微突破數(shù)列中的構(gòu)造問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)

求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法除了我們前面學(xué)習(xí)過的公式法、累加法、累乘

法，還有構(gòu)造法，其總的思想是根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為

特殊的數(shù)列（等差、等比數(shù)列或可利用累加、累乘求解的數(shù)列）求解.一、an＋1＝pan＋f（n）型角度1

形如an＋1＝can＋d（c≠0，1，d≠0）

（1）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，n∈N*，則an＝

?

?；

3n－2

9

規(guī)律方法

角度2

形如an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）

（1）已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，n∈N*，a1＝2，則an

＝

?；

2n＋1－n－1

＋4n－6

規(guī)律方法

對于an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）形式的數(shù)列，引入?yún)?shù)

x，y，構(gòu)造新數(shù)列{an＋xn＋y}.角度3

形如an＋1＝can＋dn＋1（c≠0，1，d≠0，1）

（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，則數(shù)

列{an}的通項(xiàng)公式為（

C

）A.

an＝（2n＋1）·3nB.

an＝（n－1）·2nC.

an＝（2n－1）·3nD.

an＝（n＋1）·2n

C

規(guī)律方法

A.

B.

D

C.

－

D.

規(guī)律方法

規(guī)律方法

四、an＋1＝Aan＋Ban－1型

（1）（2025·威海調(diào)研）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，an＋2

＝an＋1＋2an.某同學(xué)已經(jīng)證明了數(shù)列{an＋1－2an}和數(shù)列{an＋1＋an}都是

等比數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝

?；

（2）已知數(shù)列{an}滿足3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，且a1＝3a2＝1，則

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝

?.

規(guī)律方法

對于an＋1＝Aan＋Ban－1形式的數(shù)列，可通過構(gòu)造等比數(shù)列求解，大部

分題型可轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝（A－1）（an－an－1），利用{an＋1－an}成等

比數(shù)列，以及疊加法求出an.還有一小部分題型可轉(zhuǎn)化為an＋1＋an＝（A

＋1）（an＋an－1），利用{an＋1＋an}成等比數(shù)列求出an.

1.

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1（n∈N*），則

通項(xiàng)公式an＝（

）A.

2nB.2n－1C.

2n＋1D.2n解析：

因?yàn)镾n＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1，因此Sn＋1＋1＝2（Sn

＋1）.因?yàn)閍1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等

比數(shù)列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，

a1＝1也滿足此式，所以an＝2n－1（n∈N*）.√

A.

B.

C.

D.

√

A.12B.11C.10D.9√

A.

B.

C.

D.

√

5.

若x＝1是函數(shù)f（x）＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1（n∈N*）的極值點(diǎn)，