重難專攻（一）函數(shù)中的構造問題高中總復習·數(shù)學

函數(shù)中的構造問題是高考考查的一個熱點內容，多以客觀題的形式出現(xiàn)，通過構造一種新的函數(shù)關系，使問題在新函數(shù)下轉化并利用函數(shù)的有關性質（單調性、極值、最值等），來解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.重點解讀目錄CONTENTS提能點1導數(shù)型構造函數(shù)01.提能點2利用變量構造具體函數(shù)02.提能點3通過數(shù)值構造具體函數(shù)03.課時跟蹤檢測04.PART01提能點1導數(shù)型構造函數(shù)角度1

利用f（x）與xn構造函數(shù)

（1）（2025·煙臺一模）設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x＜0

時，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，則不等式xf（x）＞0的解集

為（

D

）A.

（－4，0）∪（0，4）B.

（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.

（－4，0）∪（4，＋∞）D.

（－∞，－4）∪（0，4）D解析：構造F（x）＝xf（x），則F'（x）＝f（x）＋xf'（x），當x＜0時，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出

當x＜0時，F(xiàn)'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上單調

遞減.∵f（x）為偶函數(shù)，y＝x為奇函數(shù)，∴F（x）為奇函數(shù)，∴F（x）在（0，＋∞）上也單調遞減.根據(jù)f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根據(jù)函數(shù)的單調性、奇偶性可得函數(shù)F（x）的大致圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知xf（x）＞0的解集為（－∞，－4）∪（0，4）.

A.

f（2）＞f（3）B.2f（1）＞f（3）C.

f（5）＞2f（2）D.3f（5）＞f（1）B

規(guī)律方法利用f（x）與xn構造函數(shù)（1）出現(xiàn)nf（x）＋xf'（x）形式，構造函數(shù)F（x）＝xnf（x）；

角度2

利用f（x）與ex構造函數(shù)

（2025·長春模擬）已知f（x）是定義在（－∞，＋∞）上的函

數(shù)，導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（

）A.

f（2）＞e2f（0），f（2

024）＞e2

024f（0）B.

f（2）＜e2f（0），f（2

024）＞e2

024f（0）C.

f（2）＞e2f（0），f（2

024）＜e2

024f（0）D.

f（2）＜e2f（0），f（2

024）＜e2

024f（0）√

規(guī)律方法利用f（x）與ex構造函數(shù)（1）出現(xiàn)f'（x）＋nf（x）形式，構造函數(shù)F（x）＝enxf（x）；

角度3

利用f（x）與sin

x，cos

x構造函數(shù)

A.

（0，

）B.（0，

）C.

（0，

）D.（0，

）√

規(guī)律方法利用f（x）與sin

x，cos

x構造函數(shù)的常見類型（1）F（x）＝f（x）sin

x，F(xiàn)'（x）＝f'（x）sin

x＋f（x）·cos

x；

（3）F（x）＝f（x）cos

x，F(xiàn)'（x）＝f'（x）cos

x－f（x）sin

x；

練1（1）（2025·南昌模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）

＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，則f（x）＞3e3－x的解集為（

D

）A.

（－∞，－3）B.（－3，0）C.

（0，3）D.（3，＋∞）解析：設F（x）＝f（x）·ex，則F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）是增函數(shù).又f（3）＝3，則F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等價于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集為（3，＋∞）.D（2）設f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，f（－3）＝0.當x＞0時，xf'（x）

＋2f（x）＞0，其中f'（x）為f（x）的導函數(shù)，則使得f（x）＞0成立

的x的取值范圍是（

B

）A.

（－∞，－3）∪（0，3）B.

（－3，0）∪（3，＋∞）C.

（－3，0）∪（0，3）D.

（－∞，－3）∪（3，＋∞）B解析：令g（x）＝x2f（x），x∈R，當x＞0時，g'（x）＝x2f'（x）＋2xf（x）＝x[xf'（x）＋2f（x）]＞0，即g（x）在（0，＋∞）上單調遞增，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，即f（－x）＝－f（x），于是得g（－x）＝（－x）2f（－x）＝－g（x），則g（x）是奇函數(shù)，g（x）在（－∞，0）上單調遞增，又f（－3）＝0，則g（3）＝－g（－3）＝－[（－3）2f（－3）]＝0，當x＞0時，f（x）＞0?g（x）＞0＝g（3），得x＞3，當x＜0時，f（x）＞0?g（x）＞0＝g（－3），得－3＜x＜0.綜上，得－3＜x＜0或x＞3，∴使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（－3，0）∪（3，＋∞）.故選B.

A.

f（

）＞f（

）B.

f（

）＞2cos

1·f（1）C.

2f（

）＜

f（

）D.

f（

）＜f（

）D

PART02提能點2利用變量構造具體函數(shù)A.

ey－x＞1B.ey－x＜1C.

ey－x－1＞1D.ey－x－1＜1

A（2）已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，則

（

D

）A.

c＜b＜aB.

b＜c＜aC.

a＜c＜bD.

a＜b＜cD

規(guī)律方法

若題目所給的條件含有兩個變量，可通過變形使兩個變量分別置于等

號或不等號兩邊，即可構造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性求解.

A.

α＞βB.α2＞β2C.

α＜βD.α＋β＞0

B

3

PART03提能點3通過數(shù)值構造具體函數(shù)

A.

c＜b＜aB.

b＜c＜aC.

c＜a＜bD.

a＜c＜bD

A.

c＜a＜bB.

c＜b＜aC.

a＜b＜cD.

a＜c＜bA

規(guī)律方法

當要比較的各數(shù)為某些函數(shù)的函數(shù)值時，要仔細觀察這些數(shù)值的共同

之處，構造一個或兩個函數(shù)，使要比較的數(shù)成為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利

用函數(shù)的單調性比較大小.練3（1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則（

A

）A.

a＞0＞bB.

a＞b＞0C.

b＞a＞0D.

b＞0＞a解析：由10＝9m＞9，得m＞1.設f（x）＝xm－x－1，x＞1，則當m＞1時，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上單調遞增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.A（2）實數(shù)e3，3π，π3的大小關系為

?.

e3＜π3＜3π

PART04課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

（2025·濰坊一模）設f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為f'

（x），滿足f（x）－xf'（x）＜0，若a＝2f（2），b＝f（4），則

（

）A.

a＜bB.

a＞bC.

a＝bD.

a，b的大小無法判斷

123456789101112√2.

（2024·周口模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），

對任意x∈R滿足f（x）＋f'（x）＜0，則下列結論一定正確的是（

）A.e2f（2）＞e3f（3）B.e2f（2）＜e3f（3）C.e3f（2）＞e2f（3）D.e3f（2）＜e2f（3）解析：

構造函數(shù)g（x）＝exf（x），則g'（x）＝ex[f'（x）＋f（x）]，因為f（x）＋f'（x）＜0，故g'（x）＜0，因此可得g（x）在R上是減函數(shù)，由于2＜3，故g（2）＞g（3）?e2f（2）＞e3f（3），故選A.

√123456789101112

A.

b＜c＜aB.

c＜a＜bC.

c＜b＜aD.

b＜a＜c

√1234567891011124.

設函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x≠0）的導函數(shù)，f（－1）＝－1.當

x＞0時，f'（x）＞1，則使得f（x）＞x成立的x的取值范圍是（

）A.

（－∞，－1）∪（0，1）B.

（－1，0）∪（1，＋∞）C.

（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.

（－1，0）∪（0，1）√123456789101112解析：

由f'（x）＞1（x＞0），可得f'（x）－1＞0，令g（x）＝f

（x）－x，則g'（x）＝f'（x）－1＞0，故g（x）在（0，＋∞）上單調

遞增.因為f（－1）＝－1，所以g（－1）＝f（－1）＋1＝0，又因為f

（x）為奇函數(shù)，所以g（x）＝f（x）－x為奇函數(shù)，所以g（1）＝0，

且在區(qū)間（－∞，0）上g（x）單調遞增.所以使得f（x）＞x，即g

（x）＞0成立的x的取值范圍是（－1，0）∪（1，＋∞）.故選B.

123456789101112

A.sin

α＞sin

βB.cos

α＞cos

βC.cos

α＞sin

βD.sin

α＞cos

β√

1234567891011126.

（2025·黃山第一次質檢）已知實數(shù)a，b，c∈（0，1），且a＝2

022ea－2

022，b＝2

023eb－2

023，c＝2

024ec－2

024，則（

）A.

a＜b＜cB.

c＜a＜bC.

b＜c＜aD.

c＜b＜a√123456789101112

123456789101112二、多項選擇題7.

（2025·杭州一模）定義在（0，＋∞）上的函數(shù)f（x），且（x3＋

x2）f'（x）＜（3x2＋2x）f（x）恒成立，則必有（

）A.

f（3）＞18f（1）B.

f（2）＜6f（1）C.

3f（1）＞16f（

）D.

f（3）＜3f（2）√√

123456789101112

1234567891011128.

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f'（x），g'

（x）為其導函數(shù)，當x＜0時，f'（x）·g（x）＋f（x）·g'（x）＜0

且g（－3）＝0，則使得不等式f（x）·g（x）＜0成立的x的取值范圍

是（

）A.

（－∞，－3）B.（－3，0）C.

（0，3）D.（3，＋∞）√√123456789101112解析：

∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇

函數(shù)和偶函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x），g（－x）

＝g（x），令h（x）＝f（x）·g（x），則h（－

x）＝－h(huán)（x），故h（x）＝f（x）·g（x）為R上

的奇函數(shù)，∵當x＜0時，h'（x）＝f'（x）·g（x）＋f（x）·g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）·g（x）在區(qū)間（－∞，0）