微突破幾何法求空間角與距離高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)幾何法求空間角與距離主要是轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形，即把空間角轉(zhuǎn)化為平

面角，空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離，進而轉(zhuǎn)化為求解三角形的邊、角問題.一、幾何法求空間角1.

直線和平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直

線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°，一

條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°；（2）范圍：[0°，90°].2.

二面角的有關(guān)概念（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩

個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面

角的平面角；（3）范圍：[0°，180°].角度1

求線面角

（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，

E分別為AC，BC的中點，則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為

（

D

）A.

B.

C.

D.

D

（2）如圖，已知正四棱錐P-ABCD底面邊長為2，側(cè)棱長為4，M為側(cè)棱

PC的中點，則直線BM與底面ABCD所成角的正弦值為（

D

）DA.

B.

C.

D.

規(guī)律方法

幾何法求空間角主要分為3個步驟：（1）作（找）角；（2）證明這

個角就是要求的角；（3）計算.其中作（找）角是關(guān)鍵，對于異面直線所

成的角，一般是通過平移一條直線直至與另一條直線相交，從而得到所求

角的平面角；對于線面所成的角，一般是在直線上找一點，作平面的垂

線，連接斜足與垂足得到直線在平面上的射影，直線與它在該平面上的射

影所成的角就是所求角的平面角.角度2

求二面角

A.30°B.45°C.60°D.75°C

（2）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱

柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角

C1-AB-C的正切值為（

D

）A.1B.2C.

D.

D

規(guī)律方法

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面

內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂

線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.二、幾何法求距離空間距離（1）點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足

間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該

平面的距離；（2）直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意

一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離；（3）兩個平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的

任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面

間的距離.

（1）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝

2BC＝4，AB⊥BC，則點C到直線PA的距離為（

A

）A.

2

B.

2

C.

D.4A

（2）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，

點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為（

B

）

?

A.1B.

C.

D.

B

規(guī)律方法1.

求點線距一般要作出這個距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面

積法求解.2.

求點面距時，若能夠確定過點與平面垂直的直線，即作出這個距離，可

根據(jù)條件求解，若不易作出點面距，可借助于等體積法求解.

A.3πB.2πC.πD.

√

2.

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，則AD到平面PBC的距離為（

）A.

B.

C.1D.2√

A.

B.1C.2D.3√

4.

〔多選〕如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運

動，則下列說法正確的是（

）A.

直線BD1⊥平面A1C1DB.

三棱錐P-A1C1D的體積為定值C.

異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是

D.

直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為

√√√解析：

A項，如圖，連接B1D1，由正方體可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1?平面A1B1C1D1，則BB1⊥A1C1，因為B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1?平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，連接AD1，易證得A1D⊥BD1，因為A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1?平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正確；B項