二項(xiàng)分布與超幾何分布中的最值問題——極大似然估計(jì)人A選三P81探究與發(fā)現(xiàn)研究了二項(xiàng)分布的有關(guān)性質(zhì)，你明白研究此類問題的方法嗎？實(shí)際上，這類通過若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用試驗(yàn)結(jié)果得到某個(gè)參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大，則稱為極大似然估計(jì).極大似然估計(jì)是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，是概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用.極大似然估計(jì)提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評(píng)估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”.一、二項(xiàng)分布中的最值問題1.當(dāng)p給定時(shí)，可得到函數(shù)f（k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n，這個(gè)是數(shù)列的最值問題：pkpk－1＝Ckn當(dāng)k＜（n＋1）p時(shí)，pk＞pk－1，pk隨k值的增大而增大；當(dāng)k＞（n＋1）p時(shí)，pk＜pk－1，pk隨k值的增大而減小.如果（n＋1）p為正整數(shù)，當(dāng)k＝（n＋1）p時(shí)，pk＝pk－1，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值.如果（n＋1）p為非整數(shù)，而k?。╪＋1）p的整數(shù)部分，則pk是唯一的最大值.提醒在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量k等于期望時(shí)，概率最大.2.當(dāng)k給定時(shí)，可得到函數(shù)f（p）＝Cnkpk（1－p）n－k，p∈（0，1），這個(gè)是函數(shù)的最值問題，可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn)：f'（p）＝Cnk[kpk－1（1－p）n－k－pk（n－k）·（1－p）n－k－1]＝Cnkpk－1（1－p）n－k－1[k（1－p）－（n－k）p]＝Cnkpk－1（1－p）n－當(dāng)k＝1，2，…，n－1時(shí)，由于當(dāng)p＜kn時(shí)，f'（p）＞0，f（p）單調(diào)遞增，當(dāng)p＞kn時(shí)，f'（p）＜0，f（p）單調(diào)遞減，故當(dāng)p＝kn時(shí)，f（p）取得最大值，f（p）max＝f（kn）.又當(dāng)p→0，f（p）→0，當(dāng)p→1時(shí)，f（p）→0，從而f（角度1“p定型”二項(xiàng)分布的最值目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺(tái)引入虛擬主播A，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看.（1）已知小李第1天觀看了虛擬主播A的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播A的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播A的直播的概率為13，若前一天沒有觀看虛擬主播A的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播A的直播的概率為35，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播A（2）若未來10天內(nèi)虛擬主播A的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為23，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數(shù)為X.問k為何值時(shí)，P（X＝k）最大解：（1）由已知小李第2天和第3天都沒有觀看虛擬主播A直播的概率為（1－13）×（1－35）＝23×2所以小李第2天和第3天至少有一天觀看虛擬主播A直播的概率為1－415＝11（2）由已知X服從二項(xiàng)分布B（10，23），所以P（X＝k）＝C由P（X＝k+1）P（X當(dāng)k≤6時(shí)，2（10－k）k+1＞1，所以P（X＝k+1）P（X＝k當(dāng)k≥7時(shí)，2（10－k）k+1＜1，所以P（X＝k+1）P（X＝k綜上，當(dāng)k＝7時(shí)，P（X＝k）最大.規(guī)律方法本題解題的關(guān)鍵是理解X服從二項(xiàng)分布B（10，23），結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，利用P（X＝k+1）P（X＝k）＝2（10－k）k角度2“k定型”二項(xiàng)分布的最值（2024·吉安期中）本屆杭州亞運(yùn)會(huì)是首屆采用云上轉(zhuǎn)播的亞運(yùn)會(huì)，預(yù)計(jì)在云上傳輸最大60路高清和超高清信號(hào)，某企業(yè)負(fù)責(zé)生產(chǎn)所需的某種高清轉(zhuǎn)播設(shè)備，設(shè)生產(chǎn)該款設(shè)備的次品率為p（0＜p＜1），且各套設(shè)備的生產(chǎn)互不影響.（1）生產(chǎn)該款設(shè)備需要兩道工序，且互不影響，假設(shè)每道工序的次品率依次為p1＝110，p2＝1①求p；②現(xiàn)對(duì)該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)智能檢測(cè)，自動(dòng)智能檢測(cè)為次品（注：合格品不會(huì)被誤檢成次品）的設(shè)備會(huì)被自動(dòng)淘汰，若自動(dòng)智能檢測(cè)為合格，則再進(jìn)行人工抽檢，已知自動(dòng)智能檢測(cè)顯示該款設(shè)備的合格率為96%，求人工抽檢時(shí)，抽檢的一套設(shè)備是合格品的概率.（2）視p為概率，記從該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備中隨機(jī)抽取n套，其中恰含m（n＞m）個(gè)次品的概率為f（p），求證：f（p）在p＝mn時(shí)取得最大值解：（1）①因?yàn)閮傻郎a(chǎn)工序互不影響，所以p＝1－（1－p1）（1－p2）＝29200②記該款設(shè)備自動(dòng)智能檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，且P（A）＝96%，P（AB）＝1－p＝171200則人工抽檢時(shí)，抽檢的一套設(shè)備恰是合格品的概率為P（B｜A）＝P（AB）（2）證明：因?yàn)楦魈自O(shè)備的生產(chǎn)互不影響，所以f（p）＝Cnmpm（1－p）n－m（0＜p＜則f'（p）＝Cnm[mpm－1（1－p）n－m－（n－m）·pm（1－p）n－m－1]＝Cnmpm－1（1－p）n－m－1（令f'（p）＝0，得p＝mn當(dāng)0＜p＜mn時(shí)，f'（p）＞0，f（p）單調(diào)遞增當(dāng)mn＜p＜1時(shí)，f'（p）＜0，f（p）單調(diào)遞減所以，當(dāng)p＝mn時(shí)，f（p）取得最大值規(guī)律方法本題解題的關(guān)鍵是在尋求f（p）＝Cnmpm·（1－p）n－m（0＜p＜1）的最大值時(shí)，把f（p）理解為p的函數(shù)，二、超幾何分布中的最值問題將從a件次品，b件正品中取出n件產(chǎn)品的可能組合的全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為Ca＋bn.其中，次品出現(xiàn)k次的可能為CakCbn－k.令N＝a＋b，則所求概率為hk（N）＝CakCN－an－kCNn，即?k（N）?k（N－1）＝CakCN－an－kCNnCakCN－1－an－kCN－1n＝N2－aN－（1）一個(gè)袋中有形狀、大小完全相同的100個(gè)小球，其中n（2≤n≤92）個(gè)紅球，其余為白球.從中一次性任取10個(gè)小球，將“恰好含有2個(gè)紅球”的概率記為f（n），則f（n）取得最大值時(shí)n＝（B）A.10 B.20C.30 D.40（2）（2024·浙江Z20聯(lián)考節(jié)選）2023年中央一號(hào)文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng)直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷.并在購(gòu)買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問卷.已知有N（N＞30）名熱心參與問卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這N名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送，若直播時(shí)這N名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計(jì)數(shù)），則使P（X＝30）取得最大值時(shí)的整數(shù)N的值為（B）A.38或39 B.39或40C.40或41 D.41或42解析：（1）f（n）＝Cn2C100－n8C10010，f（n）取得最大值，也即是Cn2C100－n（2）由于P（X＝30）＝CN20CN－2010C2010CN20CN20＝CN－2010C2010CN20，記f（N）＝CN－2010CN20，即求f（N）在何時(shí)取到最大值，下面討論f（N）的單調(diào)性：f（N+1）f（N）＝CN規(guī)律方法解決超幾何分布中概率f（n）的最值問題，與二項(xiàng)分布中概率的最值問題類似，也有兩種方法，一是把n看做自變量，利用函數(shù)性質(zhì)求最值；二是用方程組f（n1.已知隨機(jī)變量X～B（n，12），當(dāng)且僅當(dāng)k＝4時(shí)，P（X＝k）取得最大值，則n＝（A.7 B.8C.9 D.10解析：B由題得P（X＝k）＝Cnk（12）n，k＝0，1，…，n，由題知在Cn0（12）n，Cn1（12）n，…，Cnn（12）n中，最大值只有Cn4（12）n，即在Cn0，C2.〔多選〕單個(gè)水果的質(zhì)量Y（單位：克）服從正態(tài)分布N（15，σ2），且P（Y＞17）＝p，規(guī)定單個(gè)水果的質(zhì)量與15克的誤差不超過2克即是優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)從這批水果中隨機(jī)抽取n個(gè)，其中優(yōu)質(zhì)品的個(gè)數(shù)為X，下列結(jié)論正確的是（）A.若n＝12，則D（X）的最大值為3B.若n＝11，p＝18，當(dāng)P（X＝k）取最大值時(shí)，k＝C.當(dāng)p＝14，n為偶數(shù)時(shí)，∑k＝0n2P（XD.若p＝16，P（X≥2）≥0.9，則n的最小值為解析：AC由題意可知，優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量位于13克至17克之間，即P（13＜Y＜17）＝1－2p，可知X～B（n，1－2p）.對(duì)于A，X～B（12，1－2p），D（X）＝12（1－2p）2p≤12×［（1－2p）+2p2］2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)p＝14時(shí)，D（X）取得最大值3，故A正確.對(duì)于B，X～B（11，34），即C11k（34）k（14）11－k≥C11k+1（34）k+1（14）10－k，C11k（34）k（14）11－k≥C11k－1（34）k－1（14）12－k，解得8≤k≤9，即k＝8或9，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，X～B（n，12），∑k=0n2P（X＝2k）＝12∑k=0nP（X＝k）＝12，故C正確.對(duì)于D，X～B（n，23），因?yàn)镻（X≥2）≥0.9，所以P（X＝0）＋P（X＝1）≤0.1，所以（13）n＋Cn1×23×（13）3.（2025·蘇州第一次聯(lián)考）一個(gè)袋中裝有黑球、白球和紅球共n（n∈N*）個(gè)，這些球除顏色外完全相同.已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是25.現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球，當(dāng)n＝5時(shí)，摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率最大，且最大概率為710解析：依題意，得袋中黑球的個(gè)數(shù)為25n（n＝5，10，15，20，…）.記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件C，則P（C）＝1－C3n52Cn2＝1625＋625（n－1），4.（2024·惠州模擬）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，3，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若P（X＝k）≤P（X＝k0），則k0＝5.解析：小球在下落的過程中，共10次等可能的向左或向右落下，則小球落入底部的格子號(hào)碼服從二項(xiàng)分布，且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即X～B（10，12），所以P（X＝k）＝C10k（12）k（1－12）10－k＝C10k（12）10，由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知當(dāng)k＝5時(shí)，C10k最大，即P（X＝5.2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí)，M大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽.（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，記小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；（2）M大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī)，對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為p（0＜p＜34），且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為f（p），求f（p）的極大值解：（1）由題意知，X的可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝C40CP（X＝1）＝C41CP（X＝2）＝C42C故X的分布列為X012P182則E（X）＝0×115＋1×815＋2×25記事件A：