)目月日正式動(dòng)工，經(jīng)過近四個(gè)月的緊張施工，于月日竣工，若該工程拆除舊設(shè)施每平方米需要元，建造新設(shè)施每平方米需要元，計(jì)劃拆除舊設(shè)施與建造新設(shè)施共平方米，在實(shí)施中為擴(kuò)大綠化面積．新建設(shè)施只完成了計(jì)劃的，而拆除舊設(shè)施則超過了計(jì)劃的，結(jié)果比原計(jì)劃的拆、建總面積少平方米．(1)求原計(jì)劃拆除舊設(shè)施面積為

平方米；(2)若綠化平方米需要元，那么把在實(shí)際的拆、建工程中結(jié)余的資金全部用來綠化，可綠化的面積為

平方米．2.風(fēng)味美飯店生意火爆，座無虛席，老板決定擴(kuò)大規(guī)模重新裝修．若先請甲施工隊(duì)單獨(dú)做天、再請乙施工隊(duì)單獨(dú)做天，可完成施工，風(fēng)味美飯店老板共付工錢元．若先請甲施工隊(duì)單獨(dú)做天，再請乙施工隊(duì)單獨(dú)做天，可完成施工，風(fēng)味美飯店老板共付工錢元．(1)甲施工隊(duì)工作天，風(fēng)味美飯店老板應(yīng)付

元；乙施工隊(duì)工作天，風(fēng)味美飯店老板應(yīng)付

元．(2)若甲、乙兩施工隊(duì)合作，則需要同時(shí)做

天才能完成施工任務(wù)．3.古運(yùn)河揚(yáng)州段是整個(gè)運(yùn)河中最古老的一段，是揚(yáng)州的“母親河”，為打造古運(yùn)河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成．甲工程隊(duì)每天整治米，乙工程隊(duì)每天整治米，共用時(shí)天．求：整治任務(wù)完成時(shí)，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別整治河道多少米．嘉嘉，淇淇兩位同學(xué)提出的解題思路如下．嘉嘉同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成時(shí)，甲工程隊(duì)整治河道米，乙工程隊(duì)整治河道米．根據(jù)題意，得淇淇同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成時(shí)，表示

，表示

．根據(jù)題意，得.(1)請你補(bǔ)全嘉嘉

、

、

，淇淇

、

兩位同學(xué)的解題思路．(2)你能從中任選一位同學(xué)的解題思路寫出完整的解答過程嗎．

4.兩組工人按計(jì)劃本月應(yīng)共生產(chǎn)680個(gè)零件，實(shí)際第一組超額、第二組超額完成了本月任務(wù)，因此比原計(jì)劃多生產(chǎn)118個(gè)零件，則本月原計(jì)劃第一組生產(chǎn)

個(gè)零件、第二組生產(chǎn)

個(gè)零件．5.年來，河南省舞鋼市按照《森林河南生態(tài)建設(shè)規(guī)劃（年）》要求，累計(jì)造林近兩萬畝，義務(wù)植樹萬株以上，成功創(chuàng)建省級森林城市．現(xiàn)有一塊面積為畝的荒地需要綠化，計(jì)劃甲隊(duì)先綠化，然后乙隊(duì)接替甲隊(duì)綠化，兩隊(duì)共用天完成．已知甲工程隊(duì)每天綠化畝，乙工程隊(duì)每天綠化畝，設(shè)原計(jì)劃甲工程隊(duì)需綠化天，乙工程隊(duì)需綠化天，則可列方程組為：

．6.一隊(duì)工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，那么全隊(duì)一天就比定額少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全隊(duì)一天就超額20件．則這隊(duì)工人有

人，全隊(duì)每天制造的工件數(shù)額為

件．7.杭州某公司準(zhǔn)備安裝完成輛共享單車并投入市場．由于抽調(diào)不出足夠多的熟練工人，公司準(zhǔn)備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：名熟練工人和名新工人每天共安裝輛共享單車；名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝

、

輛共享單車．(2)若公司原有熟練工人名，現(xiàn)招聘名新工人（），使得最后能剛好一個(gè)月（天）完成安裝任務(wù)，已知工人們安裝的共享單車中不能正常投入運(yùn)營的占，的值為

．8.在、兩城市間準(zhǔn)備修建一條千米的高速公路，該任務(wù)由甲、乙兩工程隊(duì)接力完成路基建設(shè)，甲工程隊(duì)每天修建千米，乙工程隊(duì)每天修建千米，兩工程隊(duì)共需天完成路基建設(shè)，求甲、乙兩工程隊(duì)分別修建高速公路路基多少千米．根據(jù)題意，小剛同學(xué)列出了一個(gè)尚不完整的方程組．(1)根據(jù)小剛同學(xué)所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)，表示的意義：表示

，表示

．(2)小紅同學(xué)設(shè)甲工程隊(duì)修建高速公路路基千米，乙工程隊(duì)修建高速公路路基千米，請你利用小紅同學(xué)設(shè)的未知數(shù)解決問題：

，

．三、解答1.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．有、兩種卡紙，可用來做小旗子，若張卡紙和張卡紙共能做小旗子面，張卡紙和張卡紙共能做小旗子面．(1)求、兩種卡紙．每張可分別做幾面小旗子．(2)由于藝術(shù)節(jié)場地布置需要，某學(xué)校打算采購、兩種卡紙．卡紙每張?jiān)?，卡紙每張?jiān)泌s上商場促銷活動(dòng)：買一張卡紙，就贈(zèng)送一張卡紙．學(xué)校計(jì)劃用這兩種卡紙共同做面小旗子．①制作過程中，若、卡紙恰好充分利用，沒有余料剩余，則做這些小旗子需要兩種卡紙各多少張，并求出最低采購費(fèi)用．②由于藝術(shù)節(jié)實(shí)際需要，現(xiàn)須用卡紙?jiān)僮鰺艋\個(gè)．已知一張、卡紙可分別做燈籠個(gè)和個(gè)．請你結(jié)合方案評價(jià)表直接在表格中寫出一種小旗子、小燈籠的制作數(shù)量方案（同一張卡紙只能做同一類手工，即不能既做小旗子又做小燈籠）．由卡紙制作由卡紙制作小旗子（面）小燈籠（個(gè)）小旗子（面）小燈籠（個(gè)）方案評價(jià)表方案等級采購費(fèi)用制作中卡紙使用情況評分優(yōu)秀低于元兩種卡紙均無余料剩余分良好低于元兩種卡紙均有余料剩余分合格低于元僅一種卡紙有余料剩余分

2.根據(jù)以下信息，探索完成任務(wù)：如何設(shè)計(jì)招聘方案？素材某汽車制造廠開發(fā)一款新式電動(dòng)汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝輛．每名熟練工均能獨(dú)立安裝電動(dòng)汽車，由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動(dòng)汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，經(jīng)過培訓(xùn)上崗可以獨(dú)立進(jìn)行安裝．素材調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：名熟練工和名新工人每月可安裝輛電動(dòng)汽車；名熟練工和名新工人每月可安裝輛電動(dòng)汽車．素材工廠給安裝電動(dòng)汽車的每名熟練工每月發(fā)元工資，每名新工人每月發(fā)元工資．

(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動(dòng)汽車？(2)如果工廠招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種工人的招聘方案？(3)在上述方案中，為了節(jié)省成本，應(yīng)該招聘新工人

名．（直接寫出答案）3.半溪河是南川城區(qū)的重要河流，為打造半溪河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由、兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成．工程隊(duì)每天整治米，工程隊(duì)每天整治米，共用時(shí)天．(1)求、兩工程隊(duì)分別整治河道多少天？(2)若工程隊(duì)整改一米的工費(fèi)為元，工程隊(duì)整改一米的工費(fèi)為元，求完成整治河道時(shí)，這兩工程隊(duì)的工費(fèi)共是多少？4.某城市計(jì)劃修建一段公路，現(xiàn)有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，如果甲乙合作，每天可以修米；如果先由甲單獨(dú)做天，再由乙單獨(dú)做天，可以修米．(1)甲，乙工程隊(duì)每天分別可以修路多少米？(2)甲乙工程隊(duì)都需要租，，三種車（各隊(duì)每種車至少租輛）來運(yùn)輸修路產(chǎn)生的建筑垃圾．每輛車，車，車每天運(yùn)輸?shù)慕ㄖ亓糠謩e為噸，噸，噸．甲和乙工程隊(duì)都分別租了輛車，其中兩隊(duì)租用車的數(shù)量一樣，兩隊(duì)租用車，車的數(shù)量剛好互換，甲隊(duì)每天運(yùn)輸?shù)睦傊亓渴且谊?duì)每天運(yùn)輸?shù)睦傊亓康模阎枯v車，車，車每天的租金分別為元，元，元．請問甲工程隊(duì)有哪幾種租車方案？其中哪種方案甲隊(duì)每天的租車費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少？5.在《二元一次方程組》這一章的復(fù)習(xí)課上，劉老師給出了下面的題目：在某市“精準(zhǔn)扶貧”工作中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力為扶貧村莊修建一條米長的公路，甲隊(duì)每天修建米，乙隊(duì)每天修建米，一共用天完成．(1)李東同學(xué)根據(jù)題意，列出了一個(gè)尚不完整的方程組，請寫出李東所列方程組中未知數(shù)，表示的意義：表示

，表示

；并寫出該方程組中處的數(shù)應(yīng)是

，處的數(shù)應(yīng)是

．(2)陳彬同學(xué)的思路是想設(shè)甲工程隊(duì)一共修建了米公路，乙工程隊(duì)一共修建了米公路．下面請你按照陳彬的設(shè)想列出方程組，并求出乙隊(duì)修建了多少天？6.巴川河是銅梁的母親河，為打造巴川河風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由、兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成；工程隊(duì)每天整治米，工程隊(duì)每天整治米，共用時(shí)天．(1)求、兩工程隊(duì)分別整治河道多少天？（用二元一次方程組解答）(2)若工程隊(duì)整改一米的工費(fèi)為元，工程隊(duì)整改一米的工費(fèi)為元，求完成整治河道時(shí)，這兩工程隊(duì)的工費(fèi)共是多少？7.為拓展辦學(xué)空間，鳳中教育集團(tuán)總校的新食堂正在緊鑼密鼓的裝修，其中由甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)鋪設(shè)地面．(1)甲裝修組每天比乙裝修組多鋪設(shè)平方米，兩組每天可共鋪設(shè)地面平方米，求甲、乙兩個(gè)裝修組每天各鋪設(shè)地面多少平方米？(2)已知兩個(gè)裝修組同時(shí)施工天，共需要工時(shí)費(fèi)元，若甲組單獨(dú)施工天，乙組單獨(dú)施工天，共需要工時(shí)費(fèi)用元，求甲、乙裝修組施工一天的工時(shí)費(fèi)分別是多少元？8.大學(xué)生小敏參加暑期實(shí)習(xí)活動(dòng)，與公司約定一個(gè)月（天）的報(bào)酬是型平板電腦一臺和元現(xiàn)金．當(dāng)她工作滿天后因故結(jié)束實(shí)習(xí)，結(jié)算工資時(shí)公司給了她一臺該型平板電腦和元現(xiàn)金．(1)這臺型平板電腦價(jià)值多少元？(2)若小敏工作天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報(bào)酬（用含的代數(shù)式表示）？9.某工廠每周需要對面積為平方米的倉庫進(jìn)行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任務(wù)，后來為提高效率，采用機(jī)器人消毒，機(jī)器人每分鐘消毒面積是人工操作的倍，并且提前分鐘完成消毒任務(wù)．求機(jī)器人每分鐘消毒面積為多少平方米?10.如何分配工作時(shí)間使公司能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)素材：某電子零件生產(chǎn)公司承接到零件的生產(chǎn)訂單，計(jì)劃將任務(wù)分配給甲、乙兩個(gè)車間去完成．若甲車間生產(chǎn)天，乙車間生產(chǎn)天，則比訂單多生產(chǎn)個(gè)；若甲車間生產(chǎn)天，乙車間生產(chǎn)天，則比訂單少生產(chǎn)個(gè)零件．素材：經(jīng)調(diào)查，甲車間每人每天能生產(chǎn)個(gè)電子零件，乙車間每人每天能生產(chǎn)個(gè)電子零件．素材：