試題試題深圳市南山外國語學校（集團）高級中學2024－2025學年第一學期期中考試高一數(shù)學試卷說明：1、本試卷滿分150分，考試時間為120分鐘；2、本試卷分試題卷、答題卷兩部分．考試結束，只交答題卷．一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.若（且），則（）A. B.C. D.2.命題“”的否定（）A. B.C. D.3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.（）A. B.5 C. D.255.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.6.設，若，則（）A. B. C. D.7.如果函數(shù)對于任意實數(shù)t都有，那么（）Af(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(4)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(4)<f(1)8.函數(shù)的圖象如圖所示，則關于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D若，則10.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A與 B.與C與 D.與11.已知函數(shù)．設命題：“關于的不等式解集為空集”，則命題的必要條件可以是（）A. B.C. D.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.13.已知函數(shù)的單調遞增區(qū)間為______.14.已知a，b為正實數(shù)，則的最小值為________．四、解答題（本大題共5個大題，共77分．解答應寫出相應的文字說明、證明過程和演算步驟）15.已知集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.16.已知是定義在上的奇函數(shù)．（1）求；（2）求函數(shù)在上的值域．17.國慶黃金周期間，旅游潮、探親潮必將形成高交通壓力現(xiàn)象已知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時間相關，時間單位：小時滿足，經(jīng)測算，當時，候車人數(shù)為候車廳滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)為人，當，候車人數(shù)相對于滿廳人數(shù)會減少，減少人數(shù)與成正比，且時間為點時，候車人數(shù)為人，記候車廳候車人數(shù)為．（1）求的表達式，并求當天中午點時，候車廳候車人數(shù)（2）鐵路系統(tǒng)為了體現(xiàn)“人性化”管理，每整點時會給旅客提供的免費面包數(shù)量為，則當為何值時需要提供的免費面包數(shù)量最少.18.已知函數(shù).（1）若，求a的取值范圍；（2）解關于x的不等式.19.函數(shù)定義域為，對，，都有；且當時，．已知．（1）求，；（2）判斷并證明的單調性；（3）解不等式：．深圳市南山外國語學校（集團）高級中學2024－2025學年第一學期期中考試高一數(shù)學試卷說明：1、本試卷滿分150分，考試時間為120分鐘；2、本試卷分試題卷、答題卷兩部分．考試結束，只交答題卷．一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.若（且），則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的定義將指數(shù)化為對數(shù).【詳解】因為（且），所以.故選：A.2.命題“”否定（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】全稱命題的否定為特稱命題，具體的否定方法：改量詞，否結論.【詳解】因為原命題“”，所以其否定為“”，故選：D.3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】化簡不等式，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.詳解】由，得，顯然，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.（）A. B.5 C. D.25【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算性質求解即可【詳解】故選：C5.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復合函數(shù)的定義及給定函數(shù)式列出不等式組，求出其解集即可作答.【詳解】因函數(shù)的定義域為，則在函數(shù)中，必有，解得，所以的定義域為.故選：A6.設，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況討論，結合函數(shù)的解析式解方程，可求得實數(shù)的值.【詳解】若，由，得，即，解得；若，由，得，該方程無解.綜上，.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)方程的求解，考查計算能力，屬于基礎題.7.如果函數(shù)對于任意實數(shù)t都有，那么（）A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(4)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(4)<f(1)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)圖象對稱軸為，再借助對稱性、單調性即可比較判斷作答.【詳解】因函數(shù)對于任意實數(shù)t都有，則其圖象對稱軸為，且在上遞增，于是得，而，所以.故選：A8.函數(shù)的圖象如圖所示，則關于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將不等式轉化成或，結合圖象即可求解.【詳解】由圖象可知當時，可得：或也即：或，當時，可得：或，也即：或，所以可轉化成：解得：或，或解得：，綜上可知：原不等式的解集為：.故選：B二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】舉例說明判斷AC；利用不等式性質推理判斷BD.【詳解】對于AC，取，滿足，而，，AC錯誤；對于B，由，得，而，則，B正確；對于D，由，得，則，D正確.故選：BD10.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】BD【解析】【分析】當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應關系相同，兩函數(shù)是同一個函數(shù)，所以分別求各選項中兩函數(shù)的定義域，若定義域相同，再判斷對應關系是否相同即可.【詳解】對于A：與的定義域都是R,對應關系不同，因此不是同一函數(shù)；對于B：與,定義域都是R，對應關系也相同，是同一函數(shù)；對于C：的定義域為R,與的定義域為，定義域不同，因此不是同一函數(shù)；對于D：與，定義域和對應關系都相同，因此是同一函數(shù).故選：BD.11.已知函數(shù)．設命題：“關于的不等式解集為空集”，則命題的必要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出，令，解得，然后得無解，結合的值域可得結論．【詳解】，設，則化為，，，，由題意此不等式無解，則，∴．結合選項命題的必要條件可以是或，故選：ABC三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)的解析式的形式可求出和的值，再將點代入可求的值，即可求解.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，，又的圖象過點，所以，解得，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)單調遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再根據(jù)復合函數(shù)單調性求出答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域為，其中，故在上單調遞增，在上單調遞減，其中在上單調遞增，由復合函數(shù)單調性可知，的單調遞增區(qū)間為.故答案為：14.已知a，b為正實數(shù)，則的最小值為________．【答案】【解析】分析】先將兩個分母看做兩個整體，然后化簡利用基本不等式求解即可.【詳解】令得所以當且僅當時，即時，等號成立，故答案為：四、解答題（本大題共5個大題，共77分．解答應寫出相應的文字說明、證明過程和演算步驟）15.已知集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）化簡集合，，根據(jù)集合的補集和交集運算可得結果；（2）分類討論集合，根據(jù)交集運算的結果列式可得解.【詳解】（1）時，，∴或；.（2）或，且，∴①時，，解得；②時，，解得，綜上得，實數(shù)m的取值范圍為或.16.已知是定義在上的奇函數(shù)．（1）求；（2）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義及性質，列式計算求出即可得到結果.（2）由（1）的結論，求出函數(shù)的解析式，利用換元法結合二次函數(shù)求出值域..【小問1詳解】由題意得，，解得，即，由得，，∴，經(jīng)檢驗得時，是奇函數(shù),∴.【小問2詳解】由（1）得，，令，由得，，函數(shù)可化為，對稱軸為直線，當時，，當時，，∴函數(shù)值域為.17.國慶黃金周期間，旅游潮、探親潮必將形成高交通壓力現(xiàn)象已知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時間相關，時間單位：小時滿足，經(jīng)測算，當時，候車人數(shù)為候車廳滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)為人，當，候車人數(shù)相對于滿廳人數(shù)會減少，減少人數(shù)與成正比，且時間為點時，候車人數(shù)為人，記候車廳候車人數(shù)為．（1）求的表達式，并求當天中午點時，候車廳候車人數(shù)（2）鐵路系統(tǒng)為了體現(xiàn)“人性化”管理，每整點時會給旅客提供的免費面包數(shù)量為，則當為何值時需要提供的免費面包數(shù)量最少.【答案】（1），人（2）【解析】【分析】（1）由題意，設出函數(shù)，建立方程，解得函數(shù)解析式，則求得函數(shù)值，可得答案；（2）由（1）的函數(shù)解析式，分段整理函數(shù)解析式，求得最值，比較可得答案.【小問1詳解】當時，設，，則，，故當天中午點時，候車廳候車人數(shù)為人.【小問2詳解】當，，當且僅當時等號成立；當時，．又，所以當時，需要提供的面包數(shù)量最少．18.已知函數(shù).（1）若，求a的取值范圍；（2）解關于x的不等式.【答案】（1）的取值范圍是；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由條件可得不等式在上恒成立，根據(jù)拋物線的開口方向和判別式可得所求范圍；（2）原不等式化為，根據(jù)的不同取值結合一元二次不打算的解法解不等式即可．【小問1詳解】可變形為，由已知在上恒成立，下面分兩種情況討論1.當時，不等式可化為，不等式不恒成立，與已知矛盾；2.當時，由已知可得，即，解得綜上兩種情況，的取值范圍是；【小問2詳解】不等式化為，1?當時，解集為；2?當時，解集為；3?當時，解集為；4?當時，解集為；5.當時，解集為.19.函數(shù)的定義域為，對，，都有；且當時，．已知．（1）求，；（2）判斷并證明的單調性；（3）解不等式：．【答案】（1）；（2