初中數(shù)學(xué)平方和公式應(yīng)用題一、平方和公式的基本概念與變形平方和是初中代數(shù)中的基本代數(shù)式，指兩個數(shù)的平方相加，記作\(a^2+b^2\)。其核心應(yīng)用依賴于完全平方公式的變形，這是解決平方和問題的關(guān)鍵工具：1.由\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)移項得：\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\]2.由\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)移項得：\[a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\]這兩個變形將“平方和”與“兩數(shù)之和（或差）”“兩數(shù)之積”聯(lián)系起來，是解決所有平方和問題的基礎(chǔ)。二、常見應(yīng)用類型及例題解析1.類型一：直接利用變形公式求平方和例1：已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2+b^2\)的值。解析：直接應(yīng)用\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)，代入得：\[a^2+b^2=5^2-2\times3=25-6=19\]例2：已知\(x-y=2\)，\(xy=4\)，求\(x^2+y^2\)的值。解析：應(yīng)用\(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\)，代入得：\[x^2+y^2=2^2+2\times4=4+8=12\]2.類型二：求含平方和的代數(shù)式的值例3：已知\(m+n=4\)，\(mn=1\)，求\(m^2+n^2+3mn\)的值。解析：先計算平方和，再代入整體表達式：\[m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=4^2-2\times1=14\]\[m^2+n^2+3mn=14+3\times1=17\]例4：已知\(a-b=1\)，\(ab=2\)，求\(a^2+b^2-ab\)的值。解析：先算平方和，再減\(ab\)：\[a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=1^2+2\times2=5\]\[a^2+b^2-ab=5-2=3\]3.類型三：解決實際問題中的平方和例5：長方形的周長為12，面積為8，求長和寬的平方和。解析：設(shè)長為\(a\)，寬為\(b\)，由周長得\(a+b=6\)（周長=2(a+b)=12），面積得\(ab=8\)，代入平方和公式：\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=6^2-2\times8=36-16=20\]例6：某直角三角形的兩條直角邊之和為7，面積為6，求斜邊長度（提示：斜邊2=直角邊2+直角邊2）。解析：設(shè)直角邊為\(a\)、\(b\)，則\(a+b=7\)，面積\(\frac{1}{2}ab=6\)→\(ab=12\)。斜邊2=\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=7^2-2\times12=49-24=25\)，故斜邊=5。4.類型四：與其他公式結(jié)合應(yīng)用例7：已知\(a+b=3\)，\(a-b=1\)，求\(a^2+b^2\)的值。解析：方法一（解方程組）：\(a=2\)，\(b=1\)，平方和=4+1=5；方法二（公式組合）：利用\((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\)，代入得：\[3^2+1^2=2(a^2+b^2)\→10=2(a^2+b^2)\→a^2+b^2=5\]（更快捷）例8：已知\(x^2+y^2=10\)，\(xy=3\)，求\((x+y)^2\)和\((x-y)^2\)的值。解析：反向應(yīng)用完全平方公式：\[(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=10+6=16\]\[(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=10-6=4\]三、解題技巧與注意事項1.解題技巧觀察已知條件：若已知兩數(shù)之和（或差）與積，直接用變形公式求平方和；轉(zhuǎn)化所求問題：若所求代數(shù)式含平方和，先分離出平方和部分（如例3中的\(m^2+n^2\)），再代入計算；結(jié)合其他公式：如平方差公式、完全平方公式，靈活組合（如例7的方法二），簡化計算。2.注意事項避免公式混淆：\((a+b)^2\neqa^2+b^2\)（中間需加\(2ab\)），\((a-b)^2\neqa^2-b^2\)（中間需減\(2ab\)）；符號正確性：\((a-b)^2\)中的減號不要遺漏，計算時注意符號（如例2中的\(x-y=2\)，代入時需用\((x-y)^2\)）；實際問題轉(zhuǎn)化：將實際問題中的數(shù)量關(guān)系（如長方形的周長、面積）轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達式（如\(a+b\)、\(ab\)），再應(yīng)用公式求解（如例5、例6）。四、實戰(zhàn)演練（附答案）1.已知\(a+b=6\)，\(ab=8\)，求\(a^2+b^2\)的值。（答案：20）2.已知\(x-y=3\)，\(xy=5\)，求\(x^2+y^2\)的值。（答案：19）3.長方形周長為14，面積為12，求長和寬的平方和。（答案：25）4.已知\(a^2+b^2=13\)，\(ab=6\)，求\((a+b)^2\)的值。（答案：