第二十一章一元二次方程第二課時21.3實際問題與一元二次方程學

習

目

標123能根據(jù)以生產(chǎn)成本變化為問題情境，討論平均變化率的問題的數(shù)量關系列一元二次方程并求解，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果是否合理。學生通過在獨立思考、解決問題的基礎上進行合作討論，用平均變化率一元二次方程模型解決身邊的問題。在分析解決問題的過程中更深入地體會一元二次方程的應用價值，體會應用數(shù)學知識的價值，提高學生學習數(shù)學的興趣。知識回顧利用一元二次方程解實際問題的基本過程：由實際問題得到數(shù)學問題,分析問題中的已知量、未知量、等量關系，設未知數(shù)列一元二次方程，解一元二次方程，檢驗解的合理性，作答。利用一元二次方程建模我們已經(jīng)學會解決流感病毒兩輪的傳播問題、單循環(huán)比賽場次問題利用一元二次方程建模還可以解決生產(chǎn)成本變化、平均變化率等生活生產(chǎn)中的實際問題導入新課探究點1平均變化率兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究討論甲種藥品的成本兩年間一共降

元，平均一年下降

元乙種藥品的成本兩年間一共降

元平均一年下降

元5000-3000=2000（元）20006000-3600=2400（元）12002000÷2=1000（元）10002400÷2=1200（元）2400乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率.新知探究探究點1平均變化率兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究思考下降率是什么意思？它與下降前的量、下降后的量之間有何數(shù)量關系？下降率=下降前的量

-

下降后的量下降前的量下降后的量=下降前的量（1-下降率）探究點1平均變化率兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究設甲種藥品的成本平均年下降率是

x討論第一次下降前的量第二次下降前的量（第一次下降后的量）第二次下降后的量5000(1

-

x)50005000(1

-

x)2

新知探究

解方程，得

注意下降率不可為負，且不大于1.探究點1平均變化率兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究

新知探究探究點1平均變化率兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究設乙種藥品的成本平均年下降率是

y討論下降率y前年乙種藥品成本6000(1

-y)第一次下降后的量下降率y現(xiàn)在乙種藥品成本去年乙種藥品成本6000(1

-y)(1-y)6000新知探究探究點1平均變化率兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究

解方程，得

∴兩種藥品成本的年平均下降率相等

新知探究新知探究探究點1平均變化率思考（1）為什么選擇22.5％作為答案？經(jīng)過計算,甲乙兩種藥品的平均下降率相同根據(jù)問題的實際意義，成本的年下降率應是小于l的正數(shù)，所以應選取0.225，即22.5％（2）經(jīng)過計算,你能得出什么結(jié)論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大嗎?應怎樣全面地比較對象的變化狀況?成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大。成本下降額表示絕對變化量，成本下降率表示相對變化量，兩者兼顧才能全面比較對象的變化狀況。兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?探究典例分析探究點1平均變化率例1．某書店今年3月份盛利6000元，5月份盈利7260元．該書店每月盈利的平均增長率是多少？增長后的量=增長前的量（1+增長率）分析書店每月盈利的平均均增長率x今年3月份盛利為

元，今年4月份盛利為

元今年5月份盛利為

元依題意得，

，60006000（1-x）6000（1-x）26000（1-x）2=7260答該書店每月盈利的平均均增長率是10%

.

解:設該書店每月盈利的平均增長率為，由題意得:

典例分析探究點1平均變化率例2.某水果商場銷售一種高檔水果．(1)若原售價每千克50元，連續(xù)兩次降價后為每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且盡可能減輕顧客負擔，那么每千克應漲價多少元？（1）解：設每次下降率為??，依題意得：答：每次下降的百分率20%

.

連續(xù)兩次降價等量關系原售價（1-降價率）2=現(xiàn)售價典例分析探究點1平均變化率例2.某水果商場銷售一種高檔水果．(1)若原售價每千克50元，連續(xù)兩次降價后為每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且盡可能減輕顧客負擔，那么每千克應漲價多少元？（2）解：設每千克應漲價y元，則每千克盈利（10+y）元，

每天可售出（500-2y）元，依題意得：（10+y）（500-2y）=6000

，整理得：y2-15y+50=0

，解得：y1=5，y2=10

．又∵盡可能減輕顧客負擔，∴y=5．答：每千克應漲價5元．則一次增長后的值為：

；設開始基數(shù)為a，平均增長率為x二次增長后的值為

；總結(jié)歸納依次類推連續(xù)n次增長后的值為:

.連續(xù)兩次增長或降低的增長率與降低率問題a（1+x）探究點1平均變化率a（1+x）2a（1+x）n則一次降低后的值為：

；設開始基數(shù)為a，平均降低率為x二次降低后的值為：

；a（1-x）a（1-x）2a（1-x）n依次類推連續(xù)n次降低后的值為:

.3.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸,三月的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=500新知鞏固1.某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預計2018年蔬菜產(chǎn)量達到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100

D．80（1+x2）=1002.某市從2022年開始大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計，該市2022年“竹文化”旅游收入約為2億元．預計2024“竹文化”旅游收入達到2.88億元，據(jù)此估計該市2023年、2024年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%ACB

增長的基礎數(shù)

增長后的數(shù)

a(1±x)

n=b平均變化率問題4.某電腦公司2024年的各項經(jīng)營，一月份的營業(yè)額為200萬元，一、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率.新知鞏固一月份二月份三月份200萬

設這個增長率為x思考等量關系一月份營業(yè)額＋二月份營業(yè)額＋三月份營業(yè)額＝950萬元解：設平均增長率為x,得200+200(1+x)+200(1+x)2=950.整理，得200x2+600x=350.

解得x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）.答:這個增長率是50%.5.“新希望杯”組委會組織開展了“一方有難，八方支援”的捐款賑災活動．第一天組織捐款10000元，第三天組織捐款12100元，如果每天組織捐款的平均增長率相同，則前四天組織捐款的總額為多少元？第一天第二天第三天10000元

設每天平均增長率為x

新知鞏固思考等量關系∴第二天捐款

第四天捐款

前四天組織捐款的總額：

答：前四天組織捐款的總額為46410元真題感知1．（25九年級上·河南洛陽·期末）近年來我國無人機產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無人機駕駛員已正式成為國家認可的新職業(yè)．據(jù)統(tǒng)計從2022年底至2024年底，華東地區(qū)頒發(fā)的民用無人機駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約6.94萬人增加到約8.14

萬人．若設2022年底至2024年底，華東地區(qū)民用無人機駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為x，則可列出關于的方程為（）A．B．C．D．連續(xù)兩次增長2022年/萬人2023年/萬人2024年/萬人6.94

D

2．（2023·湖南郴州·中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；

(2)預計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？真題感知課堂小結(jié)平均變化率

a(1±x)

n=b

增長（或降低）的次數(shù)

增長（或降低）前的基礎數(shù)

增長（或降低）的變化率

增長（或降低）后的數(shù)量（1）1與x的位置不要調(diào)換（2）解這類問題列出的方程一般用直接開平方法注意其中增長取“+”,降低取“－”習題21.37.青山村種的水稻2