線段垂直平分線數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)示范一、教學(xué)基本信息課題：線段的垂直平分線（人教版八年級(jí)上冊第十三章第1節(jié)）課型：新授課課時(shí)：1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（三維融合）：1.知識(shí)與技能：理解線段垂直平分線的概念，掌握其性質(zhì)定理與判定定理，能準(zhǔn)確應(yīng)用定理解決簡單幾何問題。2.過程與方法：通過“操作-猜想-證明-應(yīng)用”的探究過程，培養(yǎng)邏輯推理能力、動(dòng)手操作能力及幾何直觀素養(yǎng)。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”思想，激發(fā)對(duì)幾何學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：線段垂直平分線性質(zhì)與判定定理的探究及應(yīng)用。難點(diǎn)：判定定理的邏輯證明及定理的綜合應(yīng)用。教學(xué)方法：探究式教學(xué)、合作學(xué)習(xí)、講練結(jié)合（多媒體輔助：幾何畫板、PPT）。二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情境導(dǎo)入：生活中的數(shù)學(xué)問題（5分鐘）問題呈現(xiàn)：村莊A和村莊B位于一條公路旁（如圖1），計(jì)劃建一個(gè)加油站，使加油站到兩個(gè)村莊的距離相等。加油站應(yīng)建在什么位置？設(shè)計(jì)意圖：用生活中的實(shí)際問題引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)探究欲望，自然引入“線段垂直平分線”的概念。學(xué)生活動(dòng)：嘗試在紙上畫出村莊和公路的位置，標(biāo)記可能的加油站位置。交流討論：“到A、B距離相等的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？”（二）探究新知：線段垂直平分線的概念與性質(zhì)（15分鐘）1.概念形成：線段垂直平分線的定義操作活動(dòng)：學(xué)生用長方形紙折線段AB（A、B為紙邊兩點(diǎn)），使A與B重合，折痕為l（如圖2）。觀察折痕l與線段AB的關(guān)系：（1）折痕l經(jīng)過AB的中點(diǎn)嗎？（量一量中點(diǎn)C到A、B的距離）（2）折痕l與AB垂直嗎？（用量角器量∠ACl的度數(shù)）歸納定義：線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（簡稱“中垂線”）。強(qiáng)調(diào)：線段的垂直平分線是直線（區(qū)別于線段的垂線，后者可以是線段或射線）。2.性質(zhì)探究：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等操作猜想：在折痕l（AB的垂直平分線）上任意取點(diǎn)P、Q、R（如圖3），用刻度尺量PA與PB、QA與QB、RA與RB的長度。猜想：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”。邏輯證明：已知：直線l是線段AB的垂直平分線，垂足為C，點(diǎn)P在l上（如圖4）。求證：PA=PB。證明過程（學(xué)生分組完成，教師引導(dǎo)）：∵l是AB的垂直平分線，∴AC=BC，∠PCA=∠PCB=90°。在△PAC和△PBC中：\[\begin{cases}AC=BC\\∠PCA=∠PCB\\PC=PC\quad(\text{公共邊})\end{cases}\]∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA=PB。結(jié)論（性質(zhì)定理）：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。符號(hào)語言：∵l⊥AB，AC=BC，P在l上，∴PA=PB。設(shè)計(jì)意圖：通過折紙操作積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，再通過嚴(yán)格證明實(shí)現(xiàn)“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”的升華，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。（三）深化探究：線段垂直平分線的判定定理（10分鐘）1.逆向思考：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上問題引導(dǎo)：反過來，若點(diǎn)P滿足PA=PB，那么點(diǎn)P是否在AB的垂直平分線上？分類討論證明：情況1：點(diǎn)P在線段AB上（如圖5）?！逷A=PB，∴P是AB的中點(diǎn)，故P在AB的垂直平分線上。情況2：點(diǎn)P在線段AB外（如圖6）。連接PA、PB，取AB中點(diǎn)C，連接PC。∵PA=PB，AC=BC，PC=PC，∴△PAC≌△PBC（SSS）?！唷螾CA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴PC是AB的垂直平分線，故P在AB的垂直平分線上。結(jié)論（判定定理）：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。符號(hào)語言：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上。2.尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線操作步驟（教師示范，學(xué)生模仿）：已知線段AB，求作其垂直平分線l（如圖7）。（1）分別以A、B為圓心，大于1/2AB的長為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)；（2）過M、N作直線l，直線l即為AB的垂直平分線。設(shè)計(jì)意圖：通過逆向思考培養(yǎng)邏輯思維的完整性，尺規(guī)作圖強(qiáng)化動(dòng)手能力，落實(shí)“做中學(xué)”的理念。（四）應(yīng)用舉例：定理的實(shí)際應(yīng)用（10分鐘）1.坐標(biāo)法求垂直平分線例1：已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)，求AB的垂直平分線方程。解答步驟：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)：C((1+3)/2,(2+4)/2)=(2,3)；（2）求AB的斜率：k_AB=(4-2)/(3-1)=1；（3）求垂直平分線的斜率：k=-1（兩直線垂直，斜率乘積為-1）；（4）用點(diǎn)斜式寫方程：y-3=-(x-2)，即y=-x+5。2.幾何綜合問題例2：在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線（如圖8）。求證：AD是BC的垂直平分線。證明：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上（判定定理）；∵AD是BC的中線，∴BD=DC，∴點(diǎn)D在BC的垂直平分線上（判定定理）；∴直線AD是BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）。設(shè)計(jì)意圖：通過坐標(biāo)法和幾何綜合題，鞏固定理的應(yīng)用，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想。（五）鞏固練習(xí)：分層達(dá)標(biāo)（8分鐘）1.基礎(chǔ)題（全體學(xué)生完成）（1）點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=6，則PB=______；（2）線段AB的中點(diǎn)為C，直線l⊥AB于C，點(diǎn)Q在l上，若QA=5，則QB=______；（3）已知A(0,0)、B(4,0)，求AB的垂直平分線方程。2.提高題（選做）（1）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，求證：AD是BC的垂直平分線；（2）到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,5)距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？（用方程表示）。設(shè)計(jì)意圖：基礎(chǔ)題強(qiáng)化定理的直接應(yīng)用，提高題拓展思維，滿足不同學(xué)生的需求。（六）課堂小結(jié)：梳理體系（2分鐘）學(xué)生活動(dòng)：回顧本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)：線段垂直平分線的定義、性質(zhì)定理、判定定理；總結(jié)探究過程中的方法：操作猜想、邏輯證明、分類討論；交流學(xué)習(xí)感受：“這節(jié)課你最收獲的是什么？”教師總結(jié)：線段垂直平分線是“到兩端距離相等”的點(diǎn)的集合（性質(zhì)與判定的統(tǒng)一）；定理的應(yīng)用關(guān)鍵是“找中點(diǎn)”“證垂直”或“用距離相等”；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題）、數(shù)形結(jié)合。（七）作業(yè)布置：鞏固拓展（2分鐘）1.必做題：課本第65頁習(xí)題13.1第1、2、3題；2.選做題：（1）用尺規(guī)作△ABC的外心（三條邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（2）找生活中線段垂直平分線的例子，下節(jié)課分享。三、板書設(shè)計(jì)線段的垂直平分線1.定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)且垂直于線段的直線；2.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等；符號(hào)語言：∵l⊥AB，AC=BC，P在l上，∴PA=PB；3.判定定理：到兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上；符號(hào)語言：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分線上；4.尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線；5.例題：例1（坐標(biāo)法）、例2（幾何綜合）。四、教學(xué)反思1.成功之處：情境導(dǎo)入貼近生活，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣；操作活動(dòng)（折紙、尺規(guī)作圖）讓學(xué)生直觀感受定理的形成過程；定理證明注重邏輯推理，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度；練習(xí)分層設(shè)計(jì)，滿足了不同學(xué)生的需求。2.改進(jìn)方向：部分學(xué)生對(duì)判定定理的“逆向思維”仍有困難，需增加“反例”練習(xí)（如“到A、B距離相等的點(diǎn)一定在AB的垂直平分線上嗎？”）；坐標(biāo)法求垂直平分線的練習(xí)可增加“含參數(shù)”的題目（如A(a,b)、B(c,d)），提升學(xué)生的抽象思維能力；可利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示“點(diǎn)P在垂直平分線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=PB