隱圓問題有這樣一類有關(guān)圓的題目，條件中沒有直接給出有關(guān)圓的信息，而是以隱性的形式出現(xiàn)，處理這類題目的關(guān)鍵在于能否把“隱形圓”找出來，一方面可以利用圓的幾何性質(zhì)，從“形”的角度找出來，例如：定義法、定角（動點P對兩定點A，B的張角是直角）、定理（四點共圓定理）等；另一方面，可以從“數(shù)”的角度找出來，例如：圓的普通方程、定值法（已知兩定點A，B，動點P滿足PA·PB是定值、PAPB是定值）等一、利用圓的定義（方程）確定隱圓（1）已知平面內(nèi)一個動點A和兩個定點B，C滿足｜BC｜＝5，△ABC的邊AB上的中線長為3，則動點A的軌跡方程為（x－10）2＋y2＝36（y≠0）；（2）已知A，B是圓O：x2＋y2＝1上的動點，｜AB｜＝3，P是圓C：（x－2）2＋（y－1）2＝94上的動點，則｜PA＋PB｜的取值范圍是[25－4，25＋4]解析：（1）以B為原點，如圖建立坐標系.設(shè)A（x，y），則AB的中點為D（x2，y2）.又C（5，0），｜CD｜＝3，代入得（x2－5）2＋（y2）2＝9，即（x－10）2＋y2＝36.由A，B，C三點不共線，可知y≠0.故動點A的軌跡方程是（x－10）2＋y2＝36（y（2）取AB的中點D.因為｜AB｜＝3，所以｜OD｜＝｜OA｜2?|AD｜2＝12，從而點D的軌跡方程為x2＋y2＝14，所以點D的軌跡是以原點O為圓心，12為半徑的圓.因為C（2，1），所以｜OC｜＝5.如圖，又圓C的半徑為32，所以5－2≤｜PD｜≤5＋2，而P＋PB＝2PD，所以｜PA＋PB｜＝2｜PD｜，從而25－4規(guī)律方法對于動點的軌跡問題，一是利用曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義識別動點的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過方程識別軌跡.二、由圓周角的性質(zhì)（垂直關(guān)系）確定隱圓（1）在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點P，則當(dāng)實數(shù)k變化時，點P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為（C）A.2 B.22C.32 D.42解析：（1）直線l1，l2分別經(jīng)過定點A（0，2），B（2，0），且l1⊥l2，所以點P在以AB為直徑的圓C上.圓C的圓心為C（1，1），半徑r＝2.因為圓心C到直線l：x－y－4＝0的距離為d＝｜1－1－4｜2＝22，所以點P到直線l的距離的最大值為（2）已知點P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圓C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在點M，使得∠PMQ＝90°，則實數(shù)t的取值范圍是（A）A.[4，6] B.（4，6）C.（0，4）∪[6，＋∞） D.（0，4）∪（6，＋∞）解析：（2）由題意知，點P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），可得以PQ為直徑的圓的方程為（x－2）2＋y2＝t2，則圓心C1（2，0），半徑R＝t.又由圓C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1，可得圓心C（－2，3），半徑r＝1，兩圓的圓心距為｜CC1｜＝（2+2）2＋（0－3）2＝5，要使得圓C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在點M，使得∠PMQ＝90°，即兩圓存在公共點，則滿足R＋r≥5，R－r≤5，即t規(guī)律方法利用圓的性質(zhì)，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓.注意軌跡中要刪除不滿足條件的點.三、由向量關(guān)系確定隱圓（1）在平面直角坐標系xOy中，A（－12，0），B（0，6），點P在圓O：x2＋y2＝50上，若PA·PB≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是[－52，1]；解析：（1）設(shè)P（x，y），由PA·PB≤20，易得2x－y＋5≤0，由2x－y+5=0，x2＋y2=50可得x＝－5，y＝－5或x=1，y=7.由2x－y＋5≤0得P點在直線2x－y＋5＝（2）已知點A（2，3），點B（6，－3），點P在直線3x－4y＋3＝0上，若滿足等式AP·BP＋2λ＝0的點P有兩個，則實數(shù)λ的取值范圍是（－∞，2）.解析：（2）設(shè)P（x，y），則AP＝（x－2，y－3），BP＝（x－6，y＋3），由AP·BP＋2λ＝0，可得（x－4）2＋y2＝13－2λ（λ＜132），即點P的軌跡是以（4，0）為圓心，13－2λ為半徑的圓，又點P在直線3x－4y＋3＝0上，所以圓（x－4）2＋y2＝13－2λ與直線3x－4y＋3＝0相交，故圓心到直線的距離d＝｜3×4－4×0+3規(guī)律方法兩點A，B，動點P滿足PA·PB＝λ，確定隱圓.特別地，若A，B為定點，且MA·MB＝0，則點M的軌跡是以AB為直徑的圓.四、由平方關(guān)系確定隱圓在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，點A（0，2），若圓C上存在點M，滿足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，則實數(shù)a的取值范圍是[0，3].解析：設(shè)M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，可得x2＋（y－1）2＝4，∴點M在圓x2＋（y－1）2＝4上，故圓x2＋（y－1）2＝4和圓（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1相交或相切，∴1≤a2＋（a－3）2≤變式在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x＋1）2＋y2＝2，點A（2，0），若圓C上存在點M，滿足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，則點M的縱坐標的取值范圍是［－72，72］解析：設(shè)M（x，y），因為｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，所以（x－2）2＋y2＋x2＋y2≤10，化簡得x2＋y2－2x－3≤0，則圓C：x2＋y2＋2x－1＝0與圓C'：x2＋y2－2x－3＝0有公共點，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為x＝－12，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－72≤y≤72，所以點M的縱坐標的取值范圍是［－72規(guī)律方法兩定點A，B，動點P滿足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ，確定隱圓.五、由兩定點A，B，動點P滿足｜PA｜｜PB｜＝λ（λ＞0，λ≠1（1）已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為12，則點M的軌跡方程為（A）A.（x＋1）2＋y2＝4 B.x2＋（y＋1）2＝4C.（x＋1）2＋y2＝2 D.x2＋（y＋1）2＝2（2）已知點P是圓（x－4）2＋（y－4）2＝8上的動點，A（6，－1），O為坐標原點，則｜PO｜＋2｜PA｜的最小值為10.解析：（1）如圖所示，設(shè)動點M（x，y），連接MO，MA，有｜MA｜＝2｜MO｜，即（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化簡得x2＋y2＋2x－3＝0，即（2）假設(shè)A'（m，n），使得｜PO｜＝2｜PA'｜，設(shè)P（x，y），則x2＋y2＝2（x－m）2＋（y－n）2，從而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，從而可知圓心坐標為（4m3，4n3），由題意得圓3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0與圓（x－4）2＋（y－4）2＝8是同一個圓，所以4m3＝4，4n3＝4，解得m＝n＝3，即A'（3，3）.所以｜PO｜＋2｜PA｜＝2（｜規(guī)律方法1.到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓，如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足｜PA｜＝λ｜PB｜.則當(dāng)λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當(dāng)λ＞0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.2.阿波羅尼斯圓的逆用：當(dāng)題目給了一個圓的方程和一個定點，我們可以假設(shè)另一個定點，構(gòu)造相同的阿氏圓，利用兩圓是同一個圓，便可以求出定點的坐標.1.已知點A（－1，0），B（1，0），若圓（x－a＋1）2＋（y－a－2）2＝1上存在點M滿足MA·MB＝3，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[－2，0） B.[－2，1]C.（0，1] D.（1，3]解析：B設(shè)M（x，y），因為MA·MB＝3，所以點M的軌跡方程為（－1－x，－y）·（1－x，－y）＝3，即x2＋y2＝4，表示圓.又因為點M在圓（x－a＋1）2＋（y－a－2）2＝1上，所以兩圓有交點，所以2－1≤（0－a+1）2＋（0－a－2）22.（2025·秦皇島一模）已知點A（－m，0），B（m，0），若圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在點P，使得PA⊥PB，則實數(shù)m的最大值是（）A.4 B.5C.6 D.7解析：C圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0即為：（x－3）2＋（y－4）2＝1，其圓心為C（3，4），半徑為1，設(shè)AB的中點為M，因為點A（－m，0），B（m，0），所以M（0，0），以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝m2，｜CM｜＝32＋42＝5，若圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在點P，使得PA⊥PB，則圓C與圓M有公共點，即｜｜m｜－1｜≤5≤｜m｜＋1，解得4≤｜m｜≤6，所以實數(shù)m的最大值是63.（2025·濟寧一模）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB＝60°，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.［1－22，2＋22］ B.［1＋22，2C.［2－22，1＋22］ D.［2－22，2解析：D由題意得圓心M（a，a－4）在直線x－y－4＝0上運動，所以動圓M是圓心在直線x－y－4＝0上，半徑為1的圓；又因為圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使∠APB＝60°，所以O(shè)P＝2，即點P也在圓x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）24.（2025·杭州一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使｜MA｜＝2｜MO｜，則圓心C的橫坐標的取值范圍是（）A.[0，1] B.［0，32C.［0，85］ D.［0，12解析：D點C在直線l：y＝2x－4上，故設(shè)C的坐標為（a，2a－4）.因為半徑r1＝1，所以圓C的方程是（x－a）2＋[y－（2a－4）]2＝1.設(shè)點M（x，y），則由｜MA｜＝2｜MO｜可得點M的軌跡是阿波羅尼斯圓D，即x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化簡整理得x2＋（y＋1）2＝4.所以點M（x，y）在以D（0，－1）為圓心，r2＝2為半徑的圓上.又點M（x，y）在圓C上，所以兩圓有公共點的條件是｜r1－r2｜≤｜DC｜≤｜r1＋r2｜，即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a5.（2025·綿陽模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（－t，0）（t＞0），B（t，0），點C滿足AC·BC＝8，且點C到直線l：3x－4y＋24＝0的最小距離為95，則實數(shù)t的值是1解析：因為點A（－t，0）（t＞0），B（t，0），點C滿足AC·BC＝8，設(shè)C（x0，y0），則AC＝（x0＋t，y0），BC＝（x0－t，y0），AC·BC＝8?x02＋y02＝8＋點C是以原點O（0，0）為圓心，半徑r＝8+t2的圓，而O（0，0）到直線l：3x－4y＋24＝0的距離d＝245＞95，因為點C到直線l：3x－4y＋24＝0的最小距離為95，所以245－r＝95?r＝8+t2＝3（t6.（2025·贛州模擬）已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ（λ＞0，λ≠1），那么點M的軌跡就是阿