極化恒等式及應(yīng)用1.極化恒等式通過人A必修二P22練習(xí)3題我們可以知道，在平面向量中，由（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b，（a－b）2＝a2＋b2－2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）22.幾何解釋（1）平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對(duì)角線長”與“差對(duì)角線長”平方差的14，即a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2]）（如圖（2）三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊邊長的一半的平方差，即AB·AC＝AM2－MB2（M為BC的中點(diǎn)）（如圖2極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.一、利用極化恒等式求值（1）設(shè)向量a，b滿足｜a＋b｜＝10，｜a－b｜＝6，則a·b＝（A）A.1 B.2C.3 D.5（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則EF·FG＋GH·HE＝32.解析：（1）法一（常規(guī)方法）因?yàn)椋黙＋b｜＝10，所以（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝10①，又｜a－b｜＝6，所以（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝6②，①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.法二（極化恒等式法）由極化恒等式可得：a·b＝（a＋b）2?(a－（2）連接EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)O（圖略），則EF·FG＝EO2－OF2＝1－（12）2＝34，GH·HE＝GO2－OH2＝1－（12）2＝34，因此EF·規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立了向量的數(shù)量積與幾何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積問題，從而利用極化恒等式解決.二、利用極化恒等式求最值（范圍）（1）已知正方形ABCD的面積為2，點(diǎn)P在邊AB上，則PD·PC的最大值是（B）A.92 C.32 D.解析：（1）如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，由極化恒等式可得PD·PC＝PE2－EC2＝｜PE｜2－12，所以當(dāng)P與A（B）重合時(shí)，｜PE｜＝52最大，從而（PD·PC）（2）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，PM·PN的取值范圍是［0，14］解析：（2）如圖所示，設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓為圓O，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，MN為圓O的一條直徑，PM·PN＝｜PO｜2－｜OM｜2＝｜PO｜2－14，當(dāng)P為正方形ABCD的某邊的中點(diǎn)時(shí)，｜OP｜min＝12，當(dāng)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)重合時(shí)，｜OP｜max＝22，即12≤｜OP｜≤22，因此，PM·PN＝｜PO｜2－14∈［變式如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球球O的一條弦（球面上任意兩點(diǎn)連成的線段為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，試求PM·PN的取值范圍.解：當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，MN為球O的直徑，連接PO，如圖所示，則PM·PN＝PO2－ON2＝PO2因?yàn)镻為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，故PO∈[1，3]，所以PM·PN∈[0，2].規(guī)律方法利用極化恒等式求數(shù)量積的最值（范圍）時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式.難點(diǎn)在于求中線長的最值（范圍），可通過觀察圖形或用點(diǎn)到直線的距離等求解.△△△1.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF＝2FO，則FD·FE＝（）A.－34 B.－C.－14 D.－解析：B由極化恒等式得FD·FE＝FO2－14DE2＝192.在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則OP·BP的最小值為（）A.－116 B.－18C.116解析：A如圖所示，取OB的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接PD，則OP·BP＝PO·PB＝｜PD｜2－｜OD｜2＝｜PD｜2－14，易知｜PD｜∈[｜DE｜，｜AD｜]＝［34，32］，則OP·BP＝PD2－14∈［－116，123.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，則BE·CE的值是78.解析：設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.由向量的極化恒等式，知AB·AC＝｜AD｜2－｜DB｜2＝9n2－m2＝4，F(xiàn)B·FC＝｜FD｜2－｜DB｜2＝n2－m2＝－1，聯(lián)立解得n2＝58，m2＝138，因此EB·EC＝｜ED｜2－｜DB｜2＝4n2－m2＝78，即BE·CE4.已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝16相交于M，N兩點(diǎn)，若c2＝a2＋b2，P為圓O上的任意一點(diǎn)，則PM·PN的取值范圍為[－6，10].解析：圓心O到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝｜c(diǎn)｜a2＋b2＝1，如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為A，PM·PN＝｜PA｜2－｜AM｜2＝｜PA｜2－15.因?yàn)椋麿P｜－｜OA｜≤｜PA｜≤｜OP｜＋｜OA｜，所以3≤｜PA｜≤5，則PM·PN＝｜PA｜2－15∈[－6，10]，故PM·PN的取值范圍為[5.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，試求PA·（PB＋PC）的最小值.解：取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，取AD的中點(diǎn)E，連接PE.由△ABC是邊