初三數(shù)學(xué)下冊(cè)函數(shù)及方程測(cè)試卷（滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列二次函數(shù)中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-3)\)的是（）A.\(y=(x-2)^2+3\)B.\(y=(x+2)^2-3\)C.\(y=(x-2)^2-3\)D.\(y=(x+2)^2+3\)考點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式（\(y=a(x-h)^2+k\)，頂點(diǎn)為\((h,k)\)）。2.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)（\(k<0\)）的圖像所在的象限是（）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D(zhuǎn).第三、四象限考點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)（\(k>0\)時(shí)在一、三象限；\(k<0\)時(shí)在二、四象限）。3.一元二次方程\(x^2-2x+2=0\)的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式（\(\Delta=b^2-4ac\)，\(\Delta<0\)時(shí)無(wú)實(shí)根）。4.分式方程\(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{3}{2-x}=1\)的增根是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.無(wú)增根考點(diǎn)：分式方程的增根（使分母為0的根）。5.二次函數(shù)\(y=2x^2-4x+1\)的對(duì)稱軸是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)考點(diǎn)：二次函數(shù)對(duì)稱軸公式（\(x=-\dfrac{2a}\)）。6.若點(diǎn)\((2,3)\)在反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像上，則\(k\)的值為（）A.5B.6C.\(\dfrac{2}{3}\)D.\(\dfrac{3}{2}\)考點(diǎn)：反比例函數(shù)的比例系數(shù)（代入點(diǎn)坐標(biāo)求\(k\)）。7.二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)與\(x\)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)考點(diǎn)：二次函數(shù)與\(x\)軸的交點(diǎn)（轉(zhuǎn)化為一元二次方程，看判別式）。8.若關(guān)于\(x\)的方程\(\dfrac{mx+1}{x-1}=2\)有解，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(m\neq2\)B.\(m\neq1\)C.\(m\neq-1\)D.\(m\neq0\)考點(diǎn)：分式方程的解（去分母后得整式方程，需保證分母不為0）。9.將二次函數(shù)\(y=x^2\)的圖像向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的函數(shù)表達(dá)式是（）A.\(y=(x+2)^2-3\)B.\(y=(x-2)^2-3\)C.\(y=(x+2)^2+3\)D.\(y=(x-2)^2+3\)考點(diǎn)：二次函數(shù)的平移（左加右減，上加下減）。10.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）（注：圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在\(y\)軸右側(cè)，與\(y\)軸交于正半軸）A.\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)B.\(a>0\)，\(b<0\)，\(c>0\)C.\(a<0\)，\(b>0\)，\(c<0\)D.\(a<0\)，\(b<0\)，\(c<0\)考點(diǎn)：二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系（開(kāi)口方向由\(a\)決定，對(duì)稱軸位置由\(a,b\)共同決定，與\(y\)軸交點(diǎn)由\(c\)決定）。二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.將二次函數(shù)\(y=x^2+4x-1\)化為頂點(diǎn)式，結(jié)果為_(kāi)_____。考點(diǎn)：二次函數(shù)的配方法（\(y=x^2+4x+4-4-1=(x+2)^2-5\)）。12.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{3}{x}\)的圖像上有一點(diǎn)\(P(x,y)\)，若\(x=1\)，則\(y=\)______；若\(y=-1\)，則\(x=\)______。考點(diǎn)：反比例函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算（代入自變量求函數(shù)值）。13.若一元二次方程\(x^2-3x+m=0\)的兩個(gè)根為\(x_1,x_2\)，則\(x_1+x_2=\)______，\(x_1x_2=\)______?？键c(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理：\(x_1+x_2=-\dfrac{a}\)，\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)）。14.分式方程\(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{2}{3(x-1)}\)的解是______?？键c(diǎn)：分式方程的解法（去分母得\(3x=2\)，解得\(x=\dfrac{2}{3}\)，檢驗(yàn)分母不為0）。15.二次函數(shù)\(y=-2x^2+4x+1\)的最大值是______?？键c(diǎn)：二次函數(shù)的最值（開(kāi)口向下，頂點(diǎn)處取得最大值，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為\(\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)）。16.某工廠去年的產(chǎn)值為100萬(wàn)元，今年的產(chǎn)值比去年增長(zhǎng)了\(x\%\)，則今年的產(chǎn)值為_(kāi)_____萬(wàn)元；若明年的產(chǎn)值計(jì)劃比今年再增長(zhǎng)\(x\%\)，則明年的產(chǎn)值為_(kāi)_____萬(wàn)元（用含\(x\)的代數(shù)式表示）。考點(diǎn)：增長(zhǎng)率問(wèn)題（增長(zhǎng)率公式：\(現(xiàn)有量=原有量\times(1+增長(zhǎng)率)^n\)）。17.二次函數(shù)\(y=2x^2-3x+1\)與\(y\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______?？键c(diǎn)：二次函數(shù)與\(y\)軸的交點(diǎn)（令\(x=0\)，求\(y\)值）。18.已知二次函數(shù)\(y=(x-1)^2+2\)的頂點(diǎn)為\(P\)，若點(diǎn)\(P\)在反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像上，則\(k=\)______?？键c(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與反比例函數(shù)的結(jié)合（頂點(diǎn)\(P(1,2)\)，代入反比例函數(shù)得\(k=1\times2=2\)）。三、解答題（本大題共7小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19.（8分）解分式方程：\(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x}=1\)?？键c(diǎn)：分式方程的解法（去分母、解整式方程、檢驗(yàn)）。解答：去分母，兩邊同乘\(x(x-1)\)得：\(x+2(x-1)=x(x-1)\)展開(kāi)得：\(x+2x-2=x^2-x\)整理得：\(x^2-4x+2=0\)解得：\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=2\pm\sqrt{2}\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=2+\sqrt{2}\)或\(x=2-\sqrt{2}\)時(shí)，\(x(x-1)\neq0\)，故原方程的解為\(x=2+\sqrt{2}\)和\(x=2-\sqrt{2}\)。20.（8分）用配方法解一元二次方程：\(2x^2-4x-1=0\)?？键c(diǎn)：一元二次方程的配方法（步驟：移項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)化為1、配方、開(kāi)平方）。解答：移項(xiàng)得：\(2x^2-4x=1\)二次項(xiàng)系數(shù)化為1得：\(x^2-2x=\dfrac{1}{2}\)配方得：\(x^2-2x+1=\dfrac{1}{2}+1\)，即\((x-1)^2=\dfrac{3}{2}\)開(kāi)平方得：\(x-1=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)解得：\(x=1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)或\(x=1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)。21.（10分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((0,3)\)，\((1,0)\)，\((2,-1)\)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式?？键c(diǎn)：二次函數(shù)表達(dá)式的求法（設(shè)一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入點(diǎn)坐標(biāo)列方程組求解）。解答：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為\(y=ax^2+bx+c\)，代入三點(diǎn)坐標(biāo)得：\(\begin{cases}c=3\\a+b+c=0\\4a+2b+c=-1\end{cases}\)由\(c=3\)，代入第二個(gè)方程得：\(a+b=-3\)（方程1）代入第三個(gè)方程得：\(4a+2b=-4\)，化簡(jiǎn)得：\(2a+b=-2\)（方程2）方程2-方程1得：\(a=1\)，代入方程1得：\(b=-4\)故二次函數(shù)表達(dá)式為\(y=x^2-4x+3\)。22.（10分）某商店銷售一種玩具，每件成本為30元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價(jià)為40元時(shí)，每月可銷售500件；售價(jià)每上漲1元，每月銷售量減少10件。設(shè)每件售價(jià)為\(x\)元（\(x\geq40\)），每月銷售利潤(rùn)為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，每月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（利潤(rùn)問(wèn)題，利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量）。解答：（1）銷售量為\(____(x-40)=____x+400=____x\)（件）利潤(rùn)\(y=(x-30)(____x)=-10x^2+1200x-____\)（2）\(y=-10x^2+1200x-____=-10(x^2-120x+3600)+____=-10(x-60)^2+9000\)因?yàn)閈(-10<0\)，所以拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)處取得最大值。當(dāng)\(x=60\)時(shí)，\(y_{\text{max}}=9000\)答：（1）\(y=-10x^2+1200x-____\)；（2）售價(jià)為60元時(shí)，每月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9000元。23.（10分）已知反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像與一次函數(shù)\(y=2x+1\)的圖像交于點(diǎn)\(A(1,m)\)。（1）求\(k\)和\(m\)的值；（2）求這兩個(gè)函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)?？键c(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（代入點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)，解方程組求交點(diǎn)）。解答：（1）將\(A(1,m)\)代入一次函數(shù)得：\(m=2\times1+1=3\)，故\(A(1,3)\)將\(A(1,3)\)代入反比例函數(shù)得：\(3=\dfrac{k}{1}\)，故\(k=3\)（2）聯(lián)立方程組：\(\begin{cases}y=2x+1\\y=\dfrac{3}{x}\end{cases}\)消去\(y\)得：\(2x+1=\dfrac{3}{x}\)，去分母得：\(2x^2+x-3=0\)因式分解得：\((2x+3)(x-1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-\dfrac{3}{2}\)當(dāng)\(x=-\dfrac{3}{2}\)時(shí)，\(y=2\times(-\dfrac{3}{2})+1=-2\)故另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\dfrac{3}{2},-2)\)。24.（10分）已知二次函數(shù)\(y=x^2+bx+c\)的圖像與\(x\)軸交于\(A(x_1,0)\)、\(B(x_2,0)\)兩點(diǎn)，且\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=3\)。（1）求\(b\)和\(c\)的值；（2）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)?？键c(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（韋達(dá)定理，頂點(diǎn)坐標(biāo)）。解答：（1）由韋達(dá)定理得：\(x_1+x_2=-b=4\)，故\(b=-4\)；\(x_1x_2=c=3\)，故\(c=3\)（2）二次函數(shù)表達(dá)式為\(y=x^2-4x+3\)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為\(x=-\dfrac{2a}=2\)，代入得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為\(y=2^2-4\times2+3=-1\)故頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-1)\)。25.（10分）如圖，某拋物線形橋洞的跨度為12米，拱高為4米，以橋洞底部的中點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閈(x\)軸，豎直方向?yàn)閈(y\)軸建立平面直角坐標(biāo)系。（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若一輛貨車的高度為3米，寬度為2米，能否從該橋洞下通過(guò)？請(qǐng)說(shuō)明理由?？键c(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（拋物線形問(wèn)題）。解答：（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為\(y=ax^2+4\)（頂點(diǎn)在\(y\)軸上，拱高4米），跨度12米，故與\(x\)軸交于\((-6,0)\)、\((6,0)\)代入\((6,0)\)得：\(0=a\times6^2+4\)，解得\(a=-\dfrac{1}{9}\)故拋物線表達(dá)式為\(y=-\dfrac{1}{9}x^2+4\)（2）貨車寬度2米，故需檢查\(x=1\)和\(x=-1\)處的\(y\)值是否大于等于3米當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=-\dfrac{1}{9}\times1+4=\dfrac{35}{9}\approx3.89\)（米）\(3.89>3\)，故貨車頂部在\(x=1\)和\(x=-1\)處的高度均小于橋洞高度答：貨車能從橋洞下通過(guò)。四、附加題（本大題共1小題，10分?？蛇x做，得分計(jì)入總分，但總分不超過(guò)120分）26.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,3)\)，且與反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像交于點(diǎn)\((2,m)\)。若該二次函數(shù)與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求線段\(AB\)的長(zhǎng)度?？键c(diǎn)：二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用（頂點(diǎn)式、交點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度）。解答：（1）設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)式為\(y=a(x-1)^2+3\)，代入點(diǎn)\((2,m)\)得：\(m=a(2-1)^2+3=a+3\)（2）點(diǎn)\((2,m)\)在反比例函數(shù)上，故\(m=\dfrac{k}{2}\)，即\(k=2m=2(a+3)\)（此步為輔助，不影響后續(xù)計(jì)算）（3）二次函數(shù)與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，即解方程\(a(x-1)^2+3=0\)展開(kāi)得：\(ax^2-2ax+a+3=0\)設(shè)兩根為\(x_1,x_2\)，由韋達(dá)定理得：\(x_1+x_2=2\)，\(x_1x_2=\dfrac{a+3}{a}\)線段\(AB\)長(zhǎng)度為\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2^2-4\times\dfrac{a+3}{a}}=\sqrt{4-\dfrac{4(a+3)}{a}}=\sqrt{\dfrac{4a-4a-12}{a}}=\sqrt{-\dfrac{12}{a}}\)（4）需確定\(a\)的值：題目中未給出更多條件，但頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,3)\)，若二次函數(shù)與\(x\)軸有交點(diǎn)，則判別式\(\Delta>0\)對(duì)于頂點(diǎn)式\(y=a(x-1)^2+3\)，與\(x\)軸有交點(diǎn)需\(a<0\)（開(kāi)口向下）假設(shè)題目中隱含二次函數(shù)與\(x\)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故\(a<0\)，但線段長(zhǎng)度需為正數(shù)，故\(-\dfrac{12}{a}>0\)，符合\(a<0\)（注：若題目中補(bǔ)充二次函數(shù)與\(y\)軸交于點(diǎn)\((0,2)\)，則可求\(a\)的值：代入\((0,2)\)得\(2=a(0-1)^2+3\)，\(a=-1\)，此時(shí)\(AB=\sqrt{-\dfrac{12}{-1}}=2\sqrt{3}\)，但原題未補(bǔ)充，故需說(shuō)明線段長(zhǎng)度表達(dá)式為\(\sqrt{-\dfrac{12}{a}}\)，若有具體\(a\)值可計(jì)算具體長(zhǎng)度）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題3分，共30分）1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.B10.B二、填空題（每小題3分，共24分）1