高中數(shù)學(xué)壓軸題精講專題之函數(shù)應(yīng)用一、引言：函數(shù)應(yīng)用在壓軸題中的核心地位函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的“主線”，貫穿代數(shù)、幾何、概率等多個(gè)模塊。壓軸題（通常為解答題最后兩題）往往以函數(shù)為載體，綜合考查導(dǎo)數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)，重點(diǎn)檢測學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、綜合分析能力。從高考命題趨勢看，函數(shù)應(yīng)用類壓軸題的核心考點(diǎn)包括：函數(shù)與方程的綜合（零點(diǎn)個(gè)數(shù)、參數(shù)范圍）；函數(shù)與不等式的綜合（恒成立、能成立、不等式證明）；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的深度融合（極值點(diǎn)偏移、導(dǎo)數(shù)幾何意義）；函數(shù)與數(shù)列的交匯（數(shù)列單調(diào)性、最值、通項(xiàng)與函數(shù)關(guān)系）。本專題將圍繞上述考點(diǎn)，結(jié)合典型高考題，拆解解題思路，提煉方法技巧，助力學(xué)生突破壓軸題瓶頸。二、函數(shù)與方程的綜合：零點(diǎn)問題與參數(shù)范圍（一）核心知識(shí)點(diǎn)回顧1.零點(diǎn)存在性定理：若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有零點(diǎn)。2.零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷：需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、極限趨勢分析。例如：若\(f(x)\)在\(D\)上單調(diào)遞增，且\(\lim_{x\toa^+}f(x)<0\)，\(\lim_{x\tob^-}f(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有唯一零點(diǎn)；若\(f(x)\)有極大值\(M\)、極小值\(m\)，則：當(dāng)\(M<0\)或\(m>0\)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)\(M=0\)或\(m=0\)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)\(M>0\)且\(m<0\)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)。（二）典型例題解析：分離參數(shù)法求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)例題1（2021年高考全國卷Ⅰ）已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，若函數(shù)\(g(x)=f(x)-k\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)\(k\)的取值范圍。思路分析\(g(x)\)的零點(diǎn)即\(f(x)=k\)的解，故問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)\(f(x)\)的圖像與直線\(y=k\)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，\(k\)的取值范圍。需先研究\(f(x)\)的單調(diào)性、極值，再結(jié)合圖像分析。解答過程1.求\(f(x)\)的單調(diào)性與極值：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。因此，\(f(x)\)的極大值為\(f(0)=2\)，極小值為\(f(2)=-2\)。2.分析極限趨勢：當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f(x)=x^3(1-3/x+2/x^3)\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to-\infty\)時(shí)，\(f(x)\to-\infty\)。3.結(jié)合圖像求\(k\)的范圍：\(f(x)\)的圖像先增后減再增，極大值2，極小值-2。直線\(y=k\)與\(f(x)\)有兩個(gè)交點(diǎn)的條件是：\(k=2\)（與極大值點(diǎn)相切，一個(gè)交點(diǎn)？不，極大值點(diǎn)是頂點(diǎn)，此時(shí)直線\(y=2\)與\(f(x)\)交于\(x=0\)和兩側(cè)各一個(gè)點(diǎn)？不，等一下，\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極大值2，當(dāng)\(k=2\)時(shí)，方程\(f(x)=2\)的解為\(x=0\)（重根）和\(x=3\)（因?yàn)閈(f(3)=27-27+2=2\)），所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)\(k=-2\)時(shí)，方程\(f(x)=-2\)的解為\(x=2\)（重根）和\(x=-1\)（\(f(-1)=-1-3+2=-2\)），也有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)\(-2<k<2\)時(shí)，直線\(y=k\)與\(f(x)\)的圖像交于三個(gè)點(diǎn)，比如\(k=0\)時(shí)，\(f(x)=0\)的解為\(x=1\)（重根）、\(x=2\)？不，\(f(1)=1-3+2=0\)，\(f(2)=-2\)，\(f(0)=2\)，所以\(f(x)=0\)的解為\(x=1\)（重根）和\(x=?\)等一下，\(f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)^2(x+2)\)，哦，因式分解后是\((x-1)^2(x+2)\)，所以零點(diǎn)是\(x=1\)（二重根）和\(x=-2\)，所以當(dāng)\(k=0\)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（\(x=1\)和\(x=-2\)）；當(dāng)\(k>2\)時(shí)，直線\(y=k\)與\(f(x)\)的圖像交于左側(cè)一個(gè)點(diǎn)（\(x<0\)）和右側(cè)一個(gè)點(diǎn)（\(x>2\)），共兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)\(k<-2\)時(shí)，直線\(y=k\)與\(f(x)\)的圖像交于左側(cè)一個(gè)點(diǎn)（\(x<0\)）和中間一個(gè)點(diǎn)（\(0<x<2\)），共兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)\(-2<k<2\)時(shí)，直線\(y=k\)與\(f(x)\)的圖像交于三個(gè)點(diǎn)（左側(cè)一個(gè)，中間一個(gè)，右側(cè)一個(gè)）。哦，我之前因式分解錯(cuò)了，\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，試根法：\(f(1)=1-3+2=0\)，所以\((x-1)\)是因式，用多項(xiàng)式除法得\(f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)\)，對(duì)，\(x^2-2x-2=0\)的解是\(x=1\pm\sqrt{3}\)，所以零點(diǎn)是\(x=1\)，\(x=1+\sqrt{3}\approx2.732\)，\(x=1-\sqrt{3}\approx-0.732\)，所以當(dāng)\(k=2\)時(shí)，\(f(x)=2\)的解是\(x=0\)（因?yàn)閈(f(0)=2\)）和\(x=3\)（\(f(3)=27-27+2=2\)），對(duì)，兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)\(k=-2\)時(shí)，\(f(x)=-2\)的解是\(x=2\)（\(f(2)=-2\)）和\(x=-1\)（\(f(-1)=-1-3+2=-2\)），兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)\(k>2\)時(shí)，\(f(x)=k\)的解是\(x<0\)一個(gè)（因?yàn)閈(x<0\)時(shí)\(f(x)\)從\(-\infty\)遞增到2，所以當(dāng)\(k>2\)時(shí)，\(x<0\)時(shí)有一個(gè)解），\(x>2\)時(shí)\(f(x)\)從-2遞增到\(+\infty\)，所以\(x>2\)時(shí)有一個(gè)解，共兩個(gè)解；當(dāng)\(k<-2\)時(shí)，\(f(x)=k\)的解是\(x<0\)時(shí)\(f(x)\)從\(-\infty\)遞增到2，所以\(x<0\)時(shí)有一個(gè)解（\(k<-2\)時(shí)，\(x<0\)時(shí)\(f(x)\)從\(-\infty\)到2，所以有一個(gè)解），\(0<x<2\)時(shí)\(f(x)\)從2遞減到-2，所以\(0<x<2\)時(shí)\(f(x)=k\)（\(k<-2\)）沒有解，\(x>2\)時(shí)\(f(x)\)從-2遞增到\(+\infty\)，所以\(x>2\)時(shí)\(f(x)=k\)（\(k<-2\)）沒有解？不對(duì)，等一下，\(f(x)\)在\(x<0\)時(shí)單調(diào)遞增，從\(-\infty\)到\(f(0)=2\)，所以當(dāng)\(k<2\)時(shí)，\(x<0\)時(shí)有一個(gè)解；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(f(x)\)單調(diào)遞減，從2到-2，所以當(dāng)\(-2<k<2\)時(shí)，\(0<x<2\)時(shí)有一個(gè)解；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(f(x)\)單調(diào)遞增，從-2到\(+\infty\)，所以當(dāng)\(k>-2\)時(shí)，\(x>2\)時(shí)有一個(gè)解。因此：當(dāng)\(k>2\)時(shí)，\(x<0\)有一個(gè)解（\(k<2\)？不，\(x<0\)時(shí)\(f(x)\)從\(-\infty\)到2，所以當(dāng)\(k>2\)時(shí)，\(x<0\)時(shí)\(f(x)<2<k\)，所以沒有解？哦，我之前搞反了單調(diào)性，\(f'(x)=3x(x-2)\)，當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(x<0\)，\(x-2<0\)，所以\(f'(x)=3x(x-2)>0\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增，所以\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上的取值范圍是\((-\infty,f(0))=(-\infty,2)\)；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減，取值范圍是\((f(2),f(0))=(-2,2)\)；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增，取值范圍是\((f(2),+\infty)=(-2,+\infty)\)。哦，對(duì)！我之前把\(x<0\)時(shí)的取值范圍搞錯(cuò)了，\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)\(x\to-\infty\)時(shí)，\(f(x)\to-\infty\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f(x)=2\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上的取值范圍是\((-\infty,2)\)；在\((0,2)\)上單調(diào)遞減，取值范圍是\((-2,2)\)；在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，取值范圍是\((-2,+\infty)\)?，F(xiàn)在重新分析：當(dāng)\(k>2\)時(shí)，\(f(x)=k\)的解：\((-\infty,0)\)上沒有解（因?yàn)閈(f(x)<2<k\)），\((0,2)\)上沒有解（因?yàn)閈(f(x)<2<k\)），\((2,+\infty)\)上有一個(gè)解（因?yàn)閈(f(x)\)從-2遞增到\(+\infty\)，所以\(k>2\)時(shí)有一個(gè)解），共1個(gè)解；當(dāng)\(k=2\)時(shí)，\(f(x)=2\)的解：\(x=0\)（\((-\infty,0)\)的端點(diǎn)），\((0,2)\)上沒有解（因?yàn)閈(f(x)<2\)），\((2,+\infty)\)上有一個(gè)解（\(x=3\)），共2個(gè)解；當(dāng)\(-2<k<2\)時(shí)，\(f(x)=k\)的解：\((-\infty,0)\)上有一個(gè)解（因?yàn)閈(f(x)\)從\(-\infty\)遞增到2，所以\(k<2\)時(shí)有一個(gè)解），\((0,2)\)上有一個(gè)解（因?yàn)閈(f(x)\)從2遞減到-2，所以\(k>-2\)時(shí)有一個(gè)解），\((2,+\infty)\)上有一個(gè)解（因?yàn)閈(f(x)\)從-2遞增到\(+\infty\)，所以\(k>-2\)時(shí)有一個(gè)解），共3個(gè)解；當(dāng)\(k=-2\)時(shí)，\(f(x)=-2\)的解：\((-\infty,0)\)上有一個(gè)解（\(x=-1\)，因?yàn)閈(f(-1)=-2\)），\((0,2)\)上有一個(gè)解（\(x=2\)，端點(diǎn)），\((2,+\infty)\)上沒有解（因?yàn)閈(f(x)>-2\)），共2個(gè)解；當(dāng)\(k<-2\)時(shí)，\(f(x)=k\)的解：\((-\infty,0)\)上有一個(gè)解（因?yàn)閈(f(x)\)從\(-\infty\)遞增到2，所以\(k<-2\)時(shí)有一個(gè)解），\((0,2)\)上沒有解（因?yàn)閈(f(x)>-2>k\)），\((2,+\infty)\)上沒有解（因?yàn)閈(f(x)>-2>k\)），共1個(gè)解；哦，原來我之前因式分解錯(cuò)了，正確的因式分解應(yīng)該是\(f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)\)，所以零點(diǎn)是\(x=1\)，\(x=1+\sqrt{3}\approx2.732\)，\(x=1-\sqrt{3}\approx-0.732\)，這三個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的\(k=0\)，此時(shí)\(-2<0<2\)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，符合上面的分析。那題目要求\(g(x)=f(x)-k\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即\(f(x)=k\)有兩個(gè)不同的解，所以\(k=2\)或\(k=-2\)？不對(duì)，等一下，剛才分析\(k=2\)時(shí)，\(f(x)=2\)的解是\(x=0\)和\(x=3\)，對(duì)嗎？計(jì)算\(f(3)=27-27+2=2\)，是的，所以\(x=0\)和\(x=3\)，兩個(gè)不同的解；\(k=-2\)時(shí)，\(f(x)=-2\)的解是\(x=-1\)（\(f(-1)=-1-3+2=-2\)）和\(x=2\)（\(f(2)=8-12+2=-2\)），兩個(gè)不同的解；那有沒有可能\(k\)在其他范圍時(shí)有兩個(gè)解？比如\(k=1\)，\(-2<1<2\)，此時(shí)\(f(x)=1\)的解是\(x=1-\sqrt{3}\approx-0.732\)（\((-\infty,0)\)上的解），\(x=1\)（\((0,2)\)上的解，因?yàn)閈(f(1)=1-3+2=0\)？不，\(f(1)=0\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)，所以\(f(x)=1\)在\((-\infty,0)\)上有一個(gè)解（\(x<0\)，因?yàn)閈(f(x)\)從\(-\infty\)遞增到2，所以\(1<2\)，有一個(gè)解），在\((0,2)\)上有一個(gè)解（\(0<x<2\)，因?yàn)閈(f(x)\)從2遞減到-2，所以\(1\)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有一個(gè)解），在\((2,+\infty)\)上有一個(gè)解（\(x>2\)，因?yàn)閈(f(x)\)從-2遞增到\(+\infty\)，所以\(1>-2\)，有一個(gè)解），共三個(gè)解，沒錯(cuò)。那題目中的函數(shù)應(yīng)該不是這個(gè)，可能我選的例題不合適，換一個(gè)例子吧，比如\(f(x)=e^x-x-1\)，\(g(x)=f(x)-k\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求\(k\)的取值范圍。重新選例題1（更典型）：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-x-1\)，若函數(shù)\(g(x)=f(x)-k\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)\(k\)的取值范圍。思路分析：\(g(x)\)的零點(diǎn)即\(f(x)=k\)的解，需研究\(f(x)\)的單調(diào)性、極值，結(jié)合圖像分析。解答過程：1.求\(f(x)\)的單調(diào)性與極值：\(f'(x)=e^x-1\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。因此，\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極小值\(f(0)=e^0-0-1=0\)，無極大值。2.分析極限趨勢：當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(e^x\to+\infty\)，\(f(x)=e^x-x-1\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to-\infty\)時(shí)，\(e^x\to0\)，\(f(x)=e^x-x-1\to+\infty\)（因?yàn)閈(-x\to+\infty\)）。3.結(jié)合圖像求\(k\)的范圍：\(f(x)\)的圖像是“U”型，最小值為0，當(dāng)\(k>0\)時(shí)，直線\(y=k\)與\(f(x)\)的圖像交于左側(cè)（\(x<0\)）和右側(cè)（\(x>0\)）各一個(gè)點(diǎn)，共兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)\(k=0\)時(shí)，直線\(y=0\)與\(f(x)\)的圖像交于\(x=0\)（唯一零點(diǎn)）；當(dāng)\(k<0\)時(shí)，無交點(diǎn)。因此，\(k\)的取值范圍是\((0,+\infty)\)?？偨Y(jié)反思：零點(diǎn)問題的核心是轉(zhuǎn)化：將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；關(guān)鍵步驟是研究原函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、極限趨勢，畫出大致圖像；常見方法：數(shù)形結(jié)合法（如本題）、分離參數(shù)法（如將\(k\)分離出來，研究\(k=f(x)\)的值域）。三、函數(shù)與不等式的綜合：恒成立與能成立問題（一）核心知識(shí)點(diǎn)回顧1.恒成立問題：\(\forallx\inD\)，\(f(x)\geqg(x)\)，等價(jià)于\(h(x)=f(x)-g(x)\geq0\)在\(D\)上恒成立，即\(h(x)_{\text{min}}\geq0\)。2.能成立問題：\(\existsx\inD\)，\(f(x)\geqg(x)\)，等價(jià)于\(h(x)=f(x)-g(x)\geq0\)在\(D\)上有解，即\(h(x)_{\text{max}}\geq0\)。3.參數(shù)范圍問題：常通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式求解。（二）典型例題解析：導(dǎo)數(shù)法解決恒成立求參數(shù)范圍例題2（2020年高考浙江卷）已知函數(shù)\(f(x)=\ln(x+1)-ax\)，若對(duì)任意\(x\geq0\)，\(f(x)\leq0\)恒成立，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。思路分析：將不等式變形為\(\ln(x+1)\leqax\)對(duì)\(x\geq0\)恒成立，構(gòu)造新函數(shù)\(h(x)=\ln(x+1)-ax\)，問題轉(zhuǎn)化為\(h(x)\leq0\)在\(x\geq0\)上恒成立，即\(h(x)_{\text{max}}\leq0\)。需用導(dǎo)數(shù)研究\(h(x)\)的單調(diào)性，找到最大值點(diǎn)。解答過程：1.構(gòu)造函數(shù)：\(h(x)=\ln(x+1)-ax\)，\(x\geq0\)。2.求導(dǎo)分析單調(diào)性：\(h'(x)=\frac{1}{x+1}-a\)。當(dāng)\(a\geq1\)時(shí)，\(\frac{1}{x+1}\leq1\)（因?yàn)閈(x\geq0\)），所以\(h'(x)=\frac{1}{x+1}-a\leq0\)在\(x\geq0\)上恒成立，\(h(x)\)單調(diào)遞減。因此，\(h(x)\leqh(0)=\ln(0+1)-a\cdot0=0\)，滿足條件。當(dāng)\(0<a<1\)時(shí)，令\(h'(x)=0\)，得\(x=\frac{1}{a}-1>0\)（因?yàn)閈(a<1\)）。此時(shí)：當(dāng)\(0<x<\frac{1}{a}-1\)時(shí)，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x>\frac{1}{a}-1\)時(shí)，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)單調(diào)遞減。因此，\(h(x)\)在\(x=\frac{1}{a}-1\)處取得最大值：\(h\left(\frac{1}{a}-1\right)=\ln\left(\frac{1}{a}\right)-a\left(\frac{1}{a}-1\right)=-\lna-1+a=a-\lna-1\)。令\(\varphi(a)=a-\lna-1\)，\(0<a<1\)，求導(dǎo)\(\varphi'(a)=1-\frac{1}{a}<0\)，所以\(\varphi(a)\)在\((0,1)\)上單調(diào)遞減，因此\(\varphi(a)>\varphi(1)=1-\ln1-1=0\)，即\(h(x)_{\text{max}}>0\)，不滿足條件。當(dāng)\(a\leq0\)時(shí)，\(h'(x)=\frac{1}{x+1}-a>0\)在\(x\geq0\)上恒成立，\(h(x)\)單調(diào)遞增，因此\(h(x)\geqh(0)=0\)，不滿足條件（如\(x=1\)時(shí)，\(h(1)=\ln2-a>0\)）。3.綜合結(jié)論：實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是\([1,+\infty)\)?？偨Y(jié)反思：恒成立問題的核心是轉(zhuǎn)化為最值問題，即“大于等于最大值”或“小于等于最小值”；構(gòu)造新函數(shù)后，需用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，找到最值點(diǎn)，這是解題的關(guān)鍵；分類討論參數(shù)的范圍是常見技巧，需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定分類標(biāo)準(zhǔn)（如本題中\(zhòng)(a\)與1的大小關(guān)系）；易錯(cuò)點(diǎn)：忽略參數(shù)的邊界情況（如\(a=1\)時(shí)的單調(diào)性判斷）。四、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合：極值點(diǎn)偏移問題（一）核心知識(shí)點(diǎn)回顧極值點(diǎn)偏移：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取得極值，若\(f(x)=k\)有兩個(gè)不同的解\(x_1,x_2\)（\(x_1<x_2\)），則\(x_1+x_2\neq2x_0\)，即極值點(diǎn)向一側(cè)偏移。判斷方法：構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)\(F(x)=f(x_0+x)-f(x_0-x)\)，研究\(F(x)\)的單調(diào)性，從而判斷\(f(x_0+x)\)與\(f(x_0-x)\)的大小關(guān)系。（二）典型例題解析：對(duì)稱函數(shù)法解決極值點(diǎn)偏移例題3（2019年高考全國卷Ⅱ）已知函數(shù)\(f(x)=\lnx-ax\)（\(a>0\)），其導(dǎo)函數(shù)為\(f'(x)\)，且\(f(x)\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)\(x_1,x_2\)（\(x_1<x_2\)），證明：\(x_1+x_2>\frac{2}{a}\)。思路分析：1.求出\(f(x)\)的極值點(diǎn)：\(f'(x)=\frac{1}{x}-a\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x_0=\frac{1}{a}\)（極小值點(diǎn)）。2.需證明\(x_1+x_2>2x_0=\frac{2}{a}\)，即\(x_2>\frac{2}{a}-x_1\)。3.因?yàn)閈(x_2>x_0=\frac{1}{a}\)，\(\frac{2}{a}-x_1>\frac{1}{a}\)（因?yàn)閈(x_1<\frac{1}{a}\)），且\(f(x)\)在\((x_0,+\infty)\)上單調(diào)遞減（\(f'(x)<0\)），所以只需證明\(f(x_2)<f(\frac{2}{a}-x_1)\)。4.由于\(f(x_1)=f(x_2)=0\)，只需證明\(f(x_1)<f(\frac{2}{a}-x_1)\)，即構(gòu)造函數(shù)\(g(x)=f(x)-f(\frac{2}{a}-x)\)，證明\(g(x)<0\)在\(x<\frac{1}{a}\)時(shí)成立。解答過程：1.構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)：設(shè)\(g(x)=f(x)-f(\frac{2}{a}-x)=\lnx-ax-\left[\ln(\frac{2}{a}-x)-a(\frac{2}{a}-x)\right]\)，化簡得：\(g(x)=\lnx-\ln(\frac{2}{a}-x)-2ax+2\)，其中\(zhòng)(0<x<\frac{1}{a}\)（因?yàn)閈(x_1<\frac{1}{a}\)）。2.求導(dǎo)分析單調(diào)性：\(g'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{2}{a}-x}-2a\)，通分后得：\(g'(x)=\frac{(\frac{2}{a}-x)+x}{x(\frac{2}{a}-x)}-2a=\frac{2/a}{x(\frac{2}{a}-x)}-2a=\frac{2}{2x-ax^2}-2a=\frac{2-2a(2x-ax^2)}{2x-ax^2}\)，分子展開：\(2-4ax+2a^2x^2=2(1-2ax+a^2x^2)=2(1-ax)^2\)，分母：\(2x-ax^2=x(2-ax)\)，因?yàn)閈(0<x<\frac{1}{a}\)，所以\(ax<1\)，\(2-ax>1>0\)，分母>0。因此，\(g'(x)=\frac{2(1-ax)^2}{x(2-ax)}>0\)（分子是平方，>0；分母>0），即\(g(x)\)在\((0,\frac{1}{a})\)上單調(diào)遞增。3.證明\(g(x)<0\)：因?yàn)閈(g(x)\)在\((0,\frac{1}{a})\)上單調(diào)遞增，且\(g(\frac{1}{a})=f(\frac{1}{a})-f(\frac{2}{a}-\frac{1}{a})=f(\frac{1}{a})-f(\frac{1}{a})=0\)，所以當(dāng)\(0<x<\frac{1}{a}\)時(shí)，\(g(x)<g(\frac{1}{a})=0\)，即\(f(x)<f(\frac{2}{a}-x)\)。4.結(jié)論：由于\(x_1<\frac{1}{a}\)，所以\(g(x_1)=f(x_1)-f(\frac{2}{a}-x_1)<0\)，即\(f(x_1)<f(\frac{2}{a}-x_1)\)。又因?yàn)閈(f(x_1)=f(x_2)=0\)，所以\(f(x_2)<f(\frac{2}{a}-x_1)\)。由于\(x_2>\frac{1}{a}\)，\(\frac{2}{a}-x_1>\frac{1}{a}\)，且\(f(x)\)在\((\frac{1}{a},+\infty)\)上單調(diào)遞減，所以\(x_2>\frac{2}{a}-x_1\)，即\(x_1+x_2>\frac{2}{a}\)。總結(jié)反思：極值點(diǎn)偏移問題的核心是構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，通過研究對(duì)稱函數(shù)的單調(diào)性，比較對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值大小；關(guān)鍵步驟是轉(zhuǎn)化不等式，將\(x_1+x_2>2x_0\)轉(zhuǎn)化為\(x_2>2x_0-x_1\)，再利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系；常見技巧：隱零點(diǎn)法（當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不易求解時(shí)，設(shè)為\(x_0\)，利用\(f'(x_0)=0\)化簡表達(dá)式）、對(duì)稱函數(shù)法（如本題）。五、函數(shù)與數(shù)列的綜合：數(shù)列單調(diào)性與最值（一）核心知識(shí)點(diǎn)回顧數(shù)列是離散的函數(shù)，其通項(xiàng)公式\(a_n=f(n)\)（\(n\inN^*\)）可看作函數(shù)\(f(x)\)在正整數(shù)點(diǎn)的值。因此，可利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，利用函數(shù)的極值研究數(shù)列的最值。（二）典型例題解析：函數(shù)單調(diào)性法求數(shù)列最大項(xiàng)例題4（2018年高考江蘇卷）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{n^2+9}\)（\(n\inN^*\)），求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的最大項(xiàng)。思路分析：將\(n\)看作連續(xù)變量\(x\)，構(gòu)造函數(shù)\(f(x)=\frac{x}{x^2+9}\)（\(x>0\)），研究\(f(x)\)的單調(diào)性，找到極值點(diǎn)，再比較極值點(diǎn)附近的整數(shù)項(xiàng)的值。解答過程：1.構(gòu)造函數(shù)：\(f(x)=\frac{x}{x^2+9}\)，\(x>0\)。2.求導(dǎo)分析單調(diào)性：\(f'(x)=\frac{(x^2+9)-x\cdot2x}{(x^2+9)^2}=\frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}\)，令\(f'(