滬科版9年級下冊期末試卷考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題16分）一、單選題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果：投籃次數(shù)50100150200250400500800投中次數(shù)286387122148242301480投中頻率0.5600.6300.5800.6100.5920.6050.6020.600根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名球員投籃一次投中的概率約是（）A．0.560 B．0.580 C．0.600 D．0.6202、下列說法正確的是（）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)為3的概率是．B．若AC、BD為菱形ABCD的對角線，則的概率為1．C．概率很小的事件不可能發(fā)生．D．通過少量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率．3、如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，則∠APB的度數(shù)是（）．A．90° B．100° C．120° D．150°4、下列事件中，是必然事件的是（）A．剛到車站，恰好有車進(jìn)站B．在一個(gè)僅裝著白乒乓球的盒子中，摸出黃乒乓球C．打開九年級上冊數(shù)學(xué)教材，恰好是概率初步的內(nèi)容D．任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°5、如圖，該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．6、下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．7、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D落在AB邊上，此時(shí)得到△EDC，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．1 C． D．8、如圖，在中，，，，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題84分）二、填空題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，、分別與相切于A、B兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為________．2、一個(gè)五邊形共有__________條對角線．3、如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB的長度為2，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)若△ABC為等腰三角形，則BC2為_______．4、第24屆世界冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，于2022年2月4日在中國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，其會徽為“冬夢”，這是中國歷史上首次舉辦冬季奧運(yùn)會．如圖，是一幅印有北京冬奧會會徽且長為3m，寬為2m的長方形宣傳畫，為測量宣傳畫上會徽圖案的面積，現(xiàn)將宣傳畫平鋪，向長方形宣傳畫內(nèi)隨機(jī)投擲骰子（假設(shè)骰子落在長方形內(nèi)的每一點(diǎn)都是等可能的），經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)骰子落在會徽圖案上的頻率穩(wěn)定在0.15左右，由此可估計(jì)宣傳畫上北京冬奧會會徽圖案的面積約為______．5、某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20401002004001000“射中9環(huán)以上”的次數(shù)153378158321801“射中9環(huán)以下”的頻率通過計(jì)算頻率，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中9環(huán)以上”的概率是______（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．6、已知一個(gè)扇形的半徑是1，圓心角是120°，則這個(gè)扇形的面積是___________．7、平面直角坐標(biāo)系中，，，A為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB，當(dāng)BK取最小值時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________．三、解答題（7小題，每小題0分，共計(jì)0分）1、在△ABC與△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，且AB＝AC，DE＝DF．（1）如圖1，若點(diǎn)D與A重合，AC與EF交于P，且∠CAE＝30°，CE，求EP的長；（2）如圖2，若點(diǎn)D與C重合，EF與BC交于點(diǎn)M，且BM＝CM，連接AE，且∠CAE＝∠MCE，求證：AE+MF＝CE；（3）如圖3，若點(diǎn)D與A重合，連接BE，且∠ABE∠ABC，連接BF，CE，當(dāng)BF+CE最小時(shí)，直接出的值．2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，做直線AC平行x軸，點(diǎn)D是二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)O不重合）．（1）求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）（2）求的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式．（3）在（2）的條件下，如圖2，P為OC的中點(diǎn)，在直線AC上取一點(diǎn)M，連接PM，做點(diǎn)C關(guān)于PM的對稱點(diǎn)N，①連接AN，求AN的最小值．②當(dāng)點(diǎn)N落在拋物線的對稱軸上，求直線MN的函數(shù)表達(dá)式．3、元元同學(xué)在數(shù)學(xué)課上遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并與兩坐標(biāo)軸分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在上，且，求OA的半徑和圓心A的坐標(biāo)．元元的做法如下，請你幫忙補(bǔ)全解題過程：解：如圖2，連接BC．作AELOB于E、AF⊥OC于F．∴、（依據(jù)是①）∵，∴（依據(jù)是②）．∵，．∴BC是的直徑（依據(jù)是③）．∴∵，∴A的坐標(biāo)為（④）的半徑為⑤4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P，O，Q給出如下定義：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我們稱點(diǎn)P是線段OQ的“潛力點(diǎn)”已知點(diǎn)O（0，0），Q（1，0）（1）在P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）中是線段OQ的“潛力點(diǎn)”是_____________；（2）若點(diǎn)P在直線y＝x上，且為線段OQ的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）直線y＝2x＋b與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN上存在線段OQ的“潛力點(diǎn)”時(shí)，直接寫出b的取值范圍5、隨著課后服務(wù)的全面展開，某校組織了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．炯炯和露露分別打算從以下四個(gè)社團(tuán)：A．快樂足球，B．?dāng)?shù)學(xué)歷史，C．文學(xué)欣賞，D．棋藝鑒賞中，選擇一個(gè)社團(tuán)參加．（1）炯炯選擇數(shù)學(xué)歷史的概率為______．（2）用畫樹狀圖或列表的方法求炯炯和露露選擇同一個(gè)社團(tuán)的概率．6、太原是國家歷史文化名城，有很多旅游的好去處，周末哥哥計(jì)劃帶弟弟出去玩，放假前他收集了太原動(dòng)物園、晉祠公園、森林公園、汾河濕地公園四個(gè)景點(diǎn)的旅游宣傳卡片，這些卡片的大小、形狀及背面完全相同，分別用D，J，S，F(xiàn)表示，如圖所示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求下列事件發(fā)生的概率．（1）把這四張卡片背面朝上洗勻后，弟弟從中隨機(jī)抽取一張，作好記錄后，將卡片放回洗勻，哥哥再抽取一張，求兩人抽到同一景點(diǎn)的概率；（2）把這四張卡片背面朝上洗勻后，弟弟和哥哥從中各隨機(jī)抽取一張（不放回），求兩人抽到動(dòng)物園和森林公園的概率．7、如圖，是⊙的直徑，弦，垂足為E，弦與弦相交于點(diǎn)G，且，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)H．（1）判斷與⊙的位置關(guān)系并說明理由；（2）若，求弧的長．-參考答案-一、單選題1、C【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率的方法并結(jié)合表格數(shù)據(jù)即可解答.【詳解】解：∵由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時(shí)，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.600附近，∴這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為0.600.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，概率的得出是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定.2、B【分析】概率是指事情發(fā)生的可能性，等可能發(fā)生的事件的概率相同，小概率事件是指發(fā)生的概率比較小，不代表不會發(fā)生，通過大量重復(fù)試驗(yàn)才能用頻率估計(jì)概率，利用這些對四個(gè)選項(xiàng)一次判斷即可．【詳解】A項(xiàng)：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，每個(gè)面朝上的概率都是一樣的都是，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B項(xiàng)：若AC、BD為菱形ABCD的對角線，由菱形的性質(zhì)：對角線相互垂直平分得知兩條線段一定垂直，則AC⊥BD的概率為1是正確的，故B正確，符合題意；C項(xiàng)：概率很小的事件只是發(fā)生的概率很小，不代表不會發(fā)生，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D項(xiàng)：通過大量重復(fù)試驗(yàn)才能用頻率估計(jì)概率，故D錯(cuò)誤，不符合題意．故選B【點(diǎn)睛】本題考查概率的命題真假，準(zhǔn)確理解事務(wù)發(fā)生的概率是本題關(guān)鍵．3、D【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則為等邊三角形，得到，，在中，，，，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：為等邊三角形，，可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，如圖，連接，，，，為等邊三角形，，，在中，，，，，為直角三角形，且，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．4、D【分析】根據(jù)必然事件的概念“在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件”可判斷選項(xiàng)D是必然事件；根據(jù)不可能事件的概念“有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件”可判斷選項(xiàng)B是不可能事件；根據(jù)隨機(jī)事件的概念“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件”判斷選項(xiàng)A、C是隨機(jī)事件，即可得．【詳解】解：A、剛到車站，恰好有車進(jìn)站是隨機(jī)事件；B、在一個(gè)僅裝著白乒乓球的盒子中，摸出黃乒乓球是不可能事件；C、打開九年級上冊數(shù)學(xué)教材，恰好是概率初步的內(nèi)容是隨機(jī)事件；D、任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°是必然事件；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件，解題的關(guān)鍵是熟記必然事件的概念，不可能事件的概念和隨機(jī)事件的概念．5、C【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖解答即可．【詳解】解：從左邊看是一個(gè)正方形被水平的分成3部分，中間的兩條分線是虛線，故C正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，掌握三視圖的定義成為解答本題的關(guān)鍵．6、C【詳解】解：選項(xiàng)A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A不符合題意；選項(xiàng)B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B不符合題意；選項(xiàng)C既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C符合題意；選項(xiàng)D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱圖形的識別，中心對稱圖形的識別，掌握“軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義”是解本題的關(guān)鍵，軸對稱圖形：把一個(gè)圖形沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合；中心對稱圖形：把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與自身重合.7、D【分析】根據(jù)題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，則，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得，由勾股定理即可求得，進(jìn)而求得陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，，，，旋轉(zhuǎn)，，是等邊三角形，，，，，，，，陰影部分的面積為故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，可得，從而得到，進(jìn)而得到∴，可得到點(diǎn)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，設(shè)，則，∵，，∴，∵，，∴，解得：，∴，∴，∴點(diǎn)，∴將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，屬于中考常考題型．二、填空題1、【分析】根據(jù)已知條件可得出，，再利用圓周角定理得出即可．【詳解】解：、分別與相切于、兩點(diǎn)，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是切線的性質(zhì)以及圓周角定理，掌握以上知識點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．2、5【分析】由n邊形的對角線有：條，再把代入計(jì)算即可得．【詳解】解：邊形共有條對角線，五邊形共有條對角線．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的對角線的條數(shù)，掌握n邊形的對角線的條數(shù)是解題的關(guān)鍵．3、4或12或【分析】分三種情況討論：當(dāng)AB＝BC時(shí)、當(dāng)AB＝AC時(shí)、當(dāng)AC＝BC時(shí)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)AB＝BC時(shí)，BC＝2，故BC2=4；如圖2，當(dāng)AB＝AC=2時(shí)，過A作AD⊥BC于D，連接OC，∴BD＝CD，設(shè)OD＝x，則在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2，∴CD2=AC2-AD2=OC2-OD2即22-（2-x）2=22-x2解得x=1∴CD=∴BC=2∴BC2=12；如圖3，當(dāng)AC＝BC時(shí)，則C在AB的垂直平分線上，∴CD經(jīng)過圓心O，AD＝BD＝=1，∵OA＝2，∴OD＝，∴CD＝CO＋OD＝2+，CD=C'O-OD＝2-，∴BC2＝CD2+BD2=（2+）2+12=，BC2＝CD2+BD2=（2-）2+12=，綜上，BC2為4或12或故答案為：4或12或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4、0.9【分析】根據(jù)題意可得長方形的面積，然后依據(jù)骰子落在會徽圖案上的頻率穩(wěn)定在0.15左右，總面積乘以頻率即為會徽圖案的面積．【詳解】解：由題意可得：長方形的面積為，∵骰子落在會徽圖案上的頻率穩(wěn)定在0.15左右，∴會徽圖案的面積為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查根據(jù)頻率計(jì)算滿足條件的情況，理解題意，熟練掌握頻率的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．5、0.8【分析】重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)越多，其頻率越能估計(jì)概率，求出射擊1000次時(shí)的頻率即可．【詳解】解：由題意可知射擊1000次時(shí)，運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中9環(huán)以上”的頻率為∴用頻率估計(jì)概率為0.801，保留小數(shù)點(diǎn)后一位可知概率值為0.8故答案為：0.8．【點(diǎn)睛】本題考查了概率．解題的關(guān)鍵在于明確頻率估計(jì)概率時(shí)要在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)盡可能多的情況下．6、【分析】根據(jù)圓心角為的扇形面積是進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：這個(gè)扇形的面積．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式．7、【分析】如圖，作BH⊥x軸于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出點(diǎn)B在直線y＝x﹣4上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝x﹣4交x軸于E，交y軸于F，作KM⊥EF于M，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，BK的值最小，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得M的坐標(biāo)，從而可得答案．【詳解】解：如圖，作BH⊥x軸于H．∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴點(diǎn)B在直線y＝x﹣4上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝x﹣4交x軸于E，交y軸于F，則作KM⊥EF于M，過作于則根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，BK的值最小，此時(shí)B（3，﹣1），故答案為：（3，﹣1）【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會利用垂線段最短解決最短問題．三、解答題1、（1）；（2）證明見詳解；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)P作PG⊥EC于G，根據(jù)等腰直角三角形得出∠B=∠C=45°，根據(jù)PG⊥EC，可取∠GPC=90°-∠C=45°，可得PG=GC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)∠EPC=75°，可求∠EPG=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出EP=2EG，根據(jù)勾股定理根據(jù)EC=EG+GC=EG+，可求EG=即可；（2）連結(jié)AE，在CE上截取EJ=AE，連結(jié)AJ，根據(jù)∠MAH=45°=∠HEC，可得點(diǎn)A、M、C、E四點(diǎn)共圓，得出∠AEM=∠ACM=45°=∠HEC，∠AME=∠ACE，可得△AEJ為等腰直角三角形，根據(jù)根據(jù)勾股定理AJ=，得出∠CAE=∠MCE，可證∠JAC=∠JCA，可得AJ=JC=，先證△CHM∽△ECM，再證△AEM≌△HEC（AAS），得出EM=EC，再證△AME≌△MCF（AAS），得出AE=MF即可；（3）分兩種情況，當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，與BE在△ABC外部時(shí)，當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，作∠ABC的平分線交AC于O，將△AEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFC′，過點(diǎn)O作OP⊥BC于P，則點(diǎn)E在BO上，有∠ABE=∠ABC，先證B、A、C′三點(diǎn)共線，根據(jù)兩點(diǎn)之交線段最短可得BF+CE=BF+C′F≥BC′，當(dāng)點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，此時(shí)點(diǎn)E在AC上與點(diǎn)O重合，然后利用勾股定理EC=，BF=AB+AF=AC+AF=(1+)AF+AF=(2+)AF在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，當(dāng)BE在△ABC外部時(shí)，∠EBA=，將△EAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAC′，先證B、A、C′三點(diǎn)共線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得BF+CE=BF+FC′≥BC′，當(dāng)點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，再證EF=BF，然后根據(jù)勾股定理BF=CE=AE+AC=AF+AB=在Rt△EAB中，根據(jù)勾股定理即可．【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PG⊥EC于G，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵PG⊥EC，∴∠GPC=90°-∠C=45°，∴PG=GC，∵∠EAC=30°，∠EDF=90°，DE=DF，∴∠DEF=∠F=45°，∴∠EPC=∠AEF+∠EAC=30°+45°=75°，∴∠EPG=∠EPC-∠GPC=75°-45°=30°，∴EP=2EG，在Rt△EPG中，根據(jù)勾股定理∴GC=PG=∴EC=EG+GC=EG+，∴EG=，∴EP=2EG=；（2）連結(jié)AE，在CE上截取EJ=AE，連結(jié)AJ，∵BM=CM，AB=AC，∠BAC=90°，∴AM⊥BC，AM=BM=CM，∴∠MAH=45°=∠HEC，∴點(diǎn)A、M、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠AEM=∠ACM=45°=∠HEC，∠AME=∠ACE，∴∠AEJ=∠AEM+∠HEC=45°+45°=90°，∵AE=JE，∴∠EAJ=∠EJA=45°，在Rt△AEJ中，根據(jù)勾股定理AJ=，∵∠CAE=∠MCE，∴∠JAC+45°=∠JCA+45°，∴∠JAC=∠JCA，∴AJ=JC=，∵∠HCM=∠CEM=45°，∠HMC=∠CME，∴△CHM∽△ECM，∴∠MHC=∠MCE，∵∠EHA=∠MHC=∠MCE=∠EAH∴AE=HE，在△AEM和△HEC中，，∴△AEM≌△HEC（AAS），∴EM=EC，∴∠EMC=∠ECM，∵∠AME+∠EMC=∠ECM+∠MCF=90°，∴∠AME=∠MCF，在△AME和△MCF中，∴△AME≌△MCF（AAS），∴AE=MF，∴CE=EJ+JC=MF+AE；（3）分兩種情況，當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，與BE在△ABC外部時(shí)，當(dāng)當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，作∠ABC的平分線交AC于O，將△AEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFC′，過點(diǎn)O作OP⊥BC于P，則點(diǎn)E在BO上，有∠ABE=∠ABC，∵△AEC≌△AFC′，∴∠CAE=∠C′AF，∵∠BAC′=∠BAC+∠OAC′=∠BAC+∠FAC′+∠OAF=∠BAC+∠EAC+∠OAF=∠BAC+∠EAF=180°，∴B、A、C′三點(diǎn)共線，∴BF+CE=BF+C′F≥BC′，當(dāng)點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，此時(shí)點(diǎn)E在AC上與點(diǎn)O重合，∵BO為∠ABC的平分線，OA⊥AB，OP⊥BC，∴OP=AO=AF，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，∴∠PEC=180°-∠EPC-∠C=45°，∴PC=EP=AF，∴EC=，∴AC=AE+EC=AF+=(1+)AF，∴BF=AB+AF=AC+AF=(1+)AF+AF=(2+)AF，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，∴；當(dāng)BE在△ABC外部時(shí)，∠EBA=，將△EAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAC′，則△EAC≌△FAC′，∴AC′=AC，EC=FC′，∠EAC=∠FAC′，∵∠FEB+∠EAC=360°-∠EAF-∠BAC=360°-90°-90°=180°，∴∠FAB+∠FAC′=∠FAB+∠EAC=180°，∴B、A、C′三點(diǎn)共線，∴BF+CE=BF+FC′≥BC′，∴點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，∵∠EBA=，∠EFA=45°，∴∠EFA=∠EBA+∠BEF=45°，∴∠BEF=45°-∠EBA=45°-22.5°=22.5°，∴EF=BF，在Rt△EAF中,，∴BF=，∴AB=BF+AF=+AF=，∴CE=AE+AC=AF+AB=，在Rt△EAB中，根據(jù)勾股定理，∴．綜合．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，同弧所對圓周角性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，最短路徑問題，角平分線性質(zhì)，分類討論思想，本題難度大，應(yīng)用知識多，是中考壓軸題，利用輔助線作出正確圖形是解題關(guān)鍵．2、（1）2b；（2）4；；（3）①．②y=x+或．【分析】（1）令y=0，解方程即可；（2）設(shè)w=，根據(jù)OD=2b，BD=4-2b，構(gòu)造二次函數(shù)求解即可；（3）①點(diǎn)N在以P為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、N、A同側(cè)且共線時(shí)，AN最小，用勾股定理計(jì)算即可．②分點(diǎn)M在對稱軸的左側(cè)和右側(cè)，兩種情形求解．（1）令y=0，得，解得x=0或x=2b，∵b＞0，∴x=0舍去，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2b．（2）設(shè)w=，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2b，A（4，m），∴OD=2b，BD=4-2b，∴w==2b(4-2b)=，∵-4＜0，∴當(dāng)b=1時(shí)，w有最大值，最大值為4，此時(shí)拋物線的解析式為．（3）①∵點(diǎn)A（4，m）在拋物線上，∴m==4，∴OC=4，∵P為OC的中點(diǎn)，∴OP=PC=2，∵點(diǎn)C關(guān)于PM的對稱點(diǎn)N，∴OP=PC=PN=2，∴點(diǎn)N在以P為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，當(dāng)P、N、A同側(cè)且共線時(shí)，AN最小，∵AC=4，PC=2，∴PA=，∴AN的最小值為PA-PN=．②當(dāng)點(diǎn)N落在拋物線的對稱軸上，且M在對稱軸的左側(cè)，如圖所示，設(shè)對稱軸與AC交于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PG⊥HN，垂足為G，則QG=2，∵PC=PN=2，PG=1，∴NG=，∴HN=2-，點(diǎn)N（1，2+），設(shè)CM=a，則MN=a，MH=1-a，∴，解得a=4-2，∴點(diǎn)M（4-2，4），設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線MN的解析式為y=x+；當(dāng)點(diǎn)N落在拋物線的對稱軸上，且M在對稱軸的右側(cè)，如圖所示，設(shè)對稱軸與AC交于點(diǎn)T，交x軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PK⊥TN，垂足為K，則KT=KR=2，∵PC=PN=2，PK=1，∴KR=，∴NR=2-，點(diǎn)N（1，2-），TN=2+設(shè)CM=b，則MN=b，MT=a-1，∴，解得b=4+2，∴點(diǎn)M（4+2，4），設(shè)直線MN的解析式為y=mx+q，∴，解得，∴直線MN的解析式為y=x+；綜上所述，直線MN的解析式為y=x+或y=x+．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，圓的基本性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用對稱的思想和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3、垂徑定理，圓周角定理，圓周角定理，（1，），2【分析】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理依次分析解答．【詳解】解：如圖2，連接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F．∴、（依據(jù)是垂徑定理）∵，∴（依據(jù)是圓周角定理）．∵，．∴BC是的直徑（依據(jù)是圓周角定理）．∴，∵，∴A的坐標(biāo)為（1，），的半徑為2，故答案為：垂徑定理，圓周角定理，圓周角定理，（1，），2．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的知識，垂徑定理、圓周角定理，熟記各定理知識并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4、（1）；（2）；（3）或【分析】（1）分別計(jì)算出OQ、PO和PQ的長度，比較即可得出答案；（2）先判斷點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在線段OQ垂直平分線的左側(cè)，結(jié)合PO≤2，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，可得點(diǎn)P在如圖所示的線段AB上（不包含點(diǎn)B），過作軸，過作軸，垂足分別為再根據(jù)圖形的性質(zhì)求解從而可得答案；（3）由（2）得：點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，而PO＜PQ，點(diǎn)P在線段OQ垂直平分線的左側(cè)，再分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫出兩種情況下的臨界直線再根據(jù)臨界直線經(jīng)過的特殊點(diǎn)求解的值，再確定范圍即可.【詳解】解：（1）O（0，0），Q（1，0），P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）不滿足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，所以不是線段OQ的“潛力點(diǎn)”，同理：所以不滿足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，所以不是線段OQ的“潛力點(diǎn)”，同理：所以滿足：OQ＜PO＜PQ且PO≤2，所以是線段OQ的“潛力點(diǎn)”，故答案為：P3（2）∵點(diǎn)P為線段OQ的“潛力點(diǎn)”，∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，∵OQ＜PO，∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓外∵PO＜PQ，∴點(diǎn)P在線段OQ垂直平分線的左側(cè)，而的垂直平分線為：∵PO≤2，∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)又∵點(diǎn)P在直線y＝x上，∴點(diǎn)P在如圖所示的線段AB上（不包含點(diǎn)B）過作軸，過作軸，垂足分別為由題意可知△BOC和△AOD是等腰三角形，∴∴-≤xp＜-（3）由（2）得：點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，而PO＜PQ，點(diǎn)P在線段OQ垂直平分線的左側(cè)當(dāng)時(shí)，過時(shí)，即函數(shù)解析式為：此時(shí)則當(dāng)與半徑為2的圓相切于時(shí)，則由而當(dāng)時(shí)，如圖，同理可得：點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，而PO＜PQ，點(diǎn)P在線段OQ垂直平分線的左側(cè)，同理：當(dāng)過則直線為在直線上，此時(shí)當(dāng)過時(shí)，則所以此時(shí)：綜上：的范圍為：1＜b≤或＜b＜-1【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的知識運(yùn)用，圓的基本性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵.5、（1）（2）炯炯和露露選擇同一個(gè)社團(tuán)的概率為【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中炯炯和露露選同一個(gè)社團(tuán)的有4種結(jié)果，再由概率公式求解即可．（1）∵共有A．快樂足球，B．?dāng)?shù)學(xué)歷史，C．文學(xué)欣賞，D．棋藝鑒賞四個(gè)社團(tuán)，數(shù)學(xué)歷史是其中一個(gè)社團(tuán)，∴炯炯選擇數(shù)學(xué)歷史的概率為，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中炯炯和露露選同一個(gè)社團(tuán)的有4種結(jié)果，