第二章平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系是兩種簡單力系，是研究復(fù)雜力系的基礎(chǔ)，本章將分別研究兩種力系的合成與平衡問題。§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系是指各力的作用線在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。一、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則如圖a所示，作用在剛體上的四個(gè)力，，和匯交于點(diǎn)。連續(xù)應(yīng)用平行四邊形法則，即可求出通過匯交點(diǎn)的合力。合力的大小和方向也可用圖(b)所示的力三角形法則或力多邊形法則得到。后者，作出圖示首尾相接的開口的力多邊形,封閉邊矢量即所求的合力。通過力多邊形求合力的方法稱為幾何法。改變分力的作圖順序，力多邊形改變，如圖(c)所示，但其合力不變。平面匯交力系可合成為通過匯交點(diǎn)的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即 簡寫為 （2-1）二、平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系的合力等于零。其矢量表達(dá)式為 （2-2）力系平衡的幾何條件是：力系的力多邊形自行封閉。例2-1如圖所示，鋼梁的重量,，試求平衡時(shí)鋼絲繩的約束力。解：取鋼梁為研究對象。作用力有：鋼梁重力，鋼繩約束力和。三力匯交于點(diǎn)，受力如圖a所示。作力多邊形，求未知量。首先選擇力比例尺，以1cm長度代表2kN。其次，任選一點(diǎn)，作矢量，平行且等于重力，再從和兩點(diǎn)分別作兩條直線，與圖(a)中的、平行，相交于點(diǎn)，得到封閉的力三角形。按各力首尾相接的次序，標(biāo)出和的指向，則矢量和分別代表力和（如圖b所示）。按比例尺量得和的長度為： cm，cm即 kN， kN從力三角形可以看到，在重力不變的情況下，剛繩約束力隨角增加而加大。因此，起吊重物時(shí)應(yīng)將鋼繩放長一些，以減小其受力，不致被拉斷?！?-2平面匯交力系合成與平衡的解析法解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影分析力系的合成及其平衡條件的方法力在正交坐標(biāo)軸系的投影與力的解析表達(dá)式力與正交軸的夾角分別為，如圖所示。則力在軸上的投影為力的投影是代數(shù)量。當(dāng)力與投影軸正向夾角為銳角時(shí)，其值為正，當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，其值為負(fù)。力的分力與其投影之間有下列關(guān)系，其解析表達(dá)式為式中分別為軸的單位矢量。如已知力在平面內(nèi)兩正交軸上的投影和，則可求出力的大小和和方向余弦，，力在軸上的投影是代數(shù)量，而力沿坐標(biāo)軸的分解是矢量。當(dāng)坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，二者的大小不一樣，如圖所示。二、平面匯交力系合成的解析法如圖（b）所示力系的合力的解析表達(dá)式為 合力投影定理：合力在某軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。將上式向軸上投影，得 由上式可求出合力的大小和方向。三、平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零。即兩個(gè)獨(dú)立平衡的方程，可求解兩個(gè)未知量。例2-2如圖所示，作用于吊環(huán)螺釘上的四個(gè)力，，和構(gòu)成平面匯交力系。已知各力的大小和方向?yàn)镹，；N，；N，；N，。試用解析法求合力的大小和方向。解：選取圖示坐標(biāo)系。NN合力的大小和方向分別為N由，得由于為正，為負(fù)，故合力在第四象限，指向如圖所示。`例2-3曲柄沖壓機(jī)如圖(a)所示，沖壓工件時(shí)沖頭受到工件的阻力kN，試求當(dāng)時(shí)連桿所受的力及導(dǎo)軌的約束力。解：取沖頭為研究對象，如圖(b)。作用于沖頭的力有工作阻力，導(dǎo)軌約束力和連桿作用力。因連桿為二力桿，沿連桿軸線，設(shè)如圖(c)所示。按圖示坐標(biāo)列出平衡方程： 解得 kN 得 kN計(jì)算結(jié)果均為正值，表明力的假設(shè)方向與實(shí)際方向相同。連桿受壓力為壓桿?！?-3力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算力對剛體的作用效應(yīng)有兩個(gè)：移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。力對剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力矢來度量；力對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力對點(diǎn)之矩來度量。力對點(diǎn)之矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或其軸轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量。一、力對點(diǎn)之矩如圖所示，力對點(diǎn)之矩與力的大小和其作用線位置有關(guān)，等于力與力臂的乘積。即 式中點(diǎn)稱為力矩中心，簡稱矩心。力臂為點(diǎn)到力作用線的垂直距離。平面問題中力對點(diǎn)之矩是代數(shù)量。取繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。以表示由點(diǎn)到A的矢徑，則矢積的模等于該力矩的大小，且其指向分力矩轉(zhuǎn)向符合右手規(guī)則。二、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于各分力對該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。由圖有得例2-4三角形分布載荷作用在水平梁上，如圖所示。最大載荷強(qiáng)度為，梁長。試求該力系的合力。解：先求合力。在梁上距端為處取一微段，其上作用力為，由圖可知， 。合力 再求合力作用線位置。設(shè)合力的作用線距端的距離為，在微段上的作用力對點(diǎn)的矩為，由合力矩定理，力系對點(diǎn)的矩 代入和的值得 即合力大小等于三角形線分布載荷的面積，合力作用線通過三角形的幾何中心?！?-4平面力偶理論在實(shí)踐中，汽車司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，我們用手指擰水龍頭開關(guān)，電動(dòng)機(jī)的定子磁場對轉(zhuǎn)子作用電磁力使之轉(zhuǎn)動(dòng)等等，這些作用于方向盤、水龍頭開關(guān)及轉(zhuǎn)子上的力成對出現(xiàn)，它們大小相等、方向相反，不共線。力學(xué)中．把這些成對的力作為整體來考慮，就是下面將要介紹的力偶。力偶的作用效應(yīng)用力偶矩表示。一、力偶與力偶矩大小相等，方向相反，作用線平行的兩個(gè)力稱為力偶。力偶是常見的一種特殊力系，例如圖所示的作用在汽車方向盤上的兩個(gè)力。力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，力偶與一個(gè)力不等效，它既不能合成一個(gè)力也不能與一個(gè)力平衡。力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩度量。它等于力偶中的力的大小與兩個(gè)力之間的距離（力偶臂）的乘積，記為，簡記為。如圖所示。 力偶矩是代數(shù)量。取逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。力偶對任一點(diǎn)之矩等于力偶矩而與矩心無關(guān)。綜上所述，力偶對物體的作用效應(yīng)，決定于（1）力偶矩大小；（2）力偶在其作用面（稱力偶作用面）內(nèi)的轉(zhuǎn)向。二、同平面內(nèi)力偶的等效條件在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如力偶矩相等，則兩力偶等效。如圖2-20所示。上述定理給出了同平面內(nèi)力偶的等效條件。由此可得兩個(gè)推論：（1）力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對物體的作用。（2）只要力偶矩不變,可任意改變力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對物體的作用。三、平面力偶系的合成與平衡條件（1）平面力偶系的合成平面力偶系合成為一合力偶，各合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和，即 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即 一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可解一個(gè)未知量。例2-5工件上作用有三個(gè)力偶如圖2-21所示。已知：其力偶矩分別為N·m，N·m，固定螺柱和的距離mm。求兩光滑螺柱所受的水平力。解：取工件為研究對象。其受力如圖所示。由于力偶合成仍為一力偶，可知約束力和構(gòu)成力偶，方向如圖示。由平衡方程 得 N為正，表明所設(shè)方向是正確的。螺柱、所受的力與、大小相等，方向相反。例2-6在簡支梁AB上作用一力偶，如圖(a)所示，其力偶矩的大小為，梁長，